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浅谈线性代数证明题要点分析的重要性

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黄健

【摘要】线性代数这门课的特点是抽象性比较强，定理公式特别多，记忆困难，而证明题又是难点，本文通过几道例题，分析条件与结论之间的关系，寻求合理的证明方法.

【关键词】线性代数;证明题;分析

线性代数这门课的特点是抽象性比较强，定理、公式特别多，初期学习的时候还比较容易掌握，但随着课程内容的不断增加，很多学生会感到越来越吃力，证明题更是困难，使其成为各类考试的失分项.下面通过几道例题，探讨如何通过对条件的分析，合理而灵活地应用，达到证明的目标.

例1 设A为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，证明：如果A2=A，则R（A）+R（A-E）=n.

分析此题是关于两个矩阵秩的和与两个矩阵和的秩之间的关系，教师在授课的过程中应引导学生回忆复习这个方向有关的两个定理，找出此题的条件与定理条件的关系，由此开始证明.

证明因为A2=A，所以A（A-E）=O，

由此得R（A）+R（A-E）≤n.（1）

（这个结论应用定理：A，B是同阶方阵且AB=O，则R（A）+R（B）≤n）.

再分析：我们要证明R（A）+R（A-E）=n，而我们已经证明了R（A）+R（A-E）≤n，所以我们还必须证明R（A）+R（A-E）≥n.

这样，我们就可以得到我们所要的结论，一共有68个正项.

通过以上例题的讨论分析，我们可以看出，证明题的步骤并不是特别多，但是要想做好证明题，必须细致分析概念，强化定理的条件与结论的关系的运用和理解，有了充足的理论做基础，进行系统的训练，一定能掌握做题的方法与技巧，从而不会再对证明题产生恐惧，达到会做证明题的目的，同时又能加强对线性代数繁杂的公式和定理的理解和记忆.

【参考文献】

[1]吴赣昌.线性代数（理工類）：第4版[M].北京：中国人民大学出版社，2011.

[2]丘维声.高等代数[M].北京：清华大学出版社，2010.

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