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基于HPM视角看高中数学教材中的核心素养

范文

宋晋荣林梦雷周仕荣

【摘要】数学史与数学教育是目前国际数学教育中普遍关注的热点问题，数学史进入高中数学课程、教科书已成为国内外数学教育的大势所趋.本文结合新课标所倡导的六大核心素养从HPM视角整理了人教版A版高中数学教材中所涉及的核心素养，建构了数学史融入模式，分析了教材编写的五种方式，以及与六大核心素养相关的三水平、四维度之间的关系，总结出教材编写的结论：教材编写总体内容比较丰富，数学史融入教材类型丰富多样，教材围绕以学生主体，最后针对研究结果给出了相应的建议，希望可以为教师的教学和学生的学习提供借鉴.

【关键词】数学核心素养;HPM;高中数学教材

【基金项目】“数学与应用数学（师范）”一流本科专业建设的探索与实践（FBJG20190017），福建省本科高校一般教育教学改革研究项目，2019.08-2021.07，福建省教育厅.

HPM（History and Pedagogy of Mathematics）即数学史融入数学教学，是数学史与数学教育关系的简称.数学史是一种科学，是对数学科学发展规律的总结分析，即数学历史分析[1].

随着新课改的号召，对“既具有数学理性又具有人文素养，既掌握科学方法又懂得人文价值”的呼声越来越大.至此，2017年，新修订的普通高中数学课程标准（简称新课标）提出六大数学学科核心素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，强调在数学学习过程中培养学生的数学核心素养，使学生可以通过学科学习逐步形成正确价值观念、必备品质和关键能力，这成为新一轮课程改革深化发展的方向.在课程性质中指出，数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分，并且把注重数学文化的渗透纳入课程基本理念中，可见在新课标中数学文化扮演着一个重要的角色.数学文化是人类文化的重要组成部分，数学史又是数学文化的重要组成部分，因而，数学文化与数学史有着密不可分的联系.

在课程教育改革过程中，关于数学史的研究逐渐受到各个学者和教师的重视，HPM的主要载体是数學课程，数学史传播的主要途径是数学教材，教材是教师传授知识、学生学习的主要依据，具有至上的权威.数学史知识成为数学教材编写的关注点，能够激起学生学习数学的兴趣，避免教学过程中出现“苦教苦学”，“师生疲劳”的现象，充分发挥教材在教学过程中的价值.因此，彰显数学史与数学教育的教材编写历来备受关注.

本文致力于新课标提倡的六大数学学科核心素养从HPM视角分析人教版A版高中数学教材编写，同时对HPM与核心素养在数学教材中糅合的实效性提出了一些建议，益于广大中学数学教师更合理地利用教材进行教学，本文以此为切入口进行初步分析和研究.

一、历史发生原理

德国生物学家海克尔提出“生物重演律”即“个体发育重蹈种族发育史”.这个生物学定律被引入到教育中，有“个体知识的发生遵循人类知识发生的过程”的结论.再到数学教育中，是指学生对数学概念的理解过程与数学概念的历史发展过程具有一定的相似性，历史上数学家所遭遇的困难正是学生所经历的障碍，这就是历史发生原理，也是“历史相似性”.

发生原理可以预测学生的认知障碍，诊断产生障碍的根源，从而有针对性的更改教学策略，帮助学生攻克难关，将数学思想逐渐演化的过程与数学严格的逻辑推理过程融合在一起，使学生真正理解数学形式化背后的内涵.[3]

二、六大素养为导向，HPM视角分析

教材中数学史知识的编写及教师的教学有助于学生由“理性思维”跨越到“理性精神”，在HPM视角下从“深度教学”落实到“数学学科核心素养”的培养，惠及素养立意教学，架起HPM与数学学科核心素养之间的桥梁.而数学史料的搜集是数学史传播的基础，没有足够的素材，就会陷入“巧妇难为无米之炊”的境地，再谈数学史融入数学课程就是一句空话.对怎样选择数学史内容，怎样组织教学内容的编排成为研究的热点，下面就新课标提倡的六大数学学科核心素养从HPM视角分析人教版A版高中数学教材编写.

（一）数学史融入数学教材和数学教学

1.数学教材中数学史编写方法

要使数学史很好的融入数学教材中，必须考虑教材编写方式，即怎样设计才能使数学史更好地在高中数学教学中发挥价值.数学史融入教材有两种方式：显性融入和隐性融入，其中显性融入分为由数学知识引出数学史和由数学史引出数学知识.汪晓勤教授也提出5种教材中数学史编写方式（见表2-3），参照教材可以看出现行教材中多数是以显性融入为主，较少涉及隐性融入.

2.数学史融入数学教学过程

洪万生根据德国学者Jahnke的诠释学循环模式提出数学教学的诠释学循环[2]如图所示.教材编写者、课程标准、数学知识和教科书内容构成初圈;教师、诠释教材内容和初圈形成次圈.由T-C1-I循环教师融入教材编写者编写的教科书中，与教材编写者对话，做出自己的诠释，进入初圈.通过对初圈做出诠释后确定教学内容知识进入C2循环，会与古代数学家进行“对话”，展示出具有数学史的教学内容，同时注意C1和C2之间的连接

（二）数学教材中数学史内容选择

由表2-1可以发现在高中必修教材中数学史内容选择方面：数学史出现次数总共有41处，其中在必修四教材中数学史内容涉及最少只有3处.其他四本教材数学史出现次数分别为7，8，13，9.纵观这五本教材对应的新课标下提倡的六大核心素养，考查最多的是数学运算核心素养有8处，其次是考查直观想象和逻辑推理的核心素养各6处，对数学抽象和数据分析核心素养的考查各4处，其中关于数学建模的数学史内容编写只有一处，可见在高中阶段对学生数学建模知识考查较少，考查较多的是数学运算、直观想象、逻辑推理的能力.

选修教材2-1到2-3总共发现10处数学史内容，其中有3处编写方式运用了“顺应式+重构式”都是对应的逻辑推理这一核心素养.题目从数学史知识出发让学生结合前人的经验，依据规则推理证明，利于培养学生的逻辑推理素养，把握事物发展脉络，增进学生的思维品质与理性精神.理解数学知识的形成依赖于逻辑，数学知识的确定依赖于推理，两者之间的相互渗透有助于提高学生的逻辑推理能力.

高中数学教材中的数学史内容主要是显性数学史内容，出现在教材的章前言、阅读与思考、旁白注解处，以文字、图片的形式编写，主要是介绍数学家生平简介、历史贡献、历史名题等等.在介绍数学家时大都介绍的是数学家的突出贡献很少体现数学家曾经遭遇的挫折、困惑，这种介绍让学生感觉数学家能在数学上做出贡献是理所当然的事，没有体现出数学家创作过程中经历的漫长道路.

（三）基于核心素养和HPM的教材分析

1.HPM与数学核心素养的编写模式

教材中也有几处编写方式按照“重构式+顺应式”.例如，在以“高斯的1+2+3+…+100”引入等差数列的前n项和公式，这种数学史知识的编写利于引起学生的兴趣及对数学家的敬佩，可以激起学生学习数学的乐趣，把数学当作科学来认真研究.這种教材编写方式就是结合了“顺应式+重构式”运用这一方法对数学史知识的引入，体现了教科书中数学知识的实际应用价值，发挥数学史的教育价值，更能获得教师和学生的青睐，使得本身很抽象的数学运算变得直观明了，传递给学生无限的数学知识，运用数学抽象的思维方式解决实际问题，培养学生数学学习过程中的探究精神，培养数学抽象、数学运算的核心素养.

2.HPM与数学核心素养的呈现方式

教材编写主要以附加式为主.数学史内容出现在教材的阅读与思考部分、探究与发现、正文的旁白处.这种形式的教材编写没有真正地体现数学史与相应的数学知识的紧密联系，仅仅是考点的编写，本着“以应试教育为主”的观念，从而抹杀了学生对数学史的兴趣，掩盖了对数学史产生、发展过程，展示给教师和学生的只是残酷的考点，与新课标倡导的数学学科核心素养的培养不禁背道而驰.

在必修4平面向量一章中对平面向量的数量积、线性运算、坐标运算等一系列的涉及数学运算的知识中，笔者翻阅教材并没用在教材正文中找到有关数学史的迹象，有的只是在阅读与思考部分，以一种“点缀式+复制式”的方式呈现了向量及向量符号的来源，向量的运算率与图形性质，数学史以这种可有可无的形式“出现”，数学课程中所蕴含的丰富资源并没有得到深度挖掘，更不必谈数学核心素养的渗透，对知识学习的“螺旋上升”层次也没有做到很好的衔接，直接倒出知识点，让教师和学生在学习过程中只会麻木不仁，没有创新意识，沦为应试教育的机器，学到的知识只是机械的运算，并没有在头脑中形成知识之间的关联，对已有知识与新知识之间的相互关系也不甚了解，更是难以将新知识内化到自己已有知识体系中，难以实现新旧知识之间的平衡转化，以至于影响学习的迁移，距离形成解决问题的素养还有很大一截.

（三）“三”“四”“五”“六”的关系

从核心素养的角度看，教材编写的这5种方式实质上并无高低水平之分，具体使用哪种取决于所要达成的教学目标.在新课标中明确划分出每一个核心素养有三个水平，每个水平又可分为四个维度，即情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思，以此来具体刻画数学学科六大核心素养，这四层关系之间层层递进，环环相扣，更加真实地呈现了高中数学教材中数学史与数学学科核心素养的衔接.下图给出了五种编写方式与数学学科核心素养之间的相互关联，希望在具体的教学过程中教师可以很好地借鉴来培养学生的核心素养.〖HJ0.94mm〗

四、结论与建议

（一）结论

纵观高中数学教材可以得出以下几点结论：

1.教材编写总体内容比较丰富

从总体来看，课标中所倡导的数学文化渗透到数学教材中的理念在高中数学必修教材1-5、选修教材2-1到2-3这八本教材中都得到了发展，教材中所提到的数学史料数量多，内容丰富，包括东西方国家不同领域的数学史内容，且在八本教材中都融入了数学史内容，其中八本教材中数学史内容出现51处之多，这样可以保证学生在学习过程中隔几节课就可以接触数学史内容，保持一定的熟悉感.在八本教材中数学史内容相当多的集中在阅读与思考模块，同时也有数学核心素养分布不均的问题，数学运算、直观想象、逻辑推理这三个核心素养涉及的内容较多，而关于数学建模素养的编写只有一处，高中阶段忽视了对这一素养的培养.但是令人意外的是，在教材正文出也有较多数学史料，可见，教材编写者重视将数学史应用到课堂教学中，教师在讲授新课时可以顺其自然的将数学史渗透于课堂教学中，学生可以深刻地感受到数学史的魅力，让学生知道他们学习过程中遇到的困难也同样是历史学者曾经的“羁绊”，使得学生可以得到心理上的安慰，重拾学习的信心.

2.数学史融入教材类型丰富多样

笔者通过整体发现，显性融入方式较好，能适应学生的学习方式，在选修教材中这种融入方式有所减少，可能与高中生的思维方式特点相一致，刚开始学生已经接受了数学史料的刺激效应，已经对数学产生兴趣，开始转向关注数学史内容的阶段.于是，可见在选修教材中显性融入方式明显减少，隐性数学史内容增加，随之“顺应式+重构式”编写方式浮水而出，教材编写在这种编写方式，恰恰符合学生的认知发展规律.而同时出现的问题是隐性融入数量偏少.显性融入方式固然重要，但真正能够在学生记忆中留下印象的还是要靠隐性融入的数学史料，教材编写者、教师必须注重隐性融入教学方式的开发，不要为了“历史”而历史，应该让数学史与数学教育实现真正意义的结合.

3.教材围绕以学生主体

素质教育倡导以学生为主体，教师为主导的教学模式，新课标基本理念部分也明确写出高中数学课程要以学生发展为本，通过研究高中数学教材从内容设置方面来看，教材中的数学史大都以学生易于理解的方式呈现，联系学生实际学习情况给学生留下深刻的印象，把学生当作真正的学习主体来研究，在学生与数学知识之间构建的良好的桥梁，使得学生融入数学情境中，以一种熟悉的、亲切的感觉学习数学知识，切实地走进数学的殿堂，体验数学的乐趣，符号了高中生的认知规律和学习心理基础，凸显数学史的价值与地位，迎合新课标要求培养学生的数学核心素养的宗旨.

（二）建议

针对现行高中数学教材编写的分析结果，给出适当的建议以提高教材编写质量，希望可以帮助到教师和学生的学习：

1.史学形态转化为教育形态

在内容选择、排版方面要体现数学教材的特性，选取与高中数学知识密切相关的，有助于学生学习和教师教学的内容，将显性数学史与隐性数学史有机结合，注意发挥数学史与数学教育的价值，向学生充分展示数学家的数学思维过程，对数学史进行合理的加工转化，以满足学生现有的认知心理规律，将HPM与PME有效结合，以达到更好的教学效果.紧密结合新课程标准的要求，将数学史内容融入高中阶段数学知识体系的殿堂，培养学生的数学学科核心素养.

2.遵循历史相似性原理

重视教材中数学史知识的内容编写，充分体现数学史与数学教育的价值，体现祖先的智慧与贡献，要求个体知识的发展遵循人类知识发生发展过程，关注学生对数学概念的认知与概念的历史发展之间的相似性，学生在学习数学的过程中要去回顾人类认识数学的重要阶段，对数学的理解应该建立在数学的发展顺序之上，历史发生原理需要将数学史融入数学教材中渗透到数学课堂上，体现历史的价值，引导学生了解数学知识的产生、发展及应用过程.正如弗莱登塔尔所说：“从某种意义上说，儿童应该重蹈历史，尽管不是实际发生的历史，而是倘若我们的祖先已经知道我们今天有幸知道的东西，将会发生的历史”.[3]教育家斯宾塞认为：儿童的教育，无论在方式上，或在安排上，均须与历史上人类的教育相对应，换言之，个人知识的发生必须遵循种族知识发生的途径.[4]

3.重视知识“螺旋上升”

设计要关注学生主体，符合学生认知水平发展，帮助教师预测、解释学生在学习过程中出现的障碍和错误，重视学生的最近发展区，益于学生加深对知识的体会，促进学生对知识的再度升华，将学生的认知水平提升到更高层面，应选择有助于发展学生数学思维和培养创新能力的数学史内容，激发学习兴趣、增长知识、提高数学素养.

以上是基于HPM视角对高中数学教材中数学核心素养的分析得出的结论及建议，好的教材需要有好的教师以合理的方式传授给学生，也需要教师加深自己的数学史功底，实现真正的“深度教学”，关于HPM与数学核心素养在高中数学教材中的融合，我们应该站在人类发展的高观点下进行理解探讨，培养学生的学科核心素养，使得学生能够在复杂情境中把握事物之间的关联，培养学生的“理性精神”，让更多人对数学有深刻的理解，“知其然，更能知其所以然”，知道数学知识的“前世今生”，从而激发学生积极的数学兴趣，着眼于三水平、四维度培养学生的数学学科核心素养.

【参考文献】

[1]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017（5）.

[2]吴骏，汪晓勤.初中数学教师HPM教学的个案研究[J].数学教育研究，2016（1）：67-71.

[3]蒲淑萍，汪晓勤.学生对字母的理解：历史相似性研究[J].数学教育学报，2012（3）：38-42.

[4]曾峥，杨豫辉，李学良.数学史融入初中课堂的案例研究[J].数学教育学报，2019（1）：12-18.

[5]吴骏，汪晓勤.发生教学法：从理论到实践——以数学教学为例[J].教育理論与实践，2013（2）：3-5.

[6]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

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