标题 | 用“两边夹”解题的若干操作策略 |
范文 | 王红权 “两边夹”原理本是高等数学中用来判定极限存在的准则,近年在数学竞赛和高考中时有应用,需要学生有敏锐的观察力和娴熟的代数变形技巧.从解题操作的视角看,应用“两边夹”原理有两种类型:①“若a≤x≤a,则x=a”,该类型结构简明,逻辑清晰,操作有序;②“已知a≤f(x)≤b,求参变量k的取值范围”.本文称第一种为“夹死”,即由不等式a≤x≤a,得到等式x=a,是解决“条件为不等式,结论为等式”问题的利器;本文称第二种为“夹缝”,不等式a≤f(x)≤b说明函数f(x)可以在“缝隙”[a,b]之间活动,所以参变量k能在一定的范围内取值,这类问题一般是“求k的取值范围”.本文通过典型例子,来说明利用“两边夹”方法解题的操作策略,由此提升学生“逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养”,同时提升“学会用数学眼光观察世界,用数学思维分析世界,用数学语言表达世界”的能力. 1利用图象两边夹 不等式g1(x)≤f(x)≤g2(x),x∈[a,b]的几何意义是:在区间[a,b]上,函数f(x)的图象位于函数g1(x)和g2(x)的图象之间.若函数f(x)图象被函数g1(x)和g2(x)的图象“夹死”,则可以求出某些参数的值;若图象间留有“缝隙”,则可求出某些参量的取值范围. 图11.1用于求值 例1[1]已知函数f(x)=x2+ax+b-2,a,b∈R.若对任意x∈[1,3],总有|f(x)|≤12成立,求a,b的值. 解析由|f(x)|≤12,得:-x2+32≤ax+b≤-x2+52.① 如图1,不等式①表示线段y=ax+b(x∈[1,3])夹在函数y1=-x2+32和y2=-x2+52的图象之间. 计算发现,经过A,B两点的直线y=-4x+112与函数y1的图象相切.也就是说直线y=-4x+112是被函数y1和y2的图象“夹死”的唯一直线段,故a=-4,b=112. 文[1]作者通过平移图象,用数形结合的方法巧妙给出解答,平移后的整个图形稍欠简洁,本文利用函数图象构造两边“夹死”的方法,画出的图象简明、本质,解决问题的操作方法具有一般性和“可复制”性.用于解决不等式条件下的等式问题特别有效,可以迅速化解难题,对提升学生学习数学的信心有一定价值. 图2例2(2015年浙江省数学会夏令营测试题)若对任意θ∈R,恒有|asinθ-4sin3θ|≤1,求实数a的值. 解析设sinθ=x,x∈[-1,1],则原不等式可变为:4x3-1≤ax≤4x3+1,x∈[-1,1]. 设函数y1=4x3+1,y2=4x3-1,则线段y=ax(x∈[-1,1])夹在函数y1和y2的图象之间,如图2所示. 计算知过点A(1,3),B(-1,-3)的直线方程为y=3x. 设直线y=kx与曲线y1=4x3+1相切于点C(x0,y0),则y0=kx0, y0=4x30+1, 12x20=k,解得k=3,x0=12,y0=32. 根据对称性,直线y=3x与y2的图象相切于点D(-12,-32),所以直線y=3x是被曲线y1和y2的图象“夹死”的唯一直线,故a=3. 由此可得一个“神解”:令sinθ=1和12,得|a-4|≤1, |a-1|≤2,即3≤a≤5, -1≤a≤3,所以a=3. 命题人应该是以3倍角公式为背景,通过三角运算获得解决的.“神解”并没有什么教学价值,是解题后的娱乐.利用“两边夹”的方法则可化解学生没有学过3倍角公式的尴尬,也进一步说明用这种方法具有一般性,且不依赖于问题的本身. 1.2用于求参数的取值范围 例3(2014年浙江高考理科22)已知函数f(x)=x3+3|x-a|,(a∈R).(Ⅱ)设b∈R,若[f (x)+b]2≤4对x∈[-1,1]恒成立,求3a+b的取值范围. 解析(Ⅱ)的背景也是“两边夹”,是用两条三次曲线夹一条折线. 由题意得:-2≤x3+3|x-a|+b≤2, 即-x3-2≤3|x-a|+b≤-x3+2,③ 图3不等式③表示折线h(x)=3|x-a|+b夹在函数g1(x)=-x3-2与g2(x)=-x3+2的图象之间.如图3所示,当折线h(x)的顶点(a,b)位于点C时,直线y=3x-2经过点A(1,1).当折线h(x)的顶点(a,b)位于点D时,容易证明点B恰好是直线y=-3x与曲线g2(x)=-x3+2的图象的切点.直线y=-3x与y=3x-2交于点E(13,-1). 如图的阴影区域(曲边三角形CDE)是折线h(x)的顶点(a,b)的“可行域”,根据线性规划知识,易知目标函数3a+b的最大值为0,最小值为-2.所以3a+b的取值范围为[-2,0]. 这类问题的典型特征是“被夹”的函数还能在某个“可行域”内“活动”,问题即可转化为求解目标函数在该“可行域”内的最优解. 这就化解了高考压轴题的难点,使得考题变得平实,变得更能为学生接受.更为重要的是该方法简单易学,容易被学生复制. 1.3用于求扩张区间的最大值 例4 (2016年金华十校联考)设函数f(x)=x2+ax+b,a,b∈R. (Ⅰ)略;(Ⅱ)存在实数a,使得当x∈[0,b]时,1≤f (x)≤10恒成立,求实数b的最大值. 解析由1≤f (x)≤10,得1-bx-x≤a≤10-bx-x,设y1=10-bx-x,y2=1-bx-x.易知当0 图4如图4,画出函数y1和y2的图象,直线y=a为一条平行于x轴的直线,与函数y1的图象交于点A.根据图4,当直线y=a与函数y2的图象相切时,区间[0,b]的长度达到最大,此时b也取到最大值. 函数y1在区间[0,b]上的最小值为10-bb-b,函数y2在区间[0,b]上的最大值为-2b-1. 所以10-bb-b=-2b-1.解得 b=5. 通常的解法是通过分类讨论,分步获得结论,学生很难完成完整解答,学生常常是“望题兴叹”,两边“夹逼”做法,以“形”助“数”,把“区间的最大”转化为曲线的交点“最远”,使得区间的“扩张”问题变得简单直观. 1.4用于求比值 例5 已知存在唯一的实数对(p,q)使得不等式|r2-x2-px-q|≤t(其中r>0,t>0)对任意x∈[0,r]恒成立,求tr的值. 解析1由题意得:-t+px+q≤r2-x2≤t+px+q. 即弧夹在两条线之间,根据图5知:r-x≤r2-x2≤2r-x. 所以必定有:r-x=-t+px+q, 2r-x=t+px+q. 比较系数得p=-1,q-t=r,q+t=2r, 所以tr=2-12. 图5图6解析2由题意得:r2-x2-t≤px+q≤r2-x2+t,x∈[0,r] . 设y1=r2-x2-t(四分之一圆弧),y2=r2-x2+t(四分之一圆弧),y=px+q(线段),根据线段y=px+q(x∈[0,r])的唯一性, 如图6所示,该线段只能被函数y1和y2的图象“夹死”,所以线段AB∶y=-x+t+r与函数y1的图象相切于点C,所以 dCD=|t+t+r|2=r, 即4tr2+4tr-1=0,解得tr=2-12. 2构造不等式两边夹 2.1利用三角形不等式構造两边夹 三角形不等式:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|或|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,其中a,b既可以是实数或向量,也可以是代数式等. 例6(2014年浙江省数学竞赛试题)设f(x)是定义在R上的函数,满足|f(x)+cos2x|≤34, |f(x)-sin2x|≤14,则函数f(x)=. 解析因为1=sin2x+cos2x≤|f(x)+cos2x|+ |f(x)-sin2x|≤34+14=1, 根据等号成立的条件知: |f(x)+cos2x|=34,|f(x)-sin2x|=14, 去绝对值,易得f(x)=sin2x-14. 这是利用三角形不等式,构造两边“夹死”的一个典范,利用等号成立的条件求得函数f(x)的解析式.当然也可以从解不等式的角度,利用两边“夹死”方法求解: -34-cos2x≤f(x)≤34-cos2x, sin2x-14≤f(x)≤sin2x+14, 即-74-sin2x≤f(x)≤sin2x-14, sin2x-14≤f(x)≤sin2x+14, 所以sin2x-14≤f(x)≤sin2x-14, 即f(x)=sin2x-14. 两种解法的本质是一致的. 2.2利用赋值构造不等式 已知fi(x)≤(或≥)M,(i∈N*,M∈R),构造形如a≥(或≤)∑ni=1λifi(x)=a(λ∈R)的不等式,则利用等号成立的条件,可以确定其中参数的取值. 例7(2015年北大自主招生试题)已知|x2+px+q|≤2对x∈[1,5]成立,则不超过p2+q2的最大整数是. 解令x=1,3,5得 |1+p+q|≤2,① |18+6p+2q|≤4,② |25+5p+q|≤2,③ 则8≥|(1+p+q)-(18+6p+2q)+(25+5p+q)|=8. 等号成立的条件当且仅当p=-6,q=7时成立,此时p2+q2=85,故答案为9. 类似的问题很多,如2012年浙江高考试题: 设a∈R,若x>0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则a=. 只需要令x=2,得(2a-3)(3-2a)≥0, 即0≤(2a-3)2≤0,所以a=32. 随着课程改革的深入,命题技术的成熟,两边夹逼这样一类在高等数学中常见的方法,已悄悄的渗透到高考中来了.解题研究也因此需要与时俱进,通过函数图象的夹逼培养学生的几何直观素养,通过代数不等式的夹逼培养学生数学运算素养.通过比较不同类型夹逼的特征,从而拓展夹逼原理的内涵. 参考文献 [1]李金兴.数形结合解函数问题的几个操作策略[J].数学通讯,2016(3):26. [2]童其林.“确定变量的范围”在解题中的应用[J].数学教学,2015(2):27. |
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