| 标题 | 巧用ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ证明不等式 |
| 范文 | 卢伟峰 在很多问题中都涉及了这样一个重要的不等式：当x>-1且x≠0时，有ln(1+x) 例1 已知ai>0(i=1,2,…)，证明：a1+a2+a3+…+ann≥na1a2a3…an. 证：令A=a1+a2+a3+…+ann,因为aiA>0，则有lnaiA≤aiA-1(i=1,2,…)成立，所以lna1A+lna2A+…+lnanA≤a1A+a2A+…+anA-n=n-n=0,即lna1A+lna2A+…+lnanA≤0，即a1a2a3…anAn≤1，则An≥a1a2a3…an,即a1+a2+a3+…+ann≥na1a2a3…an得证. 评注：均值不等式的证明方法非常多，此法采用构造重要不等式lnaiA≤aiA-1(i=1,2,…)来证明，更显得格外的简洁 明快. 例2 (2004全国，理22题改编)已知g(x)=xlnx，当b>a>0时，求证：0 ) ，此时我们联想到自然对数，自然就考虑重要不等式，于是变换目标结构，即证lnan<2，再围绕着目标，对条件适当放大产生积式，然后对于积式取对数，变成和式再迭加，从而问题得到解决. 例4 若数列{an}满足a1∈(0，1)，an+1=ln(2-an)+an(n∈N*)，证明：0分析：题目条件中具有结构ln(2-an)= ln［1+(1-an)］，所以考虑直接应用重要不等式进行证明. 证：当n=1时，因为a1∈(0,1),a2=ln(2-a1)+a1=ln［1+(1-a1)］+a1<1-a1+a1=1且a2-a1=ln(2-a1)>0,则0假设n=k时，ak+1=ln(2-ak)+ak,有00,∴0注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文 |
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