| 标题 | 矩阵方法求一类数列的通项 |
| 范文 | 袁晓静 安徽师范大学 (241000) 矩阵是高中新课程中刚刚引入的高等代数中的部分内容，主要的是以二阶矩阵为主，包括矩阵的运算、逆矩阵、特征值及特征向量等，作为矩阵的一个应用，本文介绍用矩阵方法来求一类数列的通项，下面以一道高考题为例来作出证明. 2007年辽宁卷第20题： 已知数列{a璶},{b璶}满足：a1=2,b1=1，且a璶=34a﹏-1+14b﹏-1+1, b璶=14a﹏-1+34b﹏-1+1,(n≥2)，求{a璶},{b璶}的通项. 解：不妨设x0=1 1,A=34,14 14,34，则有a璶 b璶=Aa﹏-1 b﹏-1+x0=AAa﹏-2 b﹏-2+x0+x0=A2a﹏-2 b﹏-2+Ax0+x0=A2?Aa﹏-3 b﹏-3+x0+Ax0+x0=A3a﹏-3 b﹏-3+A2x0+Ax0+x0=……=A﹏-1猘1 b1+A﹏-2?x0+A﹏-3獂0+…+Ax0+x0=A﹏-1猘1 b1+(A﹏-2+A﹏-3+…+A+E)x0. 下面我们来求A琻. λE-A=λ-34-14 -14λ-34，由|λE-A|=0,可得(λ-34)2-116=0，即λ=1或12. 当λ=1时，有E-A=14-14 -1414，则λ=1的一个特征向量为1 1. 当λ=12时，有12E-A=-14-14 -14-14，则λ=12的一个特征向量为1 -1. 于是有11 1-1-1狝11 1-1=1 12，从而11 1-1-1狝琻11 1-1=1 12琻，所以 A琻=11 1-11 12琻11 1-1-1 =11 1-11 12琻1212 12-12= 12+12﹏+112-12﹏+1 12-12﹏+112+12﹏+1. 特别地当n=0时，A0=E,于是A﹏-2+A﹏-3+…+A+E=A﹏-2+A﹏-3+…+A+A0=∑n-2k=012+12﹌+112-12﹌+1 12-12﹌+112+12﹌+1= n+12-12﹏-1猲-32+12﹏-1 n-32+12﹏-1猲+12-12﹏-1. 所以a璶 b璶=12+12琻12-12琻 12-12琻12+12琻2 1+ n+12-12﹏-1猲-32+12﹏-1 n-32+12﹏-1猲+12-12﹏-11 1= n+12琻+12 n-12琻+12. 即a璶=n+12琻+12,b璶=n-12琻+12(n≥2). 一般地，若a璶=λa﹏-1+φb﹏-1+m b璶=ka﹏-1+tb﹏-1+w(n≥2)，其中λ,φ,k,t,m,w∈R且λt-kφ≠0，及初始条件a1,b1,我们都可以用矩阵的方法进行巧妙的求解. |
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