标题 | 解决线段m+n=p的两种基本思路 |
范文 | 义务教育八年级学生在学习证明内容时,对于线段m=n的证明能比较容易地找到思路,对于m+n=p的证明,很多同学感到比较吃力,找不到解决方法. 现介绍两种基本思路,以供参考. 1 “截长” (即在p上截取一线段a使之等于m,然后证明剩下的线段等于n便可. ) (1)长线段上有截点. 图1例1 已知:如图1,E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,AM⊥EF,垂足为M,且AM=AB. 求证:EF=BE+DF. 分析 截点M已经把长线段EF截成了两段EM和MF. 我们只要证明BE和DF与EM和MF对应相等便可. 证明 连结AE和AF. 因为AB=AM,∠ABC=∠AME,AE=AE,所以△ABE≌△AME,所以BE=ME, 同理可证△ADF≌△AMF,得到DF=MF. 所以ME+MF=BE+DF,即:EF=BE+DF. (2)长线段上无截点 图2例2 已知:如图2,AC∥BD,AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA, CD过E点,求证:AB=AC+BD. 分析 在AB上截取AF=AC,再证BF=BD便可. 证明 在AB上截取AF=AC,连结EF. 在△ACE和△AFE中, AC=AF,∠1=∠2,AE=AE, 所以△ACE≌△AFE, 所以∠C=∠5. 又因为AC∥BD, 所以∠C+∠D=180°. 又因为∠5+∠6=180°, 所以∠D=∠6. 在△BFE和△BDE中, ∠D=∠6,∠3=∠4,BE=BE, 所以△BFE≌△BDE, 所以BF=BD, 所以AB=AC+BD. 2 “补短” (即把线段m和n补成一条线段,证明所得的线段与p相等. ) (1)直接补短. 图3例3 正方形ABCD中,E为AD上一点,BF平分∠CBE交DC于F. 求证:BE=CF+AE. 证明 延长FC到N使得CN=AE, 因为ABCD为正方形, 所以△BAE≌△BCN, 所以∠3=∠4,BE=BN. 又因为∠1=∠2, 所以∠1+∠4=∠2+∠3.又因为∠BFN=∠1+∠4(内错角), 所以∠BFN=∠2+∠3, 所以BN=FN, 所以BE=FN=FC+CN=FC+AE. (2)间接补短. 图4例4 参看例2 分析 如果延长BD到F直接使得DF=AC,需要证明A、E、F三点共线,有一定的困难,不妨采取下面间接的方法 证明 延长BD和AE交于一点F, 因为∠1=∠2,∠3=∠4,AC∥BD, 所以∠2+∠4=90°, 所以∠BEA=∠BEF=90°, 在△BEA和△BEF中, ∠3=∠4,BE=BE,∠BEA=∠BEF, 所以△BEA≌△BEF, AB=BF,AE=FE. 在△ACE和△FDE中, ∠1=∠F(AC∥BD),∠AEC=∠FED,AE=FE(已证), 所以△ACE≌△FDE, 所以AC=DF, 所以AB=BF=BD+DF=BD+AC. 作者简介 崔现昌,1988年参加工作. 一直从事数学教学工作,并负责学校的竞赛辅导. 曾辅导多人在全国竞赛中获奖,有多篇论文在省、国家报刊上发表. 注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。” |
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