| 标题 | 浅谈全微分形式不变性在多元复合函数微分法中的应用 |
| 范文 | 摘 要：通过举例说明在多元复合函数微分法中，全微分形式不变性具有思路清晰，简化步骤和易于学生理解的优点。 关键词：全微分形式不变性；多元复合函数；隐函数；偏导 DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.13.200 1 全微分形式不变性在多元复合函数微分法中的举例分析 多元复合函数微分法是高等数学中的重点，也是难点。用传统方法求解需要分清自变量和因变量，而全微分形式不变性的好处在于能够避开函数变量错综复杂的关系，从而使问题简化，提高正确率。 定理1：设函数具有连续偏导数，则无论是自变量还是中间变量，其微分形式不变，即。 定理2：（多元函数全微分运算法则）。 例1：设可微，求。 解法1：利用链式法则求解。 ， 。 解法2：利用全微分形式不变性求解。 将（3）代入（2）中，得： 将（4）代入（1）中并整理，得： ， 从而，，。 例2：设，而由方程所确定，其中都有连续的导数，求。 解法1：由方程确定的隐函数的求导公式。 设， 则，，， ，。 所以，，. 解法2：利用全微分形式不变性。 將（3）代入（1）中并整理，得： ， 所以，，。 例3 求由方程组 所确定的隐函数的偏导数。 解法1：将方程组两边对求偏导，得： 解得，，。 同理可得，。 解法2：利用全微分形式不变性。 ， 解得，， ， 一次求出四个偏导数， ， 。 ，。 2 结论 通过前面三个例题中两种解法对比，我们不难发现，用全微分形式不变性来求解，思路清晰，解题步骤简洁，也更有利于学生的理解，避免因为函数变量之间的复杂关系而导致的错误。 参考文献： [1]大连理工大学城市学院基础教学部.应用微积分（下册）[M].大连理工大学出版社，2013. [2]大连理工大学城市学院基础教学部.应用微积分同步辅导[M].大连理工大学出版社，2013. [3]同济大学数学教研室.高等数学（下册）[M].高等教育出版社，1998. 作者简介：张宇红（1979-），女，辽宁锦州人，硕士研究生，教授，研究方向：数学。 |
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