| 标题 | 列表分析数量关系 |
| 范文 | 一元一次方程与实际问题是七年级上学期的教学重点，也是难点.在教学的过程中，学生最为棘手的是如何从实际问题中建立方程模型.不少同学虽然掌握了常用的基本数量关系，但是具体到每一个实际问题中，往往不能确定每个数字的意义，即便有公式也不知道该怎么运用. 表格是数学语言的一种，它的优点是简洁明了，一目了然.通过列表，我们可以将已知条件和未知关系放在一个表格中，再运用基本数量关系，就可以方便、快速并准确地列出方程.而且，用一元一次方程解决的实际问题中包含的数量一般不超出4个，学生容易下手.我们以利润问题和行程问题为例，感受一下列表分析数量关系的优势. 1利润问题 利润问题中所包含的数量主要有成本（进价），售价，利润，利润率.这四个量之间的关系是： 利润=成本×利润率=售价-成本； 售价=成本×（1+利润率）=成本+利润； 成本=售价-利润=利润÷利润率； 原价×折扣率=现价 由于利润率是以成本为基础的，它和成本的关系更密切，所以设计表格时，将利润率放在成本和利润之间，这样也更直观地表达了”成本×利润率=利润”这个数量关系.如果在一个具体问题中，商品的价格没有变化（没有打折），表格设计成2行4列即可；如果出现了变化，表格设计为3行4列.下面举两个例子. 例1一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖出这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？（教材102页探究1） 分析判断两件衣服总的销售情况，就是要判断两件衣服的成本之和与售价之和的关系，所以突破点是求出这两件衣服的成本.以同样的价格售出，一件盈利，一件亏损，那么这两件衣服的成本必然一件大于60元，一件小于60元，它们是两个不同的数量，所以应该用不同的字母表示.我们不妨设盈利的那件衣服成本为x元，亏损的那件衣服成本为y元，列表如下： 第一种，将表格填满：用x，25%，60这3个量表示利润： 25%x=60-x（根据利润=成本×利润率=售价-成本）； 第二种：在已知的x，25%，60之间建立等量关系： （1+25%）x=60（根据售价=成本×（1+利润率））. 通过列表，既能清楚地表示60，25%，以及未知数x的意义，更能快速地找出它们之间存在的等量关系，方程很自然地就产生了.这里只列举了关于x的方程，关于y的方程大家可以试一试.我们再举一个价格有变化的例子： 例2一家服装超市将某种服装按成本价提高30%后标价，然后又以9折（按标价的90%）优惠卖出，结果每件仍可获利34元.求这种服装的成本价. 分析在这个问题中，商品的销售价格出现了调整，可以设计成3行4列式表格： 这样一来，表格中的每一行都有3个数量了.此时该列方程了.由于完成表格中的第二行时，我们已经利用了数量之间的关系，现在只能从第三行的3个数量入手，建立等量关系.如果类比例1，从填满表格的角度列方程，表达利润率会出现分式方程，所以回避.我们可以从最后一行的3个量的关系着眼，列方程为： x+34=09（1+30%）x（根据实际售价=成本+利润=原售价×折扣率） 利润问题一向是让学生感到头疼的问题，主要原因是他们缺乏生活经验，只能从教材上认识成本，售价，利润等等概念.如果他们能用表格将已知条件和未知条件各就各位，相信列方程对他们来说也就是小菜一碟了.尤其当后续学习用一元二次方程解决实际问题时，只要在表格中增加一列”销售量”就足矣！ 2行程问题 学生对行程问题中包含的数量关系是非常熟悉的： 速度×时间=路程； 路程速度=时间，路程时间=速度. 在教学中，有人喜欢将行程问题细化为相遇，追及，顺（逆）风（水）等等.其实，这种划分对学生来说反而是一种折磨.如果学生能够将表格和线段示意图结合起来，不管什么样的行程问题，都能拨云见日，快速列方程.我们也举两个例子. 例3张华和李明登一座山，张华每分登高10m，并且先出发30min（分），李明每分登高15m，两人同时登上山顶.设张华登山用了xmin，如何用含x的式子表示李明登山所用时间？试用方程求x的值，由x的值能求出山高吗？如果能，山高多少？（原题见教材98页习题33综合运用第5题） 分析此问题中涉及两个运动的目标，我们可以用一条水平的线段表示登山的路程（从左到右对应从山脚到山顶），首先设计表格为3行4列（包括速度，时间，路程），并在表格中填上已知数量： 然后，借助线段示意图找出等量关系（本题由于两人都是从山脚登上山顶，所以路程相等，线段示意图略过）， 最后，根据线段示意图，正确列出方程：10x=15（x-30）. 至于求山的高度，只需解出方程后，将x的值代入方程任意一边求值即可. 例4一支部队排成1200米长的队伍行军，在队尾的通讯员要与最前面的营长联系，他用6分钟时间跑步追上了营长，为了回到队尾，在追上营长的地方等待了24分钟.如果他从最前头跑步回到队尾，那么所需要的时间是多少分钟？ 分析这个实际问题中包含的行程可以分为3次，可以放在一个表格中. 我们以通讯员和营长为目标.设通讯员跑步的速度为a m/min，队伍前进的速度（也即营长的速度）为b m/min，通讯员从最前头跑回队尾需要x min，列表如下： 三次运动过程的线段示意图如下： 如图1，通讯员从队尾跑步追上营长：图1通讯员追上营长 A、B分别表示队尾的通讯员和队伍最前面 的营长，C点表示6分钟后通讯员追上营长时.两段路程满足： 6a=1200+6b.① 如图2，通讯员原地等待，队伍继续原速前进：图2通讯员原地等待 A表示通讯员追上营长后原地不动（此时营长也在该处），B表示24分钟后队尾到达通讯员的位置时，营长的位置，不难得出： 24b=1200.② 如图3，通讯员从队伍最前面跑回队尾：图3通讯员跑步回到队尾 其中，点A表示通讯员和营长在一起时的位置（此后两人运动方向相反），点B、C分别表示t分钟后通讯员和营长的位置， 由图，我们可以轻易列出方程： at+bt=1200.③ 三次运动过程，得到3个方程，而这三个方程中，虽然包含了3个未知数，但当我们选择从第②个方程着手时，发现解出这3个方程并不难： 由②可得b=50，将b=50代入①，可得a=250，再将a=250，b=50代入③，得到t=4. 也即通讯员如果从队伍最前头跑回队尾，所需要的时间是4分钟. 通过这四道例题，我们可以感受到表格的威力：它既能快速理清各种数量关系，更能帮助学生从实际问题中建立方程模型，从而有效解决实际问题.当然，能用表格表达数量关系的不仅仅是利润问题和行程问题，还有工程问题，数字问题，配套问题等等.只不过针对不同的类型，表格中的数量名称要发生相应变化.例如在工程问题中，表格应包含不同对象的工作效率，工作时间，以及已完成的工作量；在配套问题中，每种配件的日产量（或所耗材料），分配的人数（或材料），各种配件当天的产量，以及配套关系是表格中需要的内容.至于其他类型的问题，在这里就不一一列举了. 学生刚开始可能会因为画表格觉得繁琐，但是当习惯成自然后，我们就可以画无形的表格，不需要边框，只是借表格的样式呈现各种数量即可，这样也达到了高效，简洁的目的. 真心希望我在教学中的这点想法能帮助学生掌握解决问题的方法！ 作者简介系艳清，女，1978年生，中学一级教师.被评为武汉市青山区优秀班主任，曾有多篇论文发表. |
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