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证明二元函数极限不存在的方法与技巧

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杨万娟杨子艳木绍良

摘要：本文主要解决在证明二元函数极限不存在的问题时选择特殊路径的方法和技巧。

关键词：二元函数极限;无穷小量;无穷小量的阶;特殊路径

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.19.196

1 二元函数极限概念分析

二元函数的极限存在，是指点沿任意路径无限接近某一点时，函数总是无限接近某一固定的数。此时称为二元函数在时的极限，记作。

定理（1）设函数在内有定义，则;（2）设函数在有定义，且，则。

由定理可知，在求二元函数极限时，通过选择特殊的路径可转化为一元函数极限问题，所以，当沿着不同的路径趋于时（即当时，沿着不同的趋近于）函数趋于不同的值，那么就可以断定此函数的极限不存在。但是找到特殊路径对学生来说不是一件容易的事，因此很有必要探究该问题。本文对常见的两种类型作了讨论，其思路为：考虑分母中的最高次幂与分子中的最低次幂保持一致，通过化解可知极限是否与有关，若与有关，则可知极限不存在。

2 证明二元函数极限不存在时找特殊路径的方法

2.1 类型一：证明极限不存在时找特殊路径的方法

2.2 类型二：证明极限不存在时找特殊路径的方法

参考文献：

[1]李丽红.二元函数极限的一种简便求法[J].数学学习与研究，2018（04）：2.

[2]薛秋.二元函数极限求解的部分讨论[J].数学学习与研究，2017（19）：8.

[3]张天德.高等数学辅导及习题精解[M].浙江教育出版社，2018（01）：159.

[4]彭乃馳.微积分[M].中国人民大学出版社，2016（02）：127+147.

[5]刘丽娜.二元函数极限多种求解方法探析[J].天津中德职业技术学院学报，2015（04）：81-82.

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