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APOS理论视角下的函数教学

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范丽丽

【摘要】基于APOS理论分析“函数”这一节课各个活动环节的设计意图，反思APOS理论对初中函数教学的指导作用.

【关键词】APOS理论;活动;过程;对象;图式;函数概念

案例背景：在苏科版八年级上册6.1“函数”的教学中，学生初次接触函数，其对函数概念的理解，需要经历从具体到抽象的认识过程，需要通过大量的实际问题感受、发现世界是运动变化的，才能提炼出函数模型.它为后面学习其他函数做铺垫.函数与方程、不等式之间也有密切的关联，它是初中阶段数与代数内容的核心.

美国学者杜宾斯基的APOS理论把数学概念教学分成四个阶段：活动、过程、对象、图式.首先将所学的新知识放到一个具有实际意义的问题情境中，让学生经历多个数学活动，从而实现对数学“对象”的操作，然后对接收到的外部刺激不断进行反省和抽象，形成主观认识，达到主动建构新知识的目的，为学习的概念建立综合的心理图式，从而获取知识之间的联系，并加以应用.APOS理论指明了数学概念建构的途径和方式，它强调教师是学习的引导者，学生是学习的主体，教师引导学生主动对概念的学习进行建构活动.

案例来源：笔者在某一次市级教研活动中，有幸听了一位老师上“函数”这一节公开课，发现完全符合杜宾斯基的APOS理论.从课堂过程看，学生学习函数的兴趣完全被激发出来，从学生的当堂反馈情况看，课堂的教学效果是非常好的，学生对函数概念的掌握是到位的.所以本人觉得有必要从APOS理论视角下详细地分析一下这节课的内容.

片段一：上课铃声响起，教师开始上课.

师：请同学们告诉我早上是怎么来学校的？

生：爸爸开车送到学校.

师：那你能说一下坐车的过程吗？

生：上车、车开、下车.（他一说完全班哄堂大笑，课堂的气氛立马活跃起来，学生不紧张拘谨了）

师：那同学们能否说一说汽车行驶过程中都涉及哪些量呢？

生众：速度、路程、时间、耗油量……

师：那我们今天就进入量的世界去学习.

活动一：

[WTBX]1.汽车以60 km/h的速度匀速行驶.

2.你见过水中的涟漪吗？如图，圆形水波慢慢地扩大.

问题1：在上述不同事物的变化过程中，涉及哪些量？请写出.

（小组合作讨论、交流，教师下去巡视发现一名同学只写出速度这一个量）

教师立马上前问道：汽车匀速行驶过程中只有速度吗？

学生想了一下反应过来：在这个过程中还有时间和路程.

分析意图：从这一细节中看出这名学生头脑中没有变化的观念，作为一名初中数学教师需要了解学生的认知水平是有差异的，应该及时引导帮助学生达到他的最近发展区.

问题2：路程和时间之间有什么关系？你能结合具体的数值加以描述吗？

师：说一说这两个变量之间的关系.

生：路程÷时间=速度.

师：能不能用具体的数值来描述两者的关系？

生：如果时间为1 h，路程就为60 km.

生：时间为1，2，3，4，…，路程为60，120，180，240……

师：你为什么把60，120，180，240……写在1，2，3，4……的下面呢？

生：因为它们是对应的啊！（下面很多学生恍然大悟，深表同意）

师：大家能从他写的对应关系中发现什么？

生：时间越长，行驶的路程越远，时间确定，行驶的路程就确定.

师：我们这样对应地写下去，数值能取得完吗？

生：不能，我们可以用t表示时间，用s表示路程，则s=60t.

师：这名同学的想法非常棒，我们掌声鼓励一下！类似地看活动二.可以怎么表示圆的面积和半径之间的关系呢？

生：设圆的半径为r，面积为S，则S=πr2.（学生受到了鼓舞，积极性更高啦）

师：能用具体的数值描述一下两者的关系吗？

生：圆的半径为1时，面积为π，半径为2时，面积为4π……

师：大家发现了什么？

生：当半径取一个定值时，面积的值也随之确定.当半径变大时，圆的面积也变大.

分析意图：活动二要求学生对之前的活动过程再重复，再反思，教师在此过程中，很好地引导学生去探究、思考、归纳出两个变量之间的变化情况.

活动三：下面是某国体育代表团在第24～31届奥运会上获得的金牌统计表，把届数和金牌数分别记作x和y.

问题3：在这个变化过程中，哪些是变量？变量之间有什么关系？

生：x和y都是變量，但这两个变量之间的关系不能描述.（现场一片沉寂，大家似乎都不知道怎么描述x和y的关系）

这时候有一名学生小声嘀咕：没有表达式怎么描述它们的关系呢？找不到对应关系啊！

师：这名同学你来读一读表格吧.

生：23届15枚、24届5枚、25届16枚……

师：请问第29届的金牌数量是多少？

生：51枚.

师：你怎么这么快找到答案了呢？

生：在届数的下面就是对应的金牌数啊！

师：那请问大家，x和y有没有对应关系呢？

生：（大家异口同声）有！

师：对于x的任何值，y有几个值与之对应呢？比如，26届12枚金牌数能确定吗？

生：（学生很快发现）y只有一个值与x对应.

生：对于x的每一个值，y有唯一的值与之对应.

分析意图：表格中各届奥运会获得金牌数的统计情况，个人认为比苏科版教材上的水位高低的情境创设更利于学生的理解.但是有一个缺点，学生从数据上不易感受到一个变量随着另一个变量的变化而变化，这正好制造出课堂上的矛盾点，是很好的一种教学手段，也是本节课的一个亮点.当学生在脑子里不能认识到函数概念的本质，赋予它形式化定义的阶段进行不下去的时候，怎么办？这时候教师必须引导学生重新回到过程阶段，重新建构，重新反思，重新经历思维的内化压缩过程，才能抽象出函数概念特有的属性.

片段三：下图是南京某天的气温变化图.

你能描述温度T和时间t之间的关系吗？

生：时间的每一个值，温度有唯一的值与之对应.

师：如何验证呢？从图中能找一个具体的值吗？

生：第10 h的温度为3 ℃.

生：有两个变量，一个随着另一个的变化而变化.

师：能不能说具体一点？

生：对于一个变量的每一个值，另一个變量有唯一的值与之对应.

师：在一个什么过程中呢？

生：在变化的过程中.

问题4：如何验证气温是时间的函数？

生：气温随着时间的变化而变化，在每一个时间上，都有唯一的温度值与之对应，所以气温是时间的函数.

师：那么时间是气温的函数吗？

生一部分：不是！反过来.

生一部分：是！

（学生争论不下，课堂气氛异常热烈）

师追问：请大家回想函数的定义，再仔细观察图像，能发现什么呢？

生：有的温度值对应两个时间值，不是唯一的值.比如，温度为2 ℃时，时间为8 h和19 h.

有同学立马说：温度为-1 ℃时，对应的时间有三个值呢！（这时候全部同学都抬起头，仔细观察图像，发现确实如此）

师：那是不是所有的自变量和函数都不能反过来互换身份？

生：不是，比如，路程是时间的函数，反过来时间也是路程的函数，可以表示为t=s[]60，s确定时，t有唯一的值与之对应.

分析意图：因为学生对一些关键词，比如“唯一确定”的含义理解模糊，所以对函数概念的深入辨析是必不可少的环节，这样，教师才能及时纠正部分学生在APOS理论实施的某一个阶段所产生的错误，消除学生认知结构水平和数学概念结构水平的差异.

活动四：你能不能举出一些生活中的函数例子？

生：汽车去加油站加油，加油量和油的总价.

生：烧水的时间和水的温度.

生：乘坐出租车，所付车费和乘车距离.

（同学们非常积极地举了很多例子，下课铃声响了，很多同学还意犹未尽）

分析意图：经历活动、过程、对象三个阶段，学生建立了关于函数的初步心理图式.让学生列举生活中的函数例子，目的就是引导学生建构再建构的过程，是概念学习的提高阶段，是利用APOS理论评估函数概念学习最终达到的效果.

案例反思：本案例抓住概念形成的规律，结合初中生的心理认知水平，以及学生的生活实际，依据APOS理论指导，成功地达成这一节课的教学目标.

函数概念是一个基础概念，它是变量数学的开端，如果教师上课单纯地讲授什么是变量，什么是自变量，什么是函数，那么学生很难感受到函数是研究运动变化的数学模型.所以教学中利用APOS理论是很有必要的，在变化的问题情境中，经历活动、过程、对象、图式四个阶段，认识常量、变量、函数概念.函数概念形成过程中，活动阶段是把学生带入生活实际情境中，过程阶段需要教师引导学生去操作、去感知、去反思抽象，思维不断内化压缩，才能领悟到函数概念的本质，达到对象阶段，形成对函数相对稳定的认识，而图式的形成是一种动态、螺旋式的建构与再建的过程，需要经历一个长期的学习过程，需要教师在后期的教学中帮助学生建立概念的纵向联系，主要指函数内部之间的联系，一般由函数的内涵外延引申出来的一次函数、反比例函数、二次函数的概念、图像与性质等，也要帮助学生建立横向之间的联系，主要指函数与其他概念之间的联系，比如，函数与方程、不等式之间的关系，只有这样，才能在学生头脑中形成综合的心理图式.

【参考文献】

[1]曹丽娟.基于APOS理论下的高中函数概念教学方式探究[D].西安：陕西师范大学硕士论文，2012（5.1）.

[2]沙月红.“数学抽象”素养培养的策略—以函数概念教学的教学设计为例[J].数学之友.2018（2.16）.

[3]卫德彬.提高初中函数学习效率的几点思考[J].中学数学教学，2014（8.15）.

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