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标题

浅谈概率中的研究性学习

范文

董华赵翔华

【摘要】本文通过对几道例题的分析，展示了分解法在求期望和方差中的作用，并引导学生进行研究性学习从而培养学生的探索精神和创新能力.

【关键词】分解;数学期望; 方差

【基金项目】曲阜师范大学教改项目

大学的课堂与中学的课堂有着本质的差别，中学学习主要是学生从教师已梳理好的、系统的知识体系中去汲取，而大学学习不仅是为了掌握知识点，更是为了培养学生的学习能力.研究性的学习能够充分调动学生学习的积极性并使其主动参与课堂教学，有助于培养学生独立思考的能力，提高学生分析问题、解决问题的能力.培养具有探索创新精神的大学生正是新时代大学的使命.因此，大学课堂开展研究性学习非常必要.

数学期望和方差是随机变量的两个重要的数字特征.数学期望是消除随机性的主要手段，方差则刻画了随机变量的取值在数学期望周围的“波动”程度.数学期望与方差在金融、保险、医学、工农业生产中都有广泛的应用，因此如何求数学期望和方差就是一个重要的问题了.通常情况下，我们求随机变量的数学期望和方差主要是利用定义和性质.有些问题中随机变量的分布很难求，有些问题中虽然随机变量的分布不难求但是用定义法求期望和方差需要大量的、繁杂的数学计算.因此，仅靠定义法求数学期望和方差不是一个高效的办法.在一些比较复杂的问题中，如果能够结合数学期望的线性性质并合理利用一些分解变量的小技巧就能够使求数学期望的问题变得简单，方差问题也是如此.对于一些初学者来说，学会一个事半功倍的方法有助于他们快速解决一类问题，更有助于他们在日后的学习中增强信心，发散思维继而解决更多的难题.本着研究性学习的初衷，本文我们通过几个求数学期望和方差的例子展示概率中研究性学习的教学过程，带领学生探索求数学期望和方差的方法，希望学生能够学会举一反三，培养学生勇于探索的精神.

巧妙利用随机变量的分解法求数学期望和方差在文献[1]中已有探索.下面首先回顾一下这道例题：

例1[2] 设随机变量X～b（n，p），试求X的数学期望和方差.

解设X1，X2，…，Xn为相互独立的随机变量，且Xi都服从0-1分布b（1，p），则

E（Xi）=p，Var（Xi）=p（1-p）且X=∑ni=1Xi～b（n，p）.

由数学期望和方差的性质得

E（X）=∑ni=1E（Xi）=np，

Var（X）=∑ni=1Var（Xi）=np（1-p）.

例1将随机变量X～b（n，p）分解为n个独立同分布的0-1分布的随机变量的和，然后再利用数学期望的线性性就可以方便地求得随机变量X的期望.通过观察我们发现，例1在利用分解的方式求数学期望和方差的过程中并不需要“同分布”这一性质，所以我们可以把例1中的分解方法运用到一些可以分解为相互独立的0-1分布随机变量和的问题.

例2[2] 设进行n次独立随机试验，事件A在第k次试验中发生的概率记为pk，求事件A在n次试验中出现的总次数X的数学期望与方差.

解令Xk=1，第k次试验中事件A发生，0，第k次试验中事件A不发生，

则X1，X2，…，Xn相互独立且X=∑nk=1Xk.

令pk=P（Xk=1），则E（Xk）=pk，Var（Xk）=pk（1-pk）.

所以E（X）=∑nk=1E（Xk）=∑nk=1pk，

Var（X）=∑nk=1Var（Xk）=∑nk=1pk（1-pk）.

显然，当pk=p时，例题2就是例题1.那是不是只有在随机变量X能分解为n个独立的0-1分布随机变量X1，X2，…，Xn 的和时我们才能用前面的分解法求数学期望和方差呢？答案当然是否定的，我们看下面的例子：

例3 把m个球随机地放进 n个盒子，X表示空盒子数.求X的数学期望和方差.

解令Ak表示第k（k=1，2，…，n）个盒子是空的，则

X=∑nk=1IAk且P（Ak）=n-1nm，P（AkAj）=n-2nm.

由期望的线性性可得X的数学期望为E（X）=∑nk=1E（IAk）=n1-1nm.

而E（X2）[ZK（]=E（∑nk=1IAk）2=E∑nk=1∑nj=1E（IAkAj）

=∑k≠jE（IAkAj）+∑nk=1E（IAk）

=n（n-1）1-2nm+n1-1nm，[ZK）]

因此，X的方差為

Var（X）=E（X2）-（E（X））2=n（n-1）1-2nm+n1-1nm-n21-1n2m.

这里的空盒子数就可以理解为空盒子出现的“次数”，每个盒子或“是空盒子”或“不是空盒子”，所以对每个盒子而言，“空盒子”出现次数或是“0”或是“1”，并且各个盒子之间是不是空盒子不是独立的.因此，分解法对于随机变量能分解为不独立的随机变量和的问题也是适用的.

在教学过程中，用例1作为引子，引导学生放宽题设条件，依次引入例2（独立不同分布）和例3（不独立但可以同分布）.让学生在分析中自己去发现、去总结.不难看出，例1～3都是把一个表示“总次数”的随机变量分解成几个0-1分布随机变量和的方式求数学期望和方差的.那么是不是只有表示“总次数”的随机变量能分解为0-1分布随机变量和的形式才能用分解法来求期望和方差呢？当然不是！我们看下面的例4.

例4[3] 流水作业线上生产的每个产品为不合格品的概率为p，当生产出k个不合格品时即停工检修一次.求在两次检修之间产品总数的数学期望.

解设X表示两次检修之间的产品总数，生产到第X1件产品出现第一件不合格品，从第i-1 件不合格品出现后再生产Xi件产品出现第i 件不合格品.因此，X=X1+…+Xn，且Xi～Geo（p）.

由题意可知Xi（i=1，2，…，n）相互独立，因此，由期望和方差的性质分别可得 E（X）=∑ni=1E（Xi）=np，Var（X）=∑ni=1Var（Xi）=n（1-p）p2.

例4中通过将随机变量分解为许多独立同分布的几何随机变量的和来求隨机变量的期望，说明分解法对分解出来的随机变量的类型是没有要求的.实际上，许多具有可加性的分布都是可以反过来通过分解法求期望的，比如负二项分布、卡方分布、伽马分布等.

例1～4都是通过将随机变量经过一次分解来解题的，实际上分解是可以多次进行的.下面的游程数问题是个比较综合的问题，需要经过多次分解.

例5[4] 设n个1和m个0随机地排成一个序列，一共有（m+n）！[]m！n！种可能的排列法，每种排列法都是等可能的.在一个序列中，连在一起的1构成“1”的游程.例如，n=6，m=4，6个1和4 个0构成如下的一个排列：1，1，1，0，1，1，0，0，1，0，其中第一组3个1构成一个“1”的游程，在这个序列中一共有3个“1”的游程.求n个1和m个0随机地排成一个序列时游程个数的期望.

解令Ai 表示一个1的游程开始于第i个位置，排列中“1”的游程个数记为R（1），“0”的游程个数记为R（0）.由题意可知，R（1）=∑m+ni=1IAi.经计算可知：

P（A1）=nm+n，

对于1

E（IAi）=P（Ai）=mm+n·nm+n-1.

因此，

E（R（1））[ZK（]=∑m+ni=1E（IAi）

=nm+n+（m+n-1）mn（m+n）（m+n-1）

=nm+n+mnm+n.[ZK）]

类似地，

E（R（0））=∑m+ni=1E（IAi）=mm+n+mnm+n.

所以，游程个数的数学期望为E[R（1）+R（0）]=1+2mnm+n.

例5先按照游程是由“0”还是由“1”形成的进行了第一次分解，然后再按照每个游程开始的具体位置进行了第二次分解.

在例1的基础上，引导学生不断提出问题，然后逐步放宽限制，最终把例1的分解思想推广到一些更一般的情况，这个过程也体现了分解法在不同模型中的应用.引导学生对比这几道例题的共同之处，做出总结，从而掌握一类解决问题的方法.这个学习过程调动了学生学习的积极性，激发了学生的求知欲，培养了学生的创新能力.

【参考文献】

[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2019.

[2]邓集贤，杨维权，司徒荣，等.概率论及数理统计（上册）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2008.

[4]Sheldon M.Ross.概率论基础教程（原书第9版）[M].童行伟，梁宝生，译.北京：机械工业出版社，2014.

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