标题 | 关于函数对称点的两个结论及应用举例 |
范文 | 金晓江 摘 ?要:归纳、猜想、证明是获取数学知识的一种重要途径,可以用在一个具体问题的解决上,也可以用在对这类问题共性和规律的再归纳、再猜想、再证明,从而得到更一般的结论,这样的数学学习会更有意义. 关键词:对称中心;对称轴 《基于合情推理的解题教学实践》一文摘录 题目1 已知实数a,b满足a3-3a2+5a=1,b3-3b2+5b=5,求a+b的值. 设f(x)=x3-3x2+5x-3,f(-1)=-12,f(0)=-3,f(1)=0,f(2)=3,f(3)=12,师生共同发现函数f(x)关于点(1,0)中心对称. 题目2 已知f(x)=2x-cosx,{an}是公差为 ?的等差数列,f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π,则[f(a3)]2-a1a5等于( ?) A.?摇0 B.?摇 ? C.?摇 ? D.?摇 解:因为f(-π)=-2π+1,f- ?= -π,f(0)=-1, f ?=π,f(π)=2π+1,f ?=3π,f(2π)=4π-1,由此归纳出函数f(x)关于点 ?,π中心对称. 应用推广上碰到了问题 其实以上两例中,如果题目设定的函数对称中心的数值更复杂些,就不太容易得出猜想,所以从一组特殊的函数值归纳猜想函数的对称中心并不太容易. 如f(x)=x3-x2+5x的图象对称中心为 ?, ?. 又如f(x)=2x-cos4x的图象对称中心为 ?, ?. 所以有必要寻求一种求解函数图象对称中心的更加方便的方法. 对称中心的求解有法可依 定理1 ?定义在R上的可导函数f(x)的图象关于点(h,f(h))对称的充要条件是导函数f ′(x)的图象关于直线x=h对称. 必要性证明:若函数f(x)的图象关于点(h,f(h))对称,则对于任意的x恒有f(h+x)+f(h-x)=2f(h). 因为函数f(x)可导,对上式两边求导得f ′(h+x)-f ′(h-x)=0,即f ′(h+x)=f ′(h-x). 所以函数f ′(x)的图象关于直线x=h对称. 充分性证明:若函数f ′(x)的图象关于直线x=h对称,则对于任意的x恒有f ′(h+x)=f ′(h-x). 对上式两边积分得f(h+x)=-f(h-x)+λ. 令x=0,则有λ=2f(h), 所以f(h+x)+f(h-x)=2f(h), 所以函数f(x)的图象关于点(h,f(h))对称. 定理1给出了求函数对称中心的一条路径,即欲求函数图象的对称中心,可先求其导函数图象的对称轴. 对称中心条件下的一个结论 定理2 ?定义在A上的单调函数f(x)的图象关于点(a,f(a))对称,等差数列{an}满足an∈A,若f(a1)+f(a2)+…+f(a2n+1)=(2k+1)f(a),则an+1=a. 证明:设等差数列的公差为d, 1. 当函数f(x)单调递增时. 若an+1>a,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2n+1)=f(an+1-nd)+…+f(an+1)+…+f(an+1+nd)>f(a-nd)+…+f(a)+…+f(a+nd)=(2n+1)f(a),这与已知矛盾若an+1 2. 当函数f(x)单调递减时,同理可得an+1=a. 综上,定理2成立. 结论的应用举例 题目1 已知实数a,b满足a3-3a2+5a=1,b3-3b2+5b=5,求a+b的值. 解:设f(x)=x3-3x2+5x, 则f ′(x)=3x2-6x+5. 因为函数f ′(x)的图象关于直线x=1对称,由定理1得函数f(x)的图象关于点(1,3)对称. 所以f(a)+f(2-a)=6?摇(1), 因为f(a)+f(b)=6?摇(2), (1)-(2)得f(2-a)=f(b). 因为f ′(x)=3x2-6x+5=3(x-1)2+2>0, 所以f(x)在(-∞,+∞)上为增函数, 由f(2-a)=f(b)可得2-a=b, 所以a+b=2. 题目2 已知f(x)=2x-cosx,{an}是公差为 ?的等差数列,f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π. 则[f(a3)]2-a1a5等于( ?) A.?摇0 B.?摇 ? C.?摇 ? D.?摇 解:因为f ′(x)=2+sinx>0,所以f(x)为增函数且f ′(x)的图象关于直线x= ?对称,由定理1得函数f(x)的图象关于点 ?,π中心对称. 因为f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π=5f ?,由定理2得a3= ?. 所以[f(a3)]2-a1a5=π2- ?- ? ?+ ?= ?. 题目3 已知函数f(x)=(x-3)5+x-1,等差数列{an}的公差d≠0,f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=54,若f(ak)=2,求k的值. 解:因为f ′(x)=5(x-3)4+1>0,所以f(x)为增函数且f ′(x)的图象关于直线x=3对称. 由定理1知f(x)的图象关于点(3,2)对称. 因为f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=27f(3), 由定理2得a14=3. 所以f(a14)=f(ak)=2,而f(x)为增函数. 所以ak=a14,因为公差d≠0,所以k=14. 归纳、猜想、证明是获取数学知识的一种重要途径. 可以用在一个具体问题的解决上,也可以用在对这类问题共性和规律的再归纳、再猜想、再证明,从而得到更有一般性的结论,这样的数学学习会更有意义. |
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