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标题 二次函数与等腰三角形问题
范文

    夏满

    

    

    【摘要】初中数学知识可以分为两大类:一类为代数,其中代表知识为函数;另一类为几何,其中三角形是初中阶段学习的基本图形之一.函数问题与三角形的结合是常见的问题,主要考查学生对二次函数及三角形的基本性质是否熟练掌握,属于综合性较强的问题.

    【关键词】二次函数;等腰三角形的性质;等腰三角形的画法

    一、等腰三角形的轴对称性

    如图1所示,△ABC是以AB为底边的等腰三角形.过点C作CD⊥AB,可得到以下重要性质:

    (1)CD所在的直线是线段AB的垂直平分线;

    (2)点D为线段AB的中点.

    二、画等腰三角形

    如图2所示,已知平面內有一条线段AB,请在平面内找一点C,使△ABC为等腰三角形.

    解 (1)若三角形是以AB为腰的等腰三角形,如图3所示,分别以点A、点B为圆心,以AB的长为半径画圆,则该圆上所有点(除与直线AB共线时的点外)均可以与线段AB构成以AB为腰的等腰三角形,如△ABC1,△ABC2.

    (2)若三角形是以AB为底边的等腰三角形,如图3所示,分别以点A、点B为圆心,以AB的长为半径画圆,两圆的交点分别记为点M、点N,连接MN,则该直线上所有的点(除与直线AB共线时的点外)均可以与线段AB构成以AB为底边的等腰三角形,如△ABC3.

    (3)特别的,当点C与点M(或点N)重合时,此时△ABC为等边三角形.

    三、典例赏析

    如图4,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2-3x-4的图像交坐标轴于A(-1,0),B(4,0),C(0,-4)三点.

    (1)在抛物线上是否存在点P,使△PBC是以BC为底边的等腰三角形?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.

    (2)在x轴上是否存在点H,使△HBC是以BC为腰的等腰三角形?若存在,直接写出点H的坐标;若不存在,请说明理由.

    分析 (1)方法一:已知△PBC是以BC为底边的等腰三角形,B(4,0),C(0,-4),利用中点坐标公式求出线段BC的中点坐标为(2,-2),过中点作BC的垂线,该垂线与抛物线的交点即为所求的点P.

    方法二:设点P的坐标为(a,a2-3a-4),利用两点间的距离公式表示线段PB,PC,由PB=PC列出等量关系式,求出P点坐标.

    (2)连接BC,分别以B,C为圆心、BC的长为半径画圆,该圆与x轴的交点即为所求的H点.利用两点间的距离公式可表示出线段BH,HC的长,依据BH=HC列出等量关系式再求解(或借助圆与等腰三角形的对称性求解).

    解

    (1)方法一:如图5所示,∵B(4,0),C(0,-4),∴线段BC的中点H(2,-2).

    【参考文献】

    陈汝作,钱耀邦.初中数学解题技巧[M].上海:东方出版中心,1998.

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更新时间:2025/3/12 0:20:43