| 标题 | 高考数学必做客观题——解析几何 |
| 范文 | 赵攀峰 1 直线方程及位置关系 （ ）必做1 动点M（x，y）满足 =xsinα+ycosα-1（其中α为常数），那么动点M的轨迹是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 精妙解法 动点M（x，y）的几何意义是到定点P（sinα，cosα）的距离等于到定直线l：xsinα+ycosα-1=0的距离，又P∈l，所以点M的轨迹是过P且垂直于l的直线. 故选A. （ ）必做2 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线. 已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），若其欧拉线方程为x-y+2=0，则顶点C的坐标是__________. 精妙解法 AB的中点为（1，2），直线AB的垂直平分线方程为y-2= （x-1），将其与欧拉线方程联立，解得外心（-1，1）. 设C（a，b），则重心G ， ，有 = +2，即b=a+4. 又AB的中点与外心的距离为 ，AB的中点与A的距离为 ，所以在由外心、点A、AB的中点组成的直角三角形中，点A到外心的距离为 ，即点C到外心的距离为 ，所以（a+1）2+（b-1）2=10，解得a=-4，b=0或a=0，b=4（舍），所以C（-4，0）. （ ）必做3 在平面直角坐标系中，动点P（a，b）到直线l1：y=3x和l2：y=- x的距离之和为4，则 的最小值为________. 精妙解法 法1：由题意可知：d1= ，d2= ，且d1+d2=4，即 =4，则有10（a2+b2）+23a-ba+3b=160. 因为160≤10（a2+b2）+（3a-b2+a+3b2）=20（a2+b2），则a2+b2≥8， 的最小值为2 . 法2：由于l1，l2互相垂直，则P（a，b）到两直线的距离之和即为一个矩形的两直角边长的和. 可设两边长分别为x，y，则x+y=4，而OP2=x2+y2，则由不等式的知识可得： x2+y2≥2· =2×4=8，即OP2=a2+b2≥8，得解. 法3：由于l1，l2互相垂直，可将其看做是直角坐标系. 在直角坐标系内，到两坐标轴的距离之和为4的轨迹是直线x+y=4， 的最小值即等价于从O到直线的距离最小，那么即为过O引直线的垂线，即dmin=2 . 金刊提醒 直线方程常与方程（组）相联系，依据题意转化为方程组求解，注意此处知识的交汇，两直线的位置关系要做到数形结合，这就要求我们注意数形之间的转化以及较强的运算能力，才能够快速地多角度、全方位解决问题. 2 圆的方程及位置关系 （ ）必做1 已知圆M：x2-2x+y2-2y=0与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，点C是该圆在第一象限内的圆弧上的一个动点，则△ABC的面积的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 精妙解法 法1：圆M： x2-2x+y2-2y=0可化为（x-1）2+（y-1）2=2，得到圆心M（1，1），半径为 . 又A（2，0），B（0，2），AC⊥BC，由AB为直径，设∠BAC=θ，则S△ABC= AC·BC= ·2 cosθ·2 sinθ=2sin2θ，即θ=45°时，S△ABC取最大值2. 法2：画出图形，求出A（2，0），B（0，2），得AB为直径，由图可知当CM⊥AB时，△ABC的面积最大为2. （ ）必做2 与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是_____. 精妙解法 曲线化为（x-6）2+（y-6）2=18，其圆心到直线x+y-2=0的距离为d= =5 . 所求的最小圆的圆心在直线y=x上，圆心到直线x+y-2=0的距离为 ，所以圆心坐标为（2，2），半径为 ，标准方程为（x-2）2+（y-2）2=2. 极速突击 数形结合，通过几何图形快速确定圆的圆心、半径，充分利用问题的“个性”条件. 一般利用几何意义解题会比较直观、简捷. （ ）必做3 圆C的方程为（x-2）2+y2=4，圆M的方程为（x-2-5cosθ）2+（y-5sinθ）2=1（θ∈R），过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别是E，F，则 · 的最小值是__________. 精妙解法 圆（x-2）2+y2=4的圆心C（2，0），半径等于2，圆（x-2-5cosθ）2+（y-5sinθ）2=1的圆心M（2+5cosθ，5sinθ），半径等于1. 因为CM= =5>2+1，故两圆相离. 由 · = 2cos∠EPF，要使 · 最小，需 最小，且∠EPF最大. 如图1，设直线CM和圆M交于H，G两点，则 · 的最小值是 · . HC=CM-1=4，HE= =2 ，由sin∠CHE= = ，得cos∠EHF=cos2∠CHE=1-2sin2∠CHE= ，所以 · = · ·cos∠EHF=2 ·2 · =6. 图1 极速突击 本题考查两圆的位置关系、两圆的切线、向量的数量积的定义、二倍角的余弦公式，体现了数形结合、转化化归的数学思想，将 · 的最小值转化为求 · 是解题的关键.圆与圆的位置关系的判定常用几何法：设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2，两个圆的圆心距d=O1O2，则d>r1+r2 圳两圆外离 圳两圆仅有4条公切线；d=r1+r2 圳两圆外切 圳两圆仅有3条公切线；d=r1-r2 圳两圆内切 圳两圆仅有1条公切线；r1-r2 金刊提醒 掌握圆的一般方程和标准方程，“选形式，求参数”是确定圆的方程的基本方法，圆心是定位，半径是定形，将代数和几何的方法有效结合起来，会比较直观和简洁.圆心与半径作为圆的两个核心要素要念念不忘，“圆不离心”，涉及圆的试题大多要从圆心考虑，通过半径建立关系. 3 直线与圆的位置关系 （ ）必做1 若点P（a，b）是直线x+y= 与圆x2+y2= - 的一个公共点，则ab的取值范围是（ ） A. - ，+∞ B. - ，2 C. - ， D. - ， 精妙解法 由条件知， a+b= ， a2+b2= - ， 所以ab= = - - = - . 由x+y= ，x2+y2= - 得x2- x+ - =0，由Δ≥0，得m≥ . 又 - >0，得m> ， 所以0< ≤ . 所以ab= - = - - ∈- ， ，故选C. （ ）必做2 若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2 ，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. ， B. ， C. ， 摇 摇 摇 摇 D. 0， 精妙解法 法1：圆x2+y2-4x-4y-10=0整理为（x-2）2+（y-2）2=（3 ）2， 圆心坐标为（2，2），半径为3 . 要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为2 ，则知圆心到直线的距离应小于或等于 ， ≤ ， +4 +1≤0，则-2- ≤ ≤-2+ ，k=- ，则2- ≤k≤2+ ， 故直线l的倾斜角的取值范围是 ， ，选B. 法2：由题意可知：圆心到直线的距离为 ，而圆心与原点连线的倾斜角为45°，且圆心到原点的距离为2 ，故有倾斜角为45°±30°，故选B. 极速突击 判断直线与圆的位置关系最常用的方法：（1）代数法（即判别式法）：讨论圆的方程与直线方程的实数解的组数. （2）几何法：比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小. 直线Ax+By+C=0与圆（x-a）2+（y-b）2=r2的位置关系有如下三种：设d= ，d>r 圳相离 圳Δ<0；d=r 圳相切 圳Δ=0；d （ ）必做3 与圆C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线与x轴、y轴的正半轴交于A，B，OA>2，OB>2，则△AOB的面积的最小值为_______. 精妙解法 圆C：（x-1）2+（y-1）2=1，圆心C（1，1），半径r=1. 设A（a，0），B（0，b），a>2，b>2，则直线AB的方程为bx+ay-ab=0. 所以圆心C到直线AB的距离d= =1，两边平方得2ab-2ab（a+b）+a2b2=0. 因为ab≠0，所以2-2（a+b）+ab=0，即（a-2）（b-2）=2. 又a>2，b>2， 设a-2=m>0，b-2=n>0，则mn=2， 所以S△AOB= ab= （m+2）（n+2）= （mn+2m+2n+4）≥ （mn+4 +4）=3+2 . 当且仅当m=n即a=b时取等号，所以△AOB的面积的最小值为3+2 . 极速突击 先求出圆心坐标和半径，利用A，B的坐标写出直线AB的方程，由直线AB与圆相切，得出关于a，b的关系式，利用基本不等式求出面积的最小值. 金刊提醒 处理直线与圆的位置关系问题，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何性质，尽可能简化运算，直线与圆的位置关系一般不会利用方程组的解的情况，而是利用圆心到直线的距离. 4 圆锥曲线的定义 （ ）必做1 已知椭圆 + =1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线与椭圆交于点P，且PF2⊥x轴，则椭圆的离心率e为（ ） A. B. C. D. 精妙解法 设F2（c，0），带入椭圆方程得PF2= . 在Rt△PF1F2中，可得PF1=2PF2= . 由椭圆定义可得PF1+PF2= =2a，所以 = ，则e= = . 故选A. 极速突击 凡是涉及与两个定点的“距离的和”有关的问题，可考虑利用椭圆的定义与性质进行探索，特别是有关“焦点三角形”的问题，还经常结合正弦、余弦定理进行考查. （ ）必做2 设A，B为双曲线 - =λ（λ≠0）同一条渐近线上的两个不同的点，已知向量m=（1，0），AB=6， =3，则双曲线的离心率e等于（ ） A. 2或 B. 2或 C. D. 2 精妙解法 注意到向量m=（1，0）是x轴上的单位向量， =3表示向量 在x轴上的射影长为3，而AB=6，因此A，B点所在的渐近线与x轴的夹角为60°. ①当λ>0时，有 =tan60° 圯b= a，所以c2=a2+b2=4a2 圯e= =2； ②当λ<0时，有 =tan60° 圯a= b，所以c2=a2+b2=4b2 圯e= = . 综上所述，选A. （ ）必做3 过抛物线x2=2py（p>0）的焦点F作倾角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（A在y轴左侧），若 =λ ，则λ=_____. 精妙解法 作出x2=2py的图象，A在第二象限，延长BF交准线l：y=- 于M. 作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，则∠BMB1=30°. 设BF=m，AF=n，则BB1=m，AA1=n，所以BM=2m，AM=2n. 又BM=BF+FA+AM=m+3n，所以m=3n，即BF=3AF. 所以λ=-3. 极速突击 对于抛物线中的有关焦点弦长的问题，要联系准线，把到焦点的距离转化为到准线的距离，运用平面几何、三角等知识求解. 金刊提醒 求圆锥曲线方程问题一般是采取“先定形、后定量”的原则，定形：圆锥曲线的焦点位置与对称轴位置，根据形选取相应的方程形式；定量：根据圆锥曲线的“形”，由题设条件找到方程中待定系数满足的关系式，通过解方程或者解方程组得到相关量的值. 摇 5 圆锥曲线的性质 （ ）必做1 已知椭圆 + =1的左、右焦点分别为F ，F ，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P，Q， 则△F1PQ内切圆的面积的最大值是_________. 精妙解法 设直线l：x=my+1，与椭圆方程联立得（3m2+4）y2+6my-9=0. 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y +y = - ，y y =- ， 于是S = F1F2·y -y = =12 . 因为 = = ≤ ，当且仅当m2+1=1时，等号成立，所以（S ）max=3. 又S = （PQ+PF1+QF1）r= （PF2+PF1+QF2+QF1）r=4r，所以内切圆半径rmax= ，因此其面积最大值是 π. 误点警示 此题容易在求 的最值时发生错误，易得错误结论 ≤ . 利用均值不等式求最值一定要注意三条件，即“一正、二定、三相等”，三条件缺一不可，缺少任何一个，都不能用此法求最值. （ ）必做2 已知抛物线y2=2px（p>0）与双曲线 - =1（a>0，b>0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（ ） A. 0， B. ， C. ， D. ， 精妙解法 设双曲线半焦距为c，l的倾斜角为θ，则c2=a2+b2>b2，依题意有c= ①，在抛物线中求得AF=p，在双曲线中求得AF= ，所以 =p②，由①②得 =2c，故tanθ= = >2. 又θ∈0， ，于是θ∈ ， ，选D. （ ）必做3 已知点A（ ，0）和曲线y= （2≤x≤2 ）上的点列P1，P2，…，Pn，若P1A，P2A，…，PnA成等差数列，并且公差d∈ ， ，则n的最大值为______. 精妙解法 题设的曲线是如下的曲线的一段，即 -y2=1（2≤x≤2 ，y≥0），A（ ，0）是它的右焦点，x= 是右准线. 设P（2 ，2），离心率e= ，得PnAmin= -2，PnAmax=ePH= 2 - =3（PH为P到准线的距离）. 由等差数列a1= -2，an=3，则d= （n>1），而d∈ ， ，即n∈（7，15），故n的最大值为14. 金刊提醒 在平面解析几何中，抓住定义的本质属性和曲线方程的几何特征，往往能为研究曲线的几何性质提供简捷的解题途径.同时，要充分认识和体验某些几何量的几何意义，重视“形助数”和“数研形”的简化运算功能. 极速突击 对于抛物线中的有关焦点弦长的问题，要联系准线，把到焦点的距离转化为到准线的距离，运用平面几何、三角等知识求解. 金刊提醒 求圆锥曲线方程问题一般是采取“先定形、后定量”的原则，定形：圆锥曲线的焦点位置与对称轴位置，根据形选取相应的方程形式；定量：根据圆锥曲线的“形”，由题设条件找到方程中待定系数满足的关系式，通过解方程或者解方程组得到相关量的值. 摇 5 圆锥曲线的性质 （ ）必做1 已知椭圆 + =1的左、右焦点分别为F ，F ，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P，Q， 则△F1PQ内切圆的面积的最大值是_________. 精妙解法 设直线l：x=my+1，与椭圆方程联立得（3m2+4）y2+6my-9=0. 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y +y = - ，y y =- ， 于是S = F1F2·y -y = =12 . 因为 = = ≤ ，当且仅当m2+1=1时，等号成立，所以（S ）max=3. 又S = （PQ+PF1+QF1）r= （PF2+PF1+QF2+QF1）r=4r，所以内切圆半径rmax= ，因此其面积最大值是 π. 误点警示 此题容易在求 的最值时发生错误，易得错误结论 ≤ . 利用均值不等式求最值一定要注意三条件，即“一正、二定、三相等”，三条件缺一不可，缺少任何一个，都不能用此法求最值. （ ）必做2 已知抛物线y2=2px（p>0）与双曲线 - =1（a>0，b>0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（ ） A. 0， B. ， C. ， D. ， 精妙解法 设双曲线半焦距为c，l的倾斜角为θ，则c2=a2+b2>b2，依题意有c= ①，在抛物线中求得AF=p，在双曲线中求得AF= ，所以 =p②，由①②得 =2c，故tanθ= = >2. 又θ∈0， ，于是θ∈ ， ，选D. （ ）必做3 已知点A（ ，0）和曲线y= （2≤x≤2 ）上的点列P1，P2，…，Pn，若P1A，P2A，…，PnA成等差数列，并且公差d∈ ， ，则n的最大值为______. 精妙解法 题设的曲线是如下的曲线的一段，即 -y2=1（2≤x≤2 ，y≥0），A（ ，0）是它的右焦点，x= 是右准线. 设P（2 ，2），离心率e= ，得PnAmin= -2，PnAmax=ePH= 2 - =3（PH为P到准线的距离）. 由等差数列a1= -2，an=3，则d= （n>1），而d∈ ， ，即n∈（7，15），故n的最大值为14. 金刊提醒 在平面解析几何中，抓住定义的本质属性和曲线方程的几何特征，往往能为研究曲线的几何性质提供简捷的解题途径.同时，要充分认识和体验某些几何量的几何意义，重视“形助数”和“数研形”的简化运算功能. 极速突击 对于抛物线中的有关焦点弦长的问题，要联系准线，把到焦点的距离转化为到准线的距离，运用平面几何、三角等知识求解. 金刊提醒 求圆锥曲线方程问题一般是采取“先定形、后定量”的原则，定形：圆锥曲线的焦点位置与对称轴位置，根据形选取相应的方程形式；定量：根据圆锥曲线的“形”，由题设条件找到方程中待定系数满足的关系式，通过解方程或者解方程组得到相关量的值. 摇 5 圆锥曲线的性质 （ ）必做1 已知椭圆 + =1的左、右焦点分别为F ，F ，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P，Q， 则△F1PQ内切圆的面积的最大值是_________. 精妙解法 设直线l：x=my+1，与椭圆方程联立得（3m2+4）y2+6my-9=0. 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y +y = - ，y y =- ， 于是S = F1F2·y -y = =12 . 因为 = = ≤ ，当且仅当m2+1=1时，等号成立，所以（S ）max=3. 又S = （PQ+PF1+QF1）r= （PF2+PF1+QF2+QF1）r=4r，所以内切圆半径rmax= ，因此其面积最大值是 π. 误点警示 此题容易在求 的最值时发生错误，易得错误结论 ≤ . 利用均值不等式求最值一定要注意三条件，即“一正、二定、三相等”，三条件缺一不可，缺少任何一个，都不能用此法求最值. （ ）必做2 已知抛物线y2=2px（p>0）与双曲线 - =1（a>0，b>0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（ ） A. 0， B. ， C. ， D. ， 精妙解法 设双曲线半焦距为c，l的倾斜角为θ，则c2=a2+b2>b2，依题意有c= ①，在抛物线中求得AF=p，在双曲线中求得AF= ，所以 =p②，由①②得 =2c，故tanθ= = >2. 又θ∈0， ，于是θ∈ ， ，选D. （ ）必做3 已知点A（ ，0）和曲线y= （2≤x≤2 ）上的点列P1，P2，…，Pn，若P1A，P2A，…，PnA成等差数列，并且公差d∈ ， ，则n的最大值为______. 精妙解法 题设的曲线是如下的曲线的一段，即 -y2=1（2≤x≤2 ，y≥0），A（ ，0）是它的右焦点，x= 是右准线. 设P（2 ，2），离心率e= ，得PnAmin= -2，PnAmax=ePH= 2 - =3（PH为P到准线的距离）. 由等差数列a1= -2，an=3，则d= （n>1），而d∈ ， ，即n∈（7，15），故n的最大值为14. 金刊提醒 在平面解析几何中，抓住定义的本质属性和曲线方程的几何特征，往往能为研究曲线的几何性质提供简捷的解题途径.同时，要充分认识和体验某些几何量的几何意义，重视“形助数”和“数研形”的简化运算功能. |
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