标题 | 高考数学必做客观题——概率统计 |
范文 | 粟高军 1 随机抽样 ( )必做1 某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔,甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为2∶3∶4. 现用分层抽样的方法抽出一个容量为x的样本,其中甲型钢笔有12支,则此样本的容量为___________. 精妙解法 设样本的容量为n,根据题意有 = ,故n=54. 极速突击 对于随机抽样,高考考查较多的是分层抽样. 对于分层抽样,一定要注意每个个体入样都是等可能性的,所有层中每个个体也是等可能性地被抽到;在对每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样. 金刊提醒 (1)常见的随机抽样方法有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样,都是不放回抽样,它们之间的联系和区别如表1所示. (2)解决有关随机抽样问题,首先要深刻理解各种抽样方法的特点和实施步骤,其次要熟练掌握系统抽样中被抽个体号码的确定方法及分层抽样中各层人数的计算方法;抽样方法经常交叉起来使用,如分层抽样,若每层中的个体数量仍很大,则可辅之以系统抽样,系统中的每一均衡的部分,又可采用简单随机抽样. 2 用样本估计总体 ( )必做1 某商场调查旅游鞋的销售情况,随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸,整理得如下频率分布直方图,其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为1∶2∶3,则购鞋尺寸在[39.5,43.5)内的顾客所占百分比为________. 图1 精妙解法:后两个小组的频率为(0.0375+0.0875)×2=0.125×2=0.25,所以前3个小组的频率为1-0.25=0.75. 又前3个小组的面积比为1∶2∶3,所以第三小组的频率为 ×0.75=0.375,第四小组的频率为0.0875×2=0.175,所以购鞋尺寸在[39.5,43.5)的频率为0.375+0.175=0.55=55%. 极速突击 (1)在频率分布表中,频数的和等于样本容量,频率的和等于1;(2)每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量;(3)在频率分布直方图中,小矩形的高等于每一组的频率除以组距,它们与频数成正比,小矩形的面积等于这一组的频率. ( )必做2 学校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图(如图2)和频率分布直方图(如图3)都受到不同程度的破坏,据此可以了解分数在[50,60)的频率为_____,并且推算全班人数为_______. 图2 图3 精妙解法 由频率分布直方图知, 分数在[50,60)的频率是0.008×10=0.08. 设全班人数为x人,由茎叶图知,分数在[50,60)的频数为2,所以 =0.08,解得x=25. 金刊提醒 在统计中,为了考查一个总体的情况,通常是从总体中抽取一个样本,用样本的有关情况去估计总体的相应情况,这种估计大体分为两类,一类是用样本频率分布估计总体分布,另一类是用样本的某种数字特征(例如平均数、方差等)去估计总体的相应数字特征. 3 古典概型 ( )必做1 某种饮料每箱装6听,如果其中有2听不合格. 质检人员从中随机抽出2听,检出不合格产品的概率P等于( ) A. B. C. D. 精妙解法 质检人员从中随机抽出2听的所有结果数为C =15;质检人员从中随机抽出2听,检出不合格产品的结果数为C C +C =9. 由古典概型概率的计算公式得P= = . 极速突击 对于古典概型概率的计算,关键是分清基本事件个数n与事件A中包含的结果数m,再利用公式P(A)= 求出事件的概率. 对一些较为简单、基本事件个数不是太大的古典概型的概率问题,计数时只需要用枚举法即可计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率,但应特别注意:计算时要严防遗漏,绝不重复. 而对于某些稍复杂的事件的古典概型问题一般要把复杂事件分解为若干个互相排斥或相互独立、既不重复又不遗漏的简单事件进行解决,同时通过排列、组合知识完成计算,这也是考查同学们分析问题、解决问题能力的重要环节. ( )必做2 从一个正方体的8个顶点中任取3个,则以这3个点为顶点构成直角三角形的概率P为( ) A. B. C. D. 精妙解法 法1:从正方体的8个顶点中任取3个有C =56种取法,可构成的三角形有56种可能,正方体有6个表面和6个对角面,它们都是矩形(包括正方形),每一个矩形中的任意3个顶点可构成4个直角三角形,共有12×4=48个直角三角形,故所求的概率P= = ,选D. 法2:从正方体的8个顶点中任取3个有C =56种取法,可构成的三角形有56种可能,所有可能的三角形分为直角三角形和正三角形两类,其中正三角形有8种可能(每一个顶点对应一个),故所求的概率P= = ,选D. 极速突击 对于某些稍复杂的事件的古典概型问题,一般要把复杂事件分解为若干个互相排斥或相互独立、既不重复又不遗漏的简单事件解决,同时通过排列、组合知识完成计算,这也是考查同学们分析问题、解决问题能力的重要环节. 金刊提醒 解决有关古典概型问题的一般思路: (1)判断模型:基本事件只有有限个;每个基本事件出现的可能性相等. (2)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数,一般用列举法,有时可用到计数原理与排列组合的相关知识. (3)对于某些稍复杂的事件,要准确理解基本事件的构成,通常有两种处理的方法:一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和;二是转化为对立事件的概率求解.求解时一定要注意正确分类,并保证分类时不重不漏. 4 几何概型 ( )必做1 已知圆x2+y2=π2内的曲线y=-sinx(x∈[-π,π])与x轴围成的阴影部分区域记为Ω(如图1),随机往圆内投掷一个点A,则点A落在区域Ω的概率为( ) A. B. C. D. 精妙解法 圆的面积为πr2=π3,阴影部分的面积为2 (-sinx)dx=4,根据几何概型的概率计算公式可得P= ,选项A正确. 极速突击 几何概型的概率问题,往往涉及求区域面积,对于不规则的平面几何图形,我们常常要用到定积分的知识求面积. ( )必做2 若在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数,记为a,b,则方程 + =1表示焦点在x轴上且离心率小于 的椭圆的概率为( ) A. B. C. D. 精妙解法 因为 = < ,所以a<2b. 建立平面直角坐标系,如图2所示,不等式1≤a≤5,2≤b≤4 表示的平面区域的面积为8,而不等式1≤a≤5,2≤b≤4,a<2b,a>b表示的平面区域的(阴影)面积为 ,根据几何概型的概率计算公式可得所求概率P= = . 极速突击 摇 解决此题的关键是将已知条件转化为线性约束条件,从而转化成平面区域中的面积型几何概型问题. 金刊提醒 当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解;利用几何概型求概率时,关键是寻找试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域,有时还需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域. 5 相互独立事件、独立重复试验及互斥事件的概率 ( )必做1 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员之间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同,则(1)甲以4比1获胜的概率为______;(2)乙获胜且比赛局数多于5局的概率是______. 精妙解法 由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 . (1)记“甲以4比1获胜”为事件A,则P(A)=C = . 摇 (2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B. 因为乙以4比2获胜的概率为P1=C = , 摇 乙以4比3获胜的概率为P2=C = ,所以P(B)=P1+P2= . 摇 摇 极速突击 (1)相互独立事件的乘法公式为P(AB)=P(A)P(B);(2)互斥事件的加法公式为P(A+B)=P(A)+P(B). ( )必做2 某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市E运至销售城市F,已知从城市E到城市F有两条公路. 统计表明:汽车走公路I堵车的概率为 ,不堵车的概率为 ;走公路II堵车的概率为 ,不堵车的概率为 . 若甲、乙两辆汽车走公路I,第三辆汽车丙由于其他原因走公路II运送水果,且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响,则三辆汽车中至少有两辆堵车的概率是_______. 精妙解法 记“汽车甲走公路Ⅰ堵车”为事件A,“汽车乙走公路Ⅰ堵车”为事件B,“汽车丙走公路Ⅱ堵车”为事件C. 于是甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为P=P(A·B· )+P(A· ·C)+P( ·B·C)+P(A·B·C)= × × + × × + × × + × × = . 极速突击 在解此类题时,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的含义,以免混淆. 理解事件的相互独立性并熟练运用公式是解此类问题的关键. ( )必做3 某一批花生种子,如果每一粒发芽的概率为 ,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是________. 精妙解法 本题是独立重复实验B4, ,P(k=2)=C 2 2= . 极速突击 独立重复试验,是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验. 在这种试验中,每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中发生的概率都是一样的. ( )必做4 设10件产品中有4件不合格,从中任意取2件,试求在所取得的产品中发现有一件是不合格品的条件下,另一件也是不合格品的概率是( ) A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 精妙解法 记事件A为“有一件是不合格品”,事件B为“另一件也是不合格品”, n(A)=C C +C =30,n(AB)=C =6,所以P(B|A)= =0.2. 极速突击 条件概率问题是高中新课程新增知识,同时也是一个冷点,复习时一定要引起注意. 金刊提醒 (1)在解决互斥事件与相互独立事件的概率问题时,首先要注意互斥事件与相互独立事件的区别和运用场合. 善于将复杂的事件分解为互斥事件的和与独立事件的积是解题的关键. (2)如果一个问题包含的正面情况比较多,反面情况比较少,则一般利用对立事件求解,即先求出欲求概率事件的对立事件的概率,再得到欲求事件的概率,一般地,“至少”“至多”等问题往往会用到这种方法求解. 6 离散型随机变量的分布列、期望和方差 ( )必做1 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c,且无其他得分情况(其中a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的数学期望为1,则ab的最大值为( ) A. B. C. D. 精妙解法 依据题意,得分ξ可取值为3,2,0,P(ξ=3)=a,P(ξ=2)=b,P(ξ=0)=c. 因为E(ξ)=1,所以3a+2b+0×c=1,即3a+2b=1. 因为a>0,b>0,所以可得3a+2b≥2 ,即2 ≤1,所以ab≤ . 选项B正确. 极速突击 求离散型随机变量ξ的期望的步骤为: (1)理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值; (2)计算出ξ取每一个值时的概率; (3)写出ξ的分布列; (4)利用公式E(ξ)=ξ1p1+ξ2p2+…+ξn pn,求出期望. ( )必做2 体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止. 设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值范围是( ) A. 0, B. ,1 C. 0, D. ,1 精妙解法 发球次数X的分布列如下表: 所以期望E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75,解得p> (舍去)或p< . 又p>0,所以选项C正确. 金刊提醒 (1)求离散型随机变量的概率分布表的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件,然后综合应用各类求概率的公式,求出概率. (2)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. (3)注意应用概率之和为1这一性质检验解答是否正确. 7 正态分布 ( )必做1 设随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则a的值为( ) A. B. C. 5 D. 3 精妙解法 因为ξ~N(3,4),P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),所以2a-3与a+2关于μ=3对称,所以 =3,解得a= ,故选项A正确. ( )必做2 设随机变量ξ服从正态分布N(2,22),则P(2<ξ<3)可以被表示为( ) A. 1-P(ξ<1) B. C. P(0<ξ<1) D. +P(ξ<1) 精妙解法 由于正态分布曲线的对称轴为x=2,由对称性知P(ξ<1)=P(ξ>3). 又曲线与x轴之间的面积为1,所以2P(2<ξ<3)=1-2P(ξ<1),即P(2<ξ<3)= ,选B. 金刊提醒 正态分布问题关键是抓住两个参数μ和σ,其中μ表示随机变量的均值,σ表示随机变量的标准差,同学们应明确正态曲线以下性质: (1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交;(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(3)曲线在x=μ处达到峰值;(4)曲线与x轴之间的面积为1;(5)μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;σ越小,曲线越“瘦高”,总体分布越集中. 极速突击 求离散型随机变量ξ的期望的步骤为: (1)理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值; (2)计算出ξ取每一个值时的概率; (3)写出ξ的分布列; (4)利用公式E(ξ)=ξ1p1+ξ2p2+…+ξn pn,求出期望. ( )必做2 体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止. 设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值范围是( ) A. 0, B. ,1 C. 0, D. ,1 精妙解法 发球次数X的分布列如下表: 所以期望E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75,解得p> (舍去)或p< . 又p>0,所以选项C正确. 金刊提醒 (1)求离散型随机变量的概率分布表的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件,然后综合应用各类求概率的公式,求出概率. (2)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. (3)注意应用概率之和为1这一性质检验解答是否正确. 7 正态分布 ( )必做1 设随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则a的值为( ) A. B. C. 5 D. 3 精妙解法 因为ξ~N(3,4),P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),所以2a-3与a+2关于μ=3对称,所以 =3,解得a= ,故选项A正确. ( )必做2 设随机变量ξ服从正态分布N(2,22),则P(2<ξ<3)可以被表示为( ) A. 1-P(ξ<1) B. C. P(0<ξ<1) D. +P(ξ<1) 精妙解法 由于正态分布曲线的对称轴为x=2,由对称性知P(ξ<1)=P(ξ>3). 又曲线与x轴之间的面积为1,所以2P(2<ξ<3)=1-2P(ξ<1),即P(2<ξ<3)= ,选B. 金刊提醒 正态分布问题关键是抓住两个参数μ和σ,其中μ表示随机变量的均值,σ表示随机变量的标准差,同学们应明确正态曲线以下性质: (1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交;(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(3)曲线在x=μ处达到峰值;(4)曲线与x轴之间的面积为1;(5)μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;σ越小,曲线越“瘦高”,总体分布越集中. 极速突击 求离散型随机变量ξ的期望的步骤为: (1)理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值; (2)计算出ξ取每一个值时的概率; (3)写出ξ的分布列; (4)利用公式E(ξ)=ξ1p1+ξ2p2+…+ξn pn,求出期望. ( )必做2 体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止. 设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值范围是( ) A. 0, B. ,1 C. 0, D. ,1 精妙解法 发球次数X的分布列如下表: 所以期望E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75,解得p> (舍去)或p< . 又p>0,所以选项C正确. 金刊提醒 (1)求离散型随机变量的概率分布表的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件,然后综合应用各类求概率的公式,求出概率. (2)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. (3)注意应用概率之和为1这一性质检验解答是否正确. 7 正态分布 ( )必做1 设随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则a的值为( ) A. B. C. 5 D. 3 精妙解法 因为ξ~N(3,4),P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),所以2a-3与a+2关于μ=3对称,所以 =3,解得a= ,故选项A正确. ( )必做2 设随机变量ξ服从正态分布N(2,22),则P(2<ξ<3)可以被表示为( ) A. 1-P(ξ<1) B. C. P(0<ξ<1) D. +P(ξ<1) 精妙解法 由于正态分布曲线的对称轴为x=2,由对称性知P(ξ<1)=P(ξ>3). 又曲线与x轴之间的面积为1,所以2P(2<ξ<3)=1-2P(ξ<1),即P(2<ξ<3)= ,选B. 金刊提醒 正态分布问题关键是抓住两个参数μ和σ,其中μ表示随机变量的均值,σ表示随机变量的标准差,同学们应明确正态曲线以下性质: (1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交;(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(3)曲线在x=μ处达到峰值;(4)曲线与x轴之间的面积为1;(5)μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;σ越小,曲线越“瘦高”,总体分布越集中. |
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