标题 | 对一道圆锥曲线试题的研究与引申 |
范文 | 周跃佳 摘 要:2015年高考全国Ⅱ卷理科第20题是一个关于椭圆的定值问题. 本文通过对该题第一问的解答,抽象出一个椭圆的一般命题,并将其推广到双曲线中去. 关键词:椭圆;双曲线;定值 x 提出问题 (2015年全国Ⅱ卷理科第20题)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M. (Ⅰ)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若l过点 问题的解答 解:(Ⅰ)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0. 所以xM==-, yM=kxM+b=. 于是直线OM的斜率kOM==-,即kOM·k=-9. 所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值. (Ⅱ)略. 结论的推广 引理1:已知椭圆C:+=1(a>b>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,则直线OM的斜率与l的斜率的乘积为-. 证明:设直线l:y=kx+m (k≠0,m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 将y=kx+m代入+=1得:(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0,所以xM==,yM=kxM+m=. 所以kOM==-,故kOM·k=-. 推论1:已知椭圆C:+=1(a>b>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,则直线OM的斜率与l的斜率的乘积为-. 证明:(由对称性知,kOM·k=-) 设直线l:y=kx+m(k≠0,m≠0), 结论的类比 引理2:已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,则直线OM的斜率与l的斜率的乘积为. 证明:设直线l:y=kx+m (k≠0,m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 将y=kx+m代入-=1得:(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0,xM==,yM=kxM+m=. kOM==,故kOM·k=. 推论2:已知双曲线C:-=1,(a>0,b>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,则直线OM的斜率与l的斜率的乘积为. 证明:(由对称性知,kOM·k=) 设直线l:y=kx+m(k≠0,m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 将:y=kx+m代入-=1得:(b2k2-a2)x2+2b2kmx+b2m2-a2b2=0,xM==,yM=kxM+m=. kOM==,故kOM·k=. |
随便看 |
|
科学优质学术资源、百科知识分享平台,免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。