| 标题 | 对一道圆锥曲线试题的研究与引申 |
| 范文 | 周跃佳 摘 要：2015年高考全国Ⅱ卷理科第20题是一个关于椭圆的定值问题. 本文通过对该题第一问的解答，抽象出一个椭圆的一般命题，并将其推广到双曲线中去. 关键词：椭圆；双曲线；定值 x 提出问题 （2015年全国Ⅱ卷理科第20题）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m>0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M. （Ⅰ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l过点 问题的解答 解：（Ⅰ）设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）. 将y=kx+b代入9x2+y2=m2得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0. 所以xM==-， yM=kxM+b=. 于是直线OM的斜率kOM==-，即kOM·k=-9. 所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值. （Ⅱ）略. 结论的推广 引理1：已知椭圆C：+=1（a>b>0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，则直线OM的斜率与l的斜率的乘积为-. 证明：设直线l：y=kx+m （k≠0，m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）. 将y=kx+m代入+=1得：（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0，所以xM==，yM=kxM+m=. 所以kOM==-，故kOM·k=-. 推论1：已知椭圆C：+=1（a>b>0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，则直线OM的斜率与l的斜率的乘积为-. 证明：（由对称性知，kOM·k=-） 设直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0）， 结论的类比 引理2：已知双曲线C：-=1（a>0，b>0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，则直线OM的斜率与l的斜率的乘积为. 证明：设直线l：y=kx+m （k≠0，m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）. 将y=kx+m代入-=1得：（b2-a2k2）x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0，xM==，yM=kxM+m=. kOM==，故kOM·k=. 推论2：已知双曲线C：-=1，（a>0，b>0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，则直线OM的斜率与l的斜率的乘积为. 证明：（由对称性知，kOM·k=） 设直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）. 将：y=kx+m代入-=1得：（b2k2-a2）x2+2b2kmx+b2m2-a2b2=0，xM==，yM=kxM+m=. kOM==，故kOM·k=. |
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