标题 | 转化立体几何,等量考究体积 |
范文 | 王小梅 [摘 要] 立体几何体积问题是高考的重点题型,对于该类问题可以采用特定的转化思想,例如等体积转化法,将几何体转变为较为熟悉的几何体,或者建立两者之间的体积关联,然后推理论证求解. 结合具体实例简要讲解等体积转化法求解几何体积的解法思路,并开展相应的教学反思. [关键词] 立体几何;体积;等体积;转化 高考中的立体几何体积问题常因几何结构抽象复杂、求解条件隐含不足,造成学生思维受阻,难于直接求解. 转化法是一种重要的思想方法,对于该类问题有着良好的解题效果,合理运用可将问题简化处理. 真题解析,试题点评 1. 真题呈现 (2017年北京高考文科数学第18题)如图1所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点. (Ⅰ)(Ⅱ)略; (Ⅲ)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积. 2. 试题解析 分析:(Ⅲ) 求三棱锥E-BCD的体积,分析三棱锥P-ABC可知,PA⊥平面ABC,底面ABC为等腰直角三角形,求三棱锥P-ABC的体积较为容易,可尝试用等体积转化的方式,建立三棱锥E-BCD的体积和三棱锥P-ABC的体积上的数量关系,通过求P-ABC的体积来达到求解的目的. 解:由PA⊥ABPA⊥BC ,可知PA⊥平面ABC. 因为AB⊥BC,AB=BC,D为线段AC的中点,可知S△BCD=SABC. 因为PA∥平面BDE,PA?奂平面PAC,平面PAC∩平面BDE=DE,所以PA∥DE,进一步可知DE⊥平面ABC,DE=PA,所以VE-BCD=··=,则VE-BCD=. 3. 试题点评 本题为高考常见的求空间几何体的体积问题,主要考查学生的空间想象能力和数学转化方法的使用. 上述求解三棱锥的体积,因原几何体的底面积和高的求解条件不足,使用了等体积的转化法,建立起与形状较为特殊的几何体的体积关系,通过求该几何的体积达到间接求解的目的. 体积转化思想的利用降低了思维难度,使得问题变得直观易求,该思想方法对于求解几何体积问题有着良好的解题效果,可对其进行推广使用. 试题衔接,方法利用 上述考题采用的等体积转化法可用于求解条件不足、几何形状较为抽象的几何体积,等体积转化法使用的基本思路是:首先判断几何体的形状以及结构特征,同时对其进行底面和高的变换,或者建立与形状特殊几何体的体积关系,通过对转化后的几何体求解来实现问题的解答. 体积转化过程必须满足体积等量变化,体积关系准确无误. 试题1:如图2所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,F分别为线段AA1,B1C上的点,求三棱锥D1-EDF的体积. 分析:如果直接求三棱锥D-EDF的体积就需要求得△EDF的面积和三棱锥的高,但两未知量均不容易求得,可尝试进行等体积转化,转化为求以F为顶点、△DD1E为底面的三棱锥,即VD1-EDF=VF-DD1E. 解:正方体的棱长为1,点E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则顶点F到平面DD1E的距离就为正方体的棱长,ΔDD1E的面积为:S△DD1E=DD1·AD=,所以VD1-EDF=VF-DD1E=. 试题2:(2016年全国卷Ⅲ文科数学第19题)如图3所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点. (Ⅰ)证明MN∥平面PAB; (Ⅱ)求四面体N-BCM的体积. 分析:(Ⅰ)略;(Ⅱ)取PB中点Q,连接AQ,NQ,分析可知QN∥平面ABCD.求四面体N-BCM的体积,可进行等体积转化,VN-BCM=VQ-BCM. Q为PB的中点,点Q到底面ABCD为点P到底面距离的一半,进一步转化为VQ-BCM=VP-BCM. AD∥BC,则S△BCM=S△BCA,则VP-BCM=VP-BCA,从而可以得到VN-BCM=VP-BCA,由此求四面体P-BCA的体积较为容易. 解:(Ⅰ)略;(Ⅱ)如图4所示,因为Q,N分别为PB,PC的中点,则QN∥BC,BC?奂平面ABCD,所以QN∥平面ABCD,则VN-BCM=VQ-BCM=VP-BCM=VP-BCA,所以VN-BCM=×PA·S△ABC=. 上述兩道几何题的求解过程是对等体积转化思想的充分体现,试题1通过几何体的底面和高的同时转化实现了问题的求解;试题2则是充分利用几何性质,把握图形的面积关系,建立起与形状特殊、体积易得的几何体的体积关系,达到了体积转化,简化作答的目的. 三棱锥的体积公式V=Sh是求解的核心公式,灵活使用可辅助转化求解. 解后反思,教学思考 1. 立足公理,发展思维 立体几何是建立在公理推理、逻辑严密基础上的学科,是对数学逻辑科学严谨性的充分体现,立体几何的求解必须从特定范围内的基础真命题出发,逐步推演,合理考量.因此对于立体几何的学习必须立足公式定理,理解公理化思想,掌握几何基础知识,构建完整的知识体系. 在教学中教师要基于学生的已有知识,紧密围绕公理化思想开展几何教学,逐步引导学生形成合理推断、理性思考的学习习惯. 通过几何直观问题,动态想象的教学流程,培养学生探索分析、推理论证的数学思维,促进学生的几何直观想象能力的发展. 2. 学习思想,提升能力 数学的学习过程关键在于对数学思想方法的学习,数学思想是对数学知识的升华,也是解决数学问题的核心手段,它渗透在数学学习的全过程中,例如求几何问题涉及的转化法,是实现未知问题简单化的思想桥梁,是一种基本的数学思想. 理解把握好数学思想对于解决数学问题有着重要的意义,在教学中教师要从思想方法的本质出发,结合典型考题,引导学生掌握思想方法的解题思路和使用技巧,培养学生的解题思维,从思想上提升学生的解题能力. 3. 把握考题,探究学习 对于立体几何的习题课教学要充分利用高考真题,历年真题都是经过命题人细致斟酌、反复推敲后确定的,凝聚了众多命题者的智慧精华,对于学生的学习备考有着巨大的帮助. 教师在选题时要精选那些能够体现数学思想的特定问题,通过解题让学生理解掌握其中蕴含的思想方法,提升解题效率. 课堂教学应倡导探究论证的方式,充分调动学生的积极性,让学生充分参与教学活动,亲历教学过程,培养学生的自主探究能力. 结束语 数学的解题过程本质上就是不断简化的过程,对于立体几何的体积问题可以充分利用等体积转化法,准确把握几何性质,开展推理论证,使几何体积问题实现直接转化,以不变应万变的方式实现问题的完美解决. 在教学中教师要开展公理教学,帮助学生充分理解立体几何的公式定理,注重数学思想的渗透学习,结合考题,开展探究学习,培养学生解题思维,提升自主学习能力. |
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