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标题 “1+1”定理,初等证法
范文

    胡成恩

    【摘要】本文建立了素数的判定定理;论述了连续合数定理;连续合数对定理,证明了“1+1”定理和孪生素数的无穷定理.

    主要内容

    一、素数无限多定理; 二、素数判定定理; 三、PK级合数分布的周期性; 四、PK级素数平均数定理;五、PK级素数定理及推论;六、“1+1”定理;七、孪生素数的无穷性.

    一、素数无限多定理

    华罗庚教授对素数的无穷做过这样的论述:假定PK是最大的素数,那么:2×3×5×7×…×PK+1是素数还是合数呢?如果是素数,则大于PK与假设矛盾,如果是合数,又不能被2,3,5,7,…,PK中任何一个质因数整除,所以PK不会是最大的素数,最大的素数是不存在的.

    二、素数判定定理

    如果一个整数M不能被2,3,5,7,…,PK中任何一个质因数整除,称M为PK级素数,其余整数为PK级合数,当1

    证:假设M不是素数,则至少存在两个不等于1的正整数α和β,使得αβ能整除M,又因为α和β均不小于PK+1,所以αβ≥(PK+1)2 ,所以M≥(PK+1)2 ,与条件矛盾,所以M是素数.

    三、PK级合数分布的周期性

    PK级合数各因数的分布是有周期性的,每相差 P1×P2×P3×P4×…×PK个整数,各因数的分布序列重复出现一次.

    证:给出连续的PK个整数,从前两个数可知,2的倍数分布只有两种可能,同理,3的倍数分布只有3种可能,依次类推,PK的倍数分布有PK种可能.根据乘法原理,每PK个整数各倍数的分布序列的周期为P1×P2×P3×P4×…×PK.

    四、PK级素数平均数及定理

    在PK级素数出现的一个周期中,所有整数个数,与PK级素数个数的比值,称PK级素数平均数:

    给出一组从2开始的连续正整数,第一个位置为2的倍数,计1个,以后,每个偶数都不计,每个奇数都计2,不论从哪里停止,计入的和都包含了下一个2级素数前的合数.如果考虑到3,到了3的位置,3仍计入2,因为3的倍数按正整数分布,所以从3到6,倍数增加1个,整数增加3个,倍数增加一个2级平均数,整数增加3个2级平均数,每个平均数中有一个2级素数,3倍数中2 级素数不计,只需把前两个扩大计入来补充.在我们的计数方法中,第一个位置是2,计1个,第二个是3,计一个新平均数2,以后每个3级素数计一个新平均数2×

    3[]2,遇到3级合数不计,不论从哪里停止,计入的和,都包含了下一个3级素数前所有合数.

    用这种计法,设直到K =m时Pm计入

    ,以后Pm级合数不计,Pm级素数计入21×32×54×76×1110×…×pmpm-1,这样不论从哪里停止,计入的总和,都包含了下一个素数前所有合数.

    那么:K=m+1时,Pm+1的倍数第一次出现,记入21×32×54×76×1110×…×pmpm-1这样仍然计入了所有下邻的Pm级合数,因为Pm+1的倍数是正整数依次出现的.倍数每增1,整数增Pm+1,倍数增1个平均数,整数增Pm+1个平均数,运算中平均数和素数是对应的,倍数中有一个素数不计,前有Pm+1-1个Pm+1级素数出现,在我们的计数方法中,以后,遇到Pm+1级合数不计,遇到Pm+1级素数时,计入一个新平均数21×32×54×76×1110×…×pmpm-1×pm+1pm+1-1.使少计的部分得到了补充,由数学归纳法原理,这样无论从哪里停止,所计入总数,都包括了后面相邻的合数,按所给的计入方法,PK已出现

    (2)双方向前置定理:

    PK级合数连续个数最多为2PK-1-1个.

    证:从0开始向两端计数,0计1个,±1各计1个,从±2向外,按单向前置的计数方法,一直计到PK-2.

    这时,±1的位置尚不是合数,这样的合数分布,每个分布周期一个,显然只有把PK和PK-1的倍数放在这两处,构成最多的PK级合数.所以,PK级合数连续个数最多为2PK-1-1个.

    五、PK级素数对及定理

    定义:把两个相同的数轴,偶数与偶数对齐,形成整数对,如果每对整数中的两个整数均是PK级素数,称该数对为PK 级素数对,否则,称该数对为PK级合数对.

    在PK级素数对出现的一个周期中,所有整数对个数,与PK级素数对个数的比值,称PK级素数对平均数:

    证:第一个位置为2的倍数,计1个,以后,每个偶数对都不计,每个奇数对都计2,不论从哪里停止,计入的和都包含了下一个2级素数对前的合数对.如果考虑到3,每3个数对,最多有2个含 3的倍数.

    又因为3的倍数按正整数分布,所以从3到6,倍数增加1个,整数增加3个,倍数增加一个2级平均数,整数增加3个2级平均数,每个平均数中对应一个2级素数,

    3倍数中每增2个2 级素数对,数对增3个2级素数对.3倍数前两个出现在2级素对时,仍各计入2对,以后每个3级素数对计一个新平均数2×3[]1,遇到3级合数不计,不论从哪里停止,计入的和,都包含了下一个3级素数对前所有合数对.

    用这种计法,设直到K =m时,前两个Pm出现在PK-1级素对时,仍各计入

    上面的公式正是PK级合数对单向最多的计法.

    (2)双方向前置定理:

    证:从±2向外,按单向前置的计数方法,一直计到PK,

    构成最多的PK级合数对才是上面公式.

    六、“1+1”定理

    任给一个不小于6的偶数,都能写成两个素数之和.

    证:设这个偶数为2m(m≥3,且m是整数),看下列数对:

    恰能看成两个数轴形成的数对,每对之和为2m.只需取:

    在上面给的数对中,有PK级素对存在,根据素数判定定理,正是素数对.

    七、孪生素数无穷定理

    请看下面的数对:

    

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更新时间:2025/3/15 4:40:30