| 标题 | 浅谈拉格朗日中值定理的证明 |
| 范文 | 李静茹 【摘要】 微分中值定理是连接函数及其导数的一座桥梁，是应用导数的局部性质去推断函数的整体性质的重要的、极为有效的工具，其核心的定理是拉格朗日中值定理.本文主要介绍证明拉格朗日中值定理时辅助函数的几种构造方法. 【关键词】 中值定理；辅助函数；构造 一、引 言 人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了.拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，而教材中关于拉格朗日中值定理的证明并没有系统地归纳与总结.为加深学生对微分中值定理的理解，更好地掌握微分中值定理的应用，本文主要介绍拉格朗日中值定理的几种证明方法，这样一来便可以很清晰地理解拉格朗日中值定理的精髓及其意义所在. 二、拉格朗日中值定理的证明 定理 （Lagrange中值定理）若函数 f（x）满足下列条件： （1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；（2）f（x）在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得 f′（ξ）= f（b）-f（a） b-a . 证明拉格朗日中值定理时，通常要引进辅助函数.可是，如何巧妙地构造这些辅助函数，常常让人感到困惑.下面通过五种途径来构造辅助函数，并着重强调构造的思维过程. （一）推论法 定理 （Rolle中值定理）若函数f（x）满足条件： （1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；（2）f（x）在开区间（a，b）内可导；（3）f（a）=f（b）， 则在区间（a，b）内必有一点ξ，使得f′（ξ）=0. 现在设f（x）与g（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，再加上什么条件，函数f（x）-g（x）就能满足罗尔定理的条件呢？ 由罗尔定理的条件知，还需添加 f（a）-g（a）=f（b）-g（b）， 即f（b）-f（a）=g（b）-g（a）. 这样由罗尔定理知，在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）-g′（ξ）=0. 即f′（ξ）=g′（ξ）. 这样我们就得到下面的推论1. 推论1 若函数f（x），g（x）满足条件： （1）f（x），g（x）在闭区间[a，b]上连续；（2）f（x），g（x）在开区间（a，b）内可导；（3）f（b）-f（a）=g（b）-g（a）， 则在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得 f′（ξ）=g′（ξ）. 简单地说，两个连续且在内部可导的函数，若在同一区间上有相同的增量，则必在某一内点处有相同的导数值. 下面我们由推论1来证明拉格朗日中值定理. 因为f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，若取g（x）= f（b）-f（a） b-a x，其连续性与可导性是显然的，又明显地看出f（x）与g（x）在[a，b]上有相同的增量f（b）-f（a）=g（b）-g（a），由推论1，因而存在ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=g′（ξ），即f′（ξ）= f（b）-f（a） b-a . （二）分析法 设 f（b）-f（a） b-a =k，则有f（b）-f（a）-k（b-a）=0.下证k=f′（ξ），ξ∈（a，b）. 把等式的左边看成是某个函数在区间[a，b]上的两个端点的函数值，可以看出，这个函数在[a，b]上的两个端点的函数值相等，而这正是罗尔定理所要求的条件，这也就使我们找到了要构造的函数.将式中数b用变量x代替，构造辅助函数F（x）=f（x）-f（a）-k（x-a），a≤x≤b. 显然F（a）=F（b）=0， 这种构造方法像行云流水般的自然、流畅，构造出来的函数简单明了，令人赏心悦目. （三）待定系数法 设F（x）=df（x）+ex+l，x∈[a，b]，其中d，e，l为常数，则函数F（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，令F（a）=F（b）得e=-d f（b）-f（a） b-a ， 于是所构造的辅助函数为 （四）几何法 设y=f（x）在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件.如图所示，曲线弧AB 与弦AB 相交于A，B两端点.利用函數y=f（x）及弦AB 所表示的函数的纵坐标之差来构造辅助函数F（x）.对同一个x，曲线弧AB 与弦AB 在区间[a，b]的端点的纵坐标之差都是0，即F（a）=F（b）=0（这正是罗尔定理的第三个条件）.因弦AB 的斜率为kAB = f（b）-f（a） b-a . 由点斜式得到弦AB 的方程为 （五）原函数法 从而也可将F（x）=f（x）（b-a）-（f（b）-f（a））x作为证明拉格朗日中值定理所构造的辅助函数. 三、结 论 通过以上讨论可知，在证明拉格朗日中值定理的时候，辅助函数的构造方法是灵活多样的.同时，拉格朗日中值定理的证明不仅提供了用构造函数法证明数学命题的精彩典范，也通过巧妙的数学变换，体现了将一般化为特殊，将复杂问题转化为简单问题的论证思想，这是高等数学的重要而常用的数学思维的体现.我们在学习过程中要善于汲取前人的经验，积极思考，把“死”的数学学活，把“枯燥无味”的证明变为妙趣横生的创造.这样，数学才会越学越有味，越学越想学，我们也就越学越聪明，越学越能干. 【参考文献】 [1]华东师范大学数学系.数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2000. [2]邓乐斌.数学分析的理论、方法与技巧[M].武汉：华中科技大学出版社，2005. [3]张弘.微分中值定理的又一证明方法[J].重庆交通学院学报，2004（23）：129-130. [4]李君士.两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法[J].数学的实践与认识，2004（10）：165-169. [5]罗群.微分中值定理及其应用[J].肇庆学院学报，2003（05）：31-36. [6]唐帅，王志华.微分中值定理证明题中辅助函数的构造方法[J].邵阳学院学报（自然科学版），2009（12）：56-60. |
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