| 标题 | 蒙特卡洛方法在积分求解中的应用 |
| 范文 | 卢嘉澍 【摘要】 本文基于蒙特卡洛方法的定义，给出使用其进行近似积分的一般步骤，并以均匀分布为例讲解了具体操作步骤.积分算例表明，这种方法概念简单、编程容易，可应用于工程实际问题中重要的数值积分计算. 【关键词】 积分计算；蒙特卡洛法；区间估计 一、引 言 蒙特卡洛法，也称统计模拟方法，是一种计算机化的数学方法.20世纪40年代中叶出现了电子计算机，使得用数学方法模拟大量试验成为可能.另外，随着科学技术不断发展，出现了越来越多的复杂问题，用通常的解析方法或数值方法都难解决.蒙特卡洛法（包括求积分、微分以及线性、非线性方程组等）就是在這些情况下，作为一种可行的，且是不可缺少的计算方法被提出和迅速发展起来的.以概率论为理论基础，其可靠性与收敛性也能得到很好地说明.在通常积分的求解中，常用数值积分公式对积分进行求解.然而数值求积公式的精度将受到积分维数的影响，同时，对于无穷积分，将其近似地看作定积分本身也会丧失一定的精度. 二、算法思想 对于积分若能选取连续型随机变量X，其概率密度函数p（x）满足如下条件： 1.p（x）>0，x∈ R n. 2.p（x）及其上侧分位数已知. 则便可对上述积分作统计模拟并进行误差估计.特别地，若取概率分布为D上的均匀分布，则其概率密度 g（x）= 1 m（D） . 其中m（D）为积分区域D的测度.则原积分可转化为 即相当于求随机变量X在函数 下的数学期望，这就将积分问题转化为期望估计问题，至此便可运用数理统计相关理论，如点估计、区间估计对其进行求解. 三、公式推导 考虑一般情形，对于所求期望E（h（x）），我们运用数理统计的相关理论对其进行区间估计.首先，假设 为一束均匀分布族，把上式代入积分表达式，可得 根据此式，可以得到n重积分的估计式 根据上式即可使用基于均匀分布的样本对所求积分进行数值估计. 四、实 例 （1）考虑一维情形.根据随机分布g（x）随机选取样本（x1，x2，…，xn）， 则可以给出积分 的估计式 同时，也可以给出基于区间估计的误差，置信度为1-α的误差为 其中Kα为同置信度有关的常数，并满足|Kα|<1.故误差满足 我们可以得到，积分值的估计量θ ^ →∫baf（x）dx，误差的大小不随维数而显著改变，故这种估计方法是合理的.若取f（x）=ex，考虑其在[0，1]上的积分.选取n=10 000，生成10 000个[0，1]内的随机数，再根据上式进行求解.使用MATLAB编程求解其在[0，1]内积分的近似值，运行代码如下： f=@（x）exp（x）；xx=rand（1，10000）；S=sum（f（xx））/ 10000 输出结果 S=1.718220782967407 对于任意区间[a，b]的均匀分布随机数，总可以通过[0，1]内随机数进行线性映射得到 r′k=（b-a）rk+a. 综上所述，使用蒙特卡罗法进行积分计算的一般步骤为： （1）根据概率密度函数，确定一组基于密度函数的容量为n的样本（x1，x2，…，xn）. （2）根据每层积分上下限的表达式，确定每一层相应积分样本的上下限.特别的，若积分为矩形区域上的积分，则样本上下限即为相应层积分区间的上下限[ai，bi]. （3）使用公式 对原积分进行数值估计. 五、结 语 使用蒙特卡洛方法进行积分计算，理论上可以通过选取合适的随机分布来提高蒙特卡洛方法的精度. 由于蒙特卡洛方法思想简单，易于编程实现，且一般的程序语言如C++，MATLAB，Mathematica都有生成各类常用分布随机数的命令，更加方便了程序设计.并且，其精度不会随着积分维数增大而显著增长，对于计算一些复杂的高维积分有明显的优势.因此，可以推断，蒙特卡洛方法将作为一种数值积分工具而得到广泛应用. |
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