| 标题 | 函数凹凸性定义的进一步研究 |
| 范文 | 孟丽君 【摘要】 凹凸函数是一种非常重要的函数，它在最优化理论、泛函分析、不等式证明等方面有重要应用.本文主要以凸函数为主，通过介绍不同凸函数的定义，给出了凸函数定义之间的关系，加深了对凸函数定义的理解，并给出了凸函数的定义在证明不等式中的应用. 【关键词】 函数凹凸性；等价；不等式 一、函数凹凸性的定义 在不同数学教材或论文中，函数凹凸性的定义也不完全相同，本文总结出几种常用的定义： 定义1 设函数f（x）在区间I上有定义，若x1，x2∈I，λ∈（0，1），有 f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）， （1） 则称f（x）在区间I上是凸函数. 定义2 设函数f（x）在区间I上有定义，若x1，x2∈I，有 f x1+x2 2 ≤ f（x1）+f（x2） 2 ， （2） 则称f（x）在区间I上是凸函数. 定义3 设函数f（x）在区间I上有定义，若x1，x2，…，xn∈I，有 f x1+x2+…xn n ≤ f（x1）+f（x2）+…+f（xn） n ， （3） 则称f（x）在区間I上是凸函数. 定义4 设函数f（x）在区间I上有定义，若y=f（x）在区间I上任意点的切线在曲线以下，则称f（x）在区间I上是凸函数. 二、凸函数定义之间关系 上述定义都是凸函数的定义，但并不能说定义1，2，3，4彼此之间完全等价，本文依次梳理上述定义的关系. 定理1 定义1定义2. 证明 令λ= 1 2 ，由（1）式很容易得出f x1+x2 2 ≤ f（x1）+f（x2） 2 ，即定义1定义2，反之则不成立. 定理2 定义2定义3. 证明 定义3定义2，令（3）式中n=2定义2.重点应该放在证明定义2定义3. （Ⅰ）由（2）式可知（3）式当n=2时成立.从而x1，x2，x3，x4∈I，有 f x1+x2+x3+x4 4 =f x1+x2 2 + x3+x4 2 2 ≤ f x1+x2 2 +f x3+x4 2 2 ≤ f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4） 4 . 即定义3中（3）式当n=4时成立.以此类推，重复上面步骤，可知（3）式当n=2k时皆成立. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知（3）式对一切n取偶数时成立，现在证明重点由n取偶数时成立推出n取奇数时成立.即只要说明（3）式对n=k+1时成立，也对n=k时成立. 令A= x1+x2+…+xk k ，则kA=x1+x2+…+xk， 进而（k+1）A=x1+x2+…+xk+AA= x1+x2+…+xk+A k+1 ， 故有f（A）=f x1+x2+…+xk+A k+1 ≤ f（x1）+f（x2）+…+f（xk）+f（A） k+1 . 上式两边同乘k+1，减去f（A），可得 f x1+x2+…+xk k ≤ f（x1）+f（x2）+…+f（xk） k ， 上式说明（3）式对n=k时成立. 定理3 若f（x）连续，则定义1，定义2和定义3等价. 证明 重点应该放在证明定义2，定义3定义1. （Ⅰ）设x1，x2∈I，为证明（1）式对λ∈（0，1）成立.我们先证明λ= m n ∈（0，1）为有理数时成立，其中为m，n为自然数，而且m f（λx1+（1-λ）x2） =f m n x1+ 1- m n x2 =f mx1+（n-m）x2 n =f x1+x1+…+x1 m +x2+x2+…+x2 n-m n ≤ f（x1）+…+f（x1） m +f（x2）+…+f（x2） n-m n = mf（x1）+（n-m）f（x2） n = m n f（x1）+ 1- m n f（x2） =λf（x1）+（1-λ）f（x2）. 从而λ为有理数情况下说明定义2，定义3定义1. （Ⅱ）对λ∈（0，1）的无理数，则存在有理数λn∈（0，1）（n=1，2，…），使得λn→λ（当n→∞时）.从而有f（λx1+（1-λ）x2）=f[lim n→∞ （λnx1+（1-λn）x2）]. 由于f（x）连续，上式为 f（λx1+（1-λ）x2）=f[lim n→∞ （λnx1+（1-λn）x2）]=lim n→∞ f（λnx1+（1-λn）x2）. 由（Ⅰ）可知对于任意有理数λn，有f（λnx1+（1-λn）x2）≤λnf（x1）+（1-λn）f（x2）. （上接 40 页） 上式两端取极限，得出 lim n→∞ f（λnx1+（1-λn）x2）≤lim n→∞ [λnf（x1）+（1-λn）f（x2）]=λf（x1）+（1-λ）f（x2）. 从而得出f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）. 从而说明λ为无理数情况下定义2，定义3定义1. 定义1适用范围更广，包含了定义2、3，当函数连续时，定义2、3才等价于定义1，但因为不含参数λ∈（0，1），从而使用起来要比定义1简单. 定义1与定义4的关系，需要先证明一下引理才可以说明. 引理 设函数f（x）在区间I上有定义，且f（x）在区间I上是凸函数，当且仅当x1，x2，x3∈I，且x1 证明 （Ⅰ）必要性. 由于f（x）在区间I上是凸函数，按照定义1可得x1，x3∈I，λ∈（0，1），有 f（λx1+（1-λ）x3）≤λf（x1）+（1-λ）f（x3）. （*） 取λ= x3-x2 x3-x1 并代入不等式得出 f（x2）≤ x3-x2 x3-x1 f（x1）+ x2-x1 x3-x1 f（x3）. （**） 同减f（x1），同除以x2-x1， 易得出 f（x2）-f（x1） x2-x1 ≤ f（x3）-f（x1） x3-x1 ， 同理可证 f（x3）-f（x1） x3-x1 ≤ f（x3）-f（x2） x3-x2 . （Ⅱ）充分性. λ∈（0，1），若令x2=λx1+（1-λ）x3，则取λ= x3-x2 x3-x1 ，从而可由（**）推得（*），故f（x）在区间I上是凸函数. 定理4 若f（x）在区间I内可导，则定义1、定义2、定义3和定义4等价；此命题可以改写为若f（x）在区间I内可导，则f（x）在区间I上是凸函数，充要条件是：x0∈Io（I全体内点组成的集合），有f（x）≥f′（x0）（x-x0）+f（x0）（x∈I）. 证明 略. 三、凸函数在证明不等式方面的应用 例 （Jensen不等式）若f（x）在区间I上是凸函数，则对xi∈I，λi>0（i=1，2，…，n），∑ n i=1 λi=1，有 f（∑ n i=1 λixi）≤∑ n i=1 λif（xi）. （5） 证明 （Ⅰ）当n=2，由定义1可得（5）式成立； （Ⅱ）假设当n=k时（5）式成立.即xi∈I，αi>0（i=1，2，…，k），∑ k i=1 αi=1，有f（α1x1+α2x2+…+αkxk）≤α1f（x1）+α2f（x2）+…+αkf（xk）， 则x1，x2，…，xk，xk+1∈I，λi>0（i=1，2，…，k+1），∑ k+1 i=1 λi=1，有： 从而对于任何正整数n≥2，f（x）是凸函数，总有（5）式成立. |
| 随便看 |
|
科学优质学术资源、百科知识分享平台，免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。