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高考数学填空题的解题策略

范文

张志达

填空题是高考数学试题中的一类重要题型，主要考查学生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力和基本运算能力.从填写内容上，主要有两类：一是定量型，要求填写数值、数集或数量关系；二是定性型，要求填写具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质.解答时必须按规则进行切实的计算和合乎逻辑的推理、计算.本文就高考数学填空题的常用解题策略做一例释.

一、直接求解法

直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则等知识，通过推理运算，得出结论的方法叫直接法.它是解填空题的最基本、最常用的方法.

例1（2016新课标Ⅰ）已知θ是第四象限角，且sinθ+π4=35，则tanθ-π4=.

解析由题意sinθ+π4=sinθ-π4+π2=cosθ-π4=35，

因为2kπ+3π2<θ<2kπ+2π（k∈Z），

所以2kπ+5π4<θ-π4<2kπ+7π4（k∈Z），

从而sinθ-π4=-45，因此，tanθ-π4=-43.

故填-43.

二、特值代入法

当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但题目暗示答案可能是一个定值时，可以将变量取一些特殊数值、特殊位置或者一种特殊情况来求出这个定值，这样，可简化推理、论证的过程.

例2（2014湖南）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函數，则a=.

解析由题意知，函数f（x）的定义域为R，且为偶函数，

所以f-13-f13=0，

即ln（e-1+1）-a3-ln（e+1）-a3=0，

lne-1-23a=0，解得a=-32.

三、图像法

对一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，将问（如，解方程、解不等式、求最值、求取值范围）与某些图形结合起来，使代数问题以几何的形式直观地呈现出来，使抽象思维和形象思维有机结合，利用图形进行直观分析，再辅以必要的计算，则可以简捷地解决问题，得出正确的结果.

例3（2014新课标Ⅱ）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x-1）>0，则x的取值范围是.

解析因为f（x）是偶函数，所以图像关于y轴对称，

又f（2）=0，且f（x）在[0，+∞）单调递减，

则f（x）的大致图像如图所示，

由 f（x-1）>0，得-2

四、构造法

在解决某些数学问题时，可以通过对条件和结论充分细致的分析，抓住问题的特征，联想熟知的数学模型，然后变换命题，恰当地构造辅助元素，它可以是一个图形、一个函数、一个方程、一个等价命题等，以此架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，称之为构造法.

例4不等式x2-3>ax-a对一切3≤x≤4恒成立，则实数a的取值范围是.

解析由题意得，不等式a

设f（x）=x2-3x-1，则f′（x）=x2-2x+3（x-1）2=（x-1）2+2（x-1）2>0，

所以f（x）=x2-3x-1在[3，4]上是增函数，故 f（x）的最小值为f（3）=3，

所以a

五、等价转换法

等价转换是把待解决的问题转化为在已有知识范围内的问题的一种重要的思想方法.通过不断转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题.

例5（2014重庆）函数f（x）=log2x·log2（2x）的最小值为.

解析f（x）=log2x·log2（2x）=12log2x·2log2（2x）=log2x·（1+log2x）.

设t=log2x，x∈R，则原函数可化为

y=t（t+1）=t+122-14，

因为该函数的最小值为-14，故f（x）的最小值为-14.

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