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三次函数对称中心与应用

范文

蔡正文

【摘要】三次函数对称中心的应用是高考的热点问题，本文通过实际例子详细探讨了三次函数中心的应用.

【关键词】三次函数；对称中心

一、问题提出

2013年全国课标卷（Ⅱ）第（10）题：已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）.

A.x0∈R，f（x0）=0

B.函数y=f（x）的图像是中心对称图形

C.若x0是f（x）的極小值点，则f（x）在区间（-∞，x0）上单调递减

D.若x0是f（x）的极值点，则f′（x）=0

学生在解题时，对于选项B的正确性理解非常困难！学生对三次函数图像为什么是中心对称图形、怎样证明是中心对称图形、如何快速求出对称中心呢，这些问题均存有疑惑；而搞清这些问题对学生高考是有益的，因此，有必要引导学生对该类问题从理论上进行深入的探究.

二、理论探究

三、应用提升

例1（西工大附中适用性训练题）已知在函数f（x）=13x3+x2+x的图像C上，存在一定点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M（x1，y1），N（x2，y2），则恒有y1+y2为定值y0，则y0的值为（）.

例2（华约自主招生模拟题改）已知实数a，b满足：a3+3a2+6a=-13，b3+3b2+6b=5，则a+b=（）.

解析因为b3+3b2+6b=5（b+1）3+3（b+1）=9，①

a3+3a2+6a=-13（a+1）3+3（a+1）=-9.②

设函数h（x）=x3+3x（x∈R），则h（x）是奇函数，因为f（x）=h（x+1），所以函数f（x）对称中心为M（-1，0），且单调递增，由①②知h（a+1）=-h（b+1），即f（a）=-f（b），由对称性知a+b=-2，故选D.

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