| 标题 | 基于MATLAB的多项式的Bergman范数零点分析 |
| 范文 | 丁立娟 【摘要】本文主要工作是在单位复圆盘D上平方可积的函数构成希尔伯特空间，Bergman空间定义为其中解析函数构成的子空间.本文探讨多项式函數的Bergman范数的最值和它的零点在D上的位置分布的关系.通过对帕塞瓦尔定理的直接应用，得出了2-范数的精确结果.对于p-范数给出了部分结果的证明和n=3时对猜测结果的计算机验证. 【关键词】Bergman范数；MATLAB计算；多项式；零点 一、前 言 在工程数学中Bergman范数的求解与分析具有重要的作用，本文主要针对的是多项式的Bergman范数零点，进行理论证明和计算机的验证. 二、理论准备 假定u是A内连续的下调和函数，并且m（r）≤12π∫π-πu（reiθ）dθ.（0≤r<1） 若r1 由以上定理可知12π∫π-π|f（reiθ）|pdθ是r的增函数. Holder不等式： ∫E|f（x）g（x）|dx≤ ∫E|f（x）|p1p· ∫E|f（x）|q1q， 1p+1q=1. Holder不等式的推广： ∫E|∏Nn=1fn|dx≤∏Nn=1 ∫E|fn|pndx1pn，其中∑Nn=11pn=1. 三、理论证明 （一）对2-范数最值问题的证明 设n次多项式f（z）=∑Nn=0anzn，不妨设aN=1，由复系数多项式的因式分解定理知， f（z）=∏Nn=1（z-zn），其中zn是f（z）在D上的零点（n=1，2…，N）且满足0 由2-范数的定义和极坐标变换得 ‖f‖22=∫10r∫2π0|f（reiθ）|2dθdr， 由帕塞瓦尔定理得 ∫2π0|f（reiθ）|2dθ=∑+∞n=0|an|2r2n， 代入上式得 ‖f‖22=∫10r2π∑Nn=0|an|2r2ndr=2π∫10∑Nn=0|an|2r2n+1dr =2π∑Nn=0∫10|an|2r2n+1dr=∑Nn=0|an|2πn+1. 由根与系数的关系得 an=（-1）N-n∑n1 令f1（z）=zn-an，f2=（z-b）n，设其各项系数分别为a（1）n（n=1，2…，N）和a（2）n（n=1，2…，N），由上述公式得 |an|=|（-1）N-n∑n1 <∑n1 当n=0时， |a0|=aN<∏Nn=1|zn|=|a（2）0|； 当0 |an|=|（-1）N-n∑n1 当n=N时， aN=a2N=1； 综上，|a（1）n|<|an|<|a（2）n|，对于0≤n≤N. 因为‖f‖2=∑Nn=0|an|2πn+1是|an|的单调函数， ‖f1‖2=2π∑Nn=0|a（1）n|22n+2<‖f‖2<∑Nn=0|a（2）n|2πn+1=‖f2‖2. 因此，由对称性可知，当f的零点在r=a上均匀分布时，f的2-范数取得最小值；当f的n个零点集中在r=b上某一点上时，多项式函数f的2-范数取得最大值. 至此，2-范数情况证毕. 特别地，对于测度dAa（a）=（1-|z|2）adA（a），a>-1时， ‖f‖22=∫10r（1-r2）∫2π0|f（reiθ）|2dθdr， 利用帕塞瓦尔定理得 ‖f‖22=2π∫10∑Nn=0|an|2（r2n+1-r2n+3）dr =∑Nn=0π（n+1）（n+2）|an|2. 由|a（1）n|<|an|<|a（2）n|（对于0≤n≤N），同上法可得出相同结果. 四、对于p-范数问题的研究 利用Holder不等式得 ‖f‖pp=∫10∫2π0∏Nn=1|（reiθ-rneiθn）|pdθrdr ≤∫10∏Nn=1 ∫2π0|（reiθ-rneiθn）|npdθ1nrdr. 注意到 ∫2π0|（reiθ-rneiθn）|npdθ=∫2π0（|（reiθ-rneiθn）|2）np2dθ =∫2π0（r2-2rrncos（θ-θn）+r2n）np2dθ =∫2π0|（rneiθ-reiθn）|npdθ. 由上面结论12π∫π-π|f（reiθ）|pdθ是r的增函数可知 ∫2π0|（reiθ-rneiθn）|npdθ=∫2π0|（rneiθ-reiθn）|npdθ 也是rn的增函数，且rn ∫2π0|（reiθ-rneiθn）|npdθ=∫2π0|（rneiθ-reiθn）|npdθ ≤∫2π0|（beiθ-reiθn）|npdθ=∫2π0|（reiθ-beiθn）|npdθ. 所以 ‖f‖pp=∫10∫2π0∏Nn=1|（reiθ-rneiθn）|pdθrdr ≤∫10∏Nn=1 ∫2π0|（reiθ-rneiθn）|npdθ1nrdr ≤∫10∏Nn=1 ∫2π0|（reiθ-beiθn）|Npdθ1Nrdr， 由周期函數的性质得 ∫10∏Nn=1 ∫2π0|（reiθ-beiθn）|Npdθ1Nrdr =∫10∏Nn=1 ∫2π0|（reiθ-b）|Npdθ1Nrdr =∫10∫2π0|（reiθ-b）|Npdθrdr=∫D|（z-b）N|pdA（z）. 即对于p-范数，当f的n个零点集中在r=b上某一点上时，多项式函数f的p-范数取得最大值. 五、基于MATLAB对三次多项式的结果进行验证 利用MATLAB编程初步验证了题目中猜测的结果.我就n=3的情况下利用随机数产生一组多项式，并要求多项式在D上有n个零点.通过近似积分计算初步验证了猜想.主程序如下： a=0.1； %零点模的下界 b=0.9；%零点模的上界 p=1.5；%p值 f=@（r，th）（abs（（r.*exp（i.*th））.^3-a.^3））.^p.*r；%表示p（z）=zn-an vmin=integral2（f，0，1，0，2*pi） %p（z）=zn-an的p-范数 g=@（r，th）（abs（（r.*exp（i.*th）-0.9）.^3））.^p.*r；%表示p（z）=（z-b）n vmax=integral2（g，0，1，0，2*pi） %p（z）=（z-b）n的p-范数 k=0； for j=1：100 R=unifrnd（0.1，0.9，3，1）；TH=rand（3，1）*2*pi； h=@（r，th）（abs（（r.*exp（i.*th）-R（1）*exp（i *TH（1）））.*（r.*exp（i.*th）-R（2）*exp（i*TH（2）））. *（r.*exp（i.*th）-R（3）*exp（i*TH（3）））））.^p.*r； v=integral2（h，0，1，0，2*pi）； if v>=vmin&&v<=vmax k=k+1； end End %计算随机产生的满足条件的100个多项式 %并比较其范数 k/100%求出介于两数值之间的百分比 运行结果为100%，表示随机产生的100个多项式的p-范数都介于两者之间，可以验证对于1 000个多项式计算也成立. 由于多项式是随机产生的，所以初步可以验证猜测的准确性.由于希尔伯特空间具有很好的几何性质，所以在2-范数情况下存在精确的解析结果，即由帕塞瓦尔定理推导出的积分公式.但是对于一般的Lp空间，不具有希尔伯特空间的特点，所以没有得到精确表达式.但是可以利用下调和函数的性质证明猜测.根据对p=2时结果加以归纳，可以猜测出当f的零点在r=a上均匀分布时（这里说的均匀分布是指相邻的两个零点之间，幅角的差是定值2πn）f的p-范数取得最小值；当f的n个零点集中在r=b上任意一点上时，多项式函数f的p-范数取得最大值.本文中已经给出了取得最大值情况的证明，对于最小值的情况，给出了n=3时三次多项式的计算机验证，验证的结果也说明了猜测的正确性. 【参考文献】 [1]梁舒.分数阶系统的控制理论研究[D].合肥：中国科学技术大学，2015. [2]梁玉霞.算子有界性、紧性以及简单动力学性质的研究[D].天津：天津大学，2014. [3]赵翀.拟齐次Hilbert模的p-本质正规性[D].上海：复旦大学，2014. [4]余佳洋.算子Lehmer问题与距离泛函[D].上海：复旦大学，2014. [5]赵显锋.Berezin变换与Toeplitz算子[D].重庆：重庆大学，2014. [6]冯鑫.多尺度分析与压缩感知理论在图像处理中的应用研究[D].兰州：兰州理工大学，2012. [7]黄寒松.Bergman空间上的Von Neumann代数、约化子空间和相关的几何分析[D].上海：复旦大学，2009. [8]王伦.内外分解和谱分解问题的解析计算及其MATLAB仿真[D].上海：上海交通大学，2007. |
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