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高中圆锥曲线与方程教学策略探究

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许士清

【摘要】本文结合自己的教学实践，在分析学生圆锥曲线与方程学习中遇到的困惑及其原因的基础上，提出了微型教学设计、直观化教学、完善数学认知结构等教学策略.

【关键词】圆锥曲线与方程；教学策略

作为高中平面解析几何的核心内容，圆锥曲线与方程知识历来是高考中的热点和难点问题，并且学生得分率较低，一做就错的现象较为突出.究其原因是学生未能准确理解圆锥曲线定义的生成，致使对标准方程、简单性质等常常混淆，对数形结合思想未能全面掌握.因此，在这种背景下，探究高中圆锥曲线与方程教学策略具有重要意义.

一、学生在圆锥曲线与方程学习中遇到的困惑

（一）对圆锥曲线的定义和标准方程的统一性缺乏有效理解

对于椭圆、双曲线、抛物线的定义和标准方程的形式记忆不清，理解过于表面化，对于圆锥曲线的变式题目，未能从定义入手，常常粗心大意，会而不对的现象十分普遍.例如，某一抛物线的焦点在直线x-y+2=0上，对称轴为坐标轴，顶点为坐标原点.在求这一抛物线方程时，许多学生只求出了一个标准方程，究其原因是对于抛物线的定义理解不够全面，未能做到数形结合.

（二）对圆锥曲线的简单性质记忆模糊，分辨不清

对于“渐近线”“离心率”等概念不清，无从下手，知识表面化，看不到概念与概念之间的联系.例如，已知某一双曲线渐近线方程为3x±4y=0，则该曲线的离心率是多少？很多学生对于“渐近线”“离心率”的概念不清，加之“渐近线”“离心率”与标准方程中a，b，c之间无法建立有效联系，致使学生面对此题时无从着手.

（三）解答题的正确率较低，缺乏分析题目的能力

查阅历年高考试卷，学生对于圆锥曲线的得分率较低，并且常常和压轴题结合在一起，究其原因是圆锥曲线的变式题目较多，加之在解题过程中涉及二元一次方程组，许多学生能够根据题意列出方程组，但在解方程组过程中常常出现错误，自主学习能力和计算能力不强，致使解题的正确率很低.

二、学生圆锥曲线与方程学习中问题形成原因分析

深入分析圆锥曲线与方程学习中存在的问题，既有学生认知方面的原因，又有教师教学策略的影响，当然也有圆锥曲线与方程本身的因素.

一是学生认知方面.绝大部分学生在学习圆锥曲线与方程这章知识时，很难将已学知识和数学思想联系起来，例如，如何推导圆的标准方程，理解点的轨迹等知识，未能充分发挥新旧知识之间的联系.同时，不注重定义、图像、标准方程等基础知识点在做题过程中的重要作用，不注重自身认知结构的生成，加之抛物线、椭圆、双曲线在学习内容上的相似性，致使在做题过程中容易混淆.

二是教师方面.大多数教师在本章课程讲解过程不注重学生知识的生成过程，不能将本章知识与平面直角坐标系中圆的标准方程推导思想有效结合起来，并且一味地侧重于标准方程公式的记忆，致使学生死记硬背，不能做到融会贯通.同时，部分教师思想观念落后，仅注重知识的传递，而忽略了情感在学习过程中的作用，致使学生学习兴趣低下，厌学情绪严重.

三是圆锥曲线与方程内容本身的特点.相比高中数学其他教学内容，本章知识难以理解，例如，“渐近线”“离心率”等概念.加上圆锥曲线与方程的标准方程推导过程较为复杂，除了移项外，还需平方去根号，这对于计算能力差的学生来说，其内容本身难以理解.

三、高中圆锥曲线与方程教学策略

（一）微型教学设计

新课标中明确指出，高中数学学习应倡导合作交流、动手实践、自主探索等多种学习方式，但在实施过程中如果安排探究活动较多，则难以在40分钟的课堂时间内有效完成.因此，笔者借鉴微课理念，根据教学内容精心设计出一个教学片断，这个片断既可以是某个问题的探究，也可以是某个教学难点的突破，还可以是新知识的导入，在具体教学过程中，恰当地实施微型教学设计，让学生加深对概念的理解，弄清概念的来龙去脉.

例如，在讲解“抛物线及其标准方程”时，笔者利用所学知识——二次函数图像为背景，诱导出新概念.

首先，在学生已有认知基础上设计问题，笔者根据学生已经学习过的椭圆和双曲线等有关知识，设计了以下题目：

从椭圆的定义可知，题目1的轨迹是椭圆，在题目1的提示下，很多学生得出题目2是双曲线的一支，但在解决题目3时，从条件分析，既不是抛物线，又不是双曲线，只能按照常规思维进行化简，经过移项、去根号等步骤后，题目3的方程化简后变化y=x28，即引入本节课程主题——抛物线.

其次，剖析问题3的几何意义，并判断是否具有一般性结论.原方程等价于x2+（y-2）2=|y+2|，根據所学集合意义，其等式右边表示点P（x，y）到直线y=-2之间的距离，等式左面表示点P（x，y）到点（0，2）之间的距离.

最后，类比推广，抽象出抛物线的概念.组织学生描述出抛物线的定义，对其进行完善，并应用多媒体进行动画演示，进一步帮助学生完善知识结构，深刻领会运算化简求轨迹、根据定义判断轨迹等解析几何的基本思想和方法.

（二）直观化教学

数学概念的学习离不开直观化教学，在高中数学教学中，图形计算器和几何画板是常用的画图软件.这些软件的使用能够为高中学生“做数学”提供良好的学习环境，让学生在计算机的辅助下，利用几何画板展示动态图形，使原本抽象的概念更加形象.

例如，在组织学生学习椭圆概念时，笔者应用几何画板动态演示椭圆的生成过程，使学生更好理解.

（1）打开新绘图，应用画圆工具作一个圆，并将圆心标记为A；

（2）在圆上取一点M，在圆内取一点B，并连接MA，MB；

（3）选取线段MB的中点，并标记为点E，过E作MB的垂线，并与MA交于点P；

（4）选择点P追踪点，选择点M生成点的动画，最终效果如图所示.

（三）完善数学认知结构

数学认知结构是数学知识结构在学生头脑中具体反映，教师应根据学生的认知结构完成教学，注重圆锥曲线的定义以及标准方程的推导过程，使学生的“学”与教师的“教”相结合，加强不同知识之间的联系.同时，鼓励学生认真体会定义的几何意义，在学生头脑中形成完整的认知结构体系，具体应做好以下几点：一是在教学中尽量不要一节课从头讲到尾，要给你学生充分的思考和总结时间，对于一些简单的题目一定要认真研究，有效避免会而不对现象；二是教师要督促学生强化巩固所学知识，留置的课后作业要及时检查，确保学生对教材知识在做作业过程中做一个再认识；三是本章知识结束后，教师应帮助学生建立一个本章知识结构图，进一步深化知识，提高学生学习的成就感；四是在每次考试后评卷过程中，教师应让学生知道每道题目考查的知识点，充分锻炼学生提取、分析数学信息的能力.

总之，在具体教学实践中，教师应采用微型教学设计和直观化教学策略，最大限度地帮助学生完善自己的数学认知结构，只有这样，才能达到活学活用的目的，才能使教师的教和学生的学实现事半功倍的效果.

【参考文献】

[1]王韡.圆锥曲线与方程教学反思[J].理科考试研究，2013（1）：13-14.

[2]肖学勤.新课程下如何实现高中数学中圆锥曲线有效教学[J].新课程学习（下），2014（12）：74.

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