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利用理论力学知识对纸飞机飞行距离的研究

范文

尚余祥

摘要：纸飞机为多数人都玩过的一个玩具，本文利用理论力学知识，把纸飞机作为研究对象，探究其飞行原理、飞行过程以及飞行距离和各类因素之间的相关关系，最终得出纸飞机飞行距离的表达式。

关键词：理论力学;纸飞机;飞行距离

世界上有若干具有一定影响力的纸飞机比赛，通常的参赛规定是使用一张特定规格的纸，例如 A4 大小的纸张，折成一架纸飞机。折好后在无风的室内环境投掷，并测量其留空时间和飞行距离等成绩。一种叫做 Suzanne 的折法曾创下飞行距离的吉尼斯世界纪录，现以 Suzanne 纸飞机为例（图1），探究飞机飞行距离表达式。

一、纸飞机重心分析

纸飞机的平衡关键因素是它的重心，如果重心在中心对称点上，那么纸飞机将更加平衡。根据对称性原理，纸飞机的中心点一般就是飞机前端到尾翼的中间之处，这样飞机就可以十分稳定。纸飞机重心点的位置会影响到飞行的距离。如果我们折的纸飞机重心点位置适中，在纸飞机的下滑过程中，纸飞机机翼会受到均匀的空气动力，保证了飞行的稳定性，能飞得更久。机翼在机身上的位置决定了纸飞机重心的位置，如果重心太过靠前，就很难获得空气的反作用力，从而有可能加剧了飞机下落的速度，这种情况下重心与升力之间有偶力矩作用，飞机前部会重于后部，使飞机前部向下俯冲。重心靠后的情况下重心与升力产生的力矩会使飞机迅速爬升，但是隨之阻力增加而失速坠落。如果能控制机翼的位置使重心点位置准确，则会增加纸飞机的稳定性，从而使飞机飞得更远。

所以在叠纸飞机的时候应该尽量将重心靠近最佳位置升力点上（即升力的合力作用点），如此才能保持纸飞机的稳定。[1]升力主要是靠空气给机翼反作用力的向上分力，假设这些力量是均匀分布在机翼表面，那升力的合力应该作用在飞机机翼的几何重心位置。由于纸飞机是左右对称的，所以重心一定在中间的对称面上，把纸飞机对折起来，然后利用理论力学上常用的细绳悬挂法来求出纸飞机的重心，如图2所示。

二、建立力学模型分析飞机飞行表达式

纸飞机的机翼是平整的，上下表面气流流速相同，无压力差，因此我们不能利用伯努利原理去求解纸飞机的升力，只能利用牛顿第三定律来求解。

对纸飞机的机翼做受力分析，投掷纸飞机的时，一般都会与水平面形成一定的角度，斜向上投掷。这时机身与水平线的夹角称为投掷角。当纸飞机前进时会给空气一个垂直于机翼的力量，相对的空气也会给机翼一个反作用力，这个力量的垂直分力即为飞机的升力，水平分力成为阻力的一部分。[2]

纸飞机的飞行，在不考虑其形状变化，同时认为折叠完全理想的状态下，其飞翔可以看作是给定一定动能的飞机滑翔，即纸滑翔机，因我们研究的是纸飞机的水平飞行距离，所以暂且假设纸飞机在飞行过程中左翼和右翼受力均匀，而且手在投掷时也是水平向前发力，最终纸飞机不会发生偏转，可看作飞机在一个平面内做上升和滑翔运动。但是由于纸飞机飞行过程中受力大小和方向在改变，导致其加速度在改变，进一步使得飞机速度在改变，其实质为变加速曲线运动，研究该类运动，则需利用高等数学中微积分的知识，建立加速度、速度和距离之间的关系。

从x 和 y 两个维度去考察纸飞机上升和滑翔两个阶段，在纸飞机离手的时候，飞机获得一定的初速度，初速度与水平方向存在一定的角度，即迎角，当纸飞机上升到最高点时，纸飞机在y方向的速度分量变为0，在水平方向的分量为vx1，在滑翔一段时间后，纸飞机落地，落地时刻水平方向的速度为vx2，y方向的速度分量为0。

上升阶段：

受力分析图3如图所示。

下降阶段：

受力分析如图4所示：

三、结语

本文主要进行了纸飞机的飞行原理的探究，在求得重心的基础上，运用理论力学关于物体运动方面的知识，并结合高等数学以及非线性目标规划的方法，建立使得投掷距离最远的函数，然后根据牛顿第二定律及物体运动规律等知识建立相应的约束条件，建立完整的飞行距离与起飞角度等因素之间的函数。纸飞机虽然很小，但是蕴含着丰富的力学和物理学知识，让我们体回到科技的无穷奥妙。

参考文献：

[1]贾跃华.理论力学小论文纸飞机[J].OL，2014-01-14.

[2]陈立群.《理论力学Ⅰ，Ⅱ》评介[J].力学与实践，2013，35（04）：98+94.

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