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考虑不同索赔类型及可变年免赔额的最优奖惩系统

范文

宋良有

摘要：在奖惩系统中加入免赔额会减少被保险人支付的保费，提高被保险人风险意识，也可以减少大量的小额赔款事件发生，节省管理费用。文章研究了具有不同索赔类型和可变年免赔额的奖惩系统下的分配问题，提出了一种具体的分配方案。最后通过数值例子，解释了分配方案的可行性。

关键词：奖惩系统;年免赔额;溢价;无差别原则

一、引言

在车险理赔中，通常使用奖惩系统（Bonus-Malus system，简称BMS），该系统划分了不同的等级，由被保险人的历史索赔数据来确定等级，并根据投保年内被保险人有无申请理赔，重新划分被保险人等级，从而支付等级对应的保费。当被保险人在投保年内没有申请理赔时，保险公司会给出一定的奖励，并重新划分等级，降低保费，直至最低保费限额;当被保险人在投保年内申请一次甚至几次理赔时，保险公司会做出相应的处罚，仍重新划分等级，并提高保费，直至最高保费限额。

该奖惩系统会有一些缺点。首先，被保险人的等级提升只考虑发生索赔的次数，这会使发生几次小索赔而申报所受的惩罚高于一次高额索赔，这显然是不利于稳定被保险人的续保。其次，因为申报理赔会有相应的惩罚，使得投保人对一些小额理赔不申报索赔，会影响保险公司的预算，一旦有几次高额索赔，可能会导致保险公司亏损严重。此外，当保险等级过高，被保险人会逃避高保费，出现撤保情况，会引起保险公司的损失，并使得其他保险公司低估新被保险人的风险。

为了避免这些情况，可以在原有的奖惩系统上引入免赔额。Lemaire研究了汽车保险奖惩系统的初期模型，根据被保险人的特征给出分级模型，以及简单的转移规则，使汽车保险行业更有秩序性及有效性。由于传统的奖惩系统有些不足的问题，Pitrebois等和孙景云等研究了带免赔额的奖惩系统，使得被保险人的保费与道德意识联系，从而进一步完善奖惩系统的机制。Denuit等和Pitrebois等研究了无差别原则，将增收保费部分转化为免赔额，使被保险人提高安全意识。Ragulina，李义年和张永霞等利用马尔可夫矩阵求出稳态概率，使等级转移有规律可循。Norberg研究了溢价的表达式，求最小均方误差形式得出溢价。Denuit等研究了次索赔和年索赔模式下的无差别原则以及混合分配形式。

本文考虑具有不同索赔类型和年度免赔额的奖惩系统，利用无差别原则、平稳概率和溢价求得年免配额的合理分配策略。

二、模型构建

本文采用Lemaire中关于BMS平均最优自留额分析的基本假设。假设有m+1个索赔类型，每种索赔都有对应的处罚，被保险人处于哪一种索赔类型由年索赔额S决定。将索赔额分成很多个小区间，定义（0，c]为索赔类型0，（c，c]为索赔类型1，...，（c，∞）为索赔类型m。假设一个奖惩系统有s+1个等级，从0级到s级，最高的等级有最高的保费，随着等级的降低，保费也越来越少，且在0级时，被保险人拥有最低的保费。新的被保险人会有一个初始等级，每当一个无理赔年，被保险人的级别就降低，直至0级，同样被保险人在一个投保年内申报一次甚至多次理赔，将会面临惩罚，即提升等级，增收保费。

用N表示索赔数目，λ表示先验年度期望索赔频率，Θ表示未观察到的剩余倾向，用表示组合保单的分布函数，故实际年索赔频率为λΘ。假设N服从混合泊松分布，可得N的条件离散概率质量函数为Pr[N=K|Θ=θ]=（1）

为了不用多次考虑参数，可以用后验分布来表示参数并消除条件。因此N的无条件概率质量函数为Pr[N=K]=Pr[N=K|Θ=θ]dF[θ]，k=0，1，2，…，記C1，C2，…，CN为一个理赔年中第k次损失额，因此总的索赔额为S=∑Ck。

其中，设损失额C1，C2，…，CN独立同分布，并与索赔次数N独立。被保险人的等级完全由被保险人的表现决定，而等级的升高更多是由被保险人申请的索赔次数决定，而不是索赔额的多少。为了使假设与实际接近，记C1，C2，…，CN与Θ也相互独立。由分级模型，定义年索赔额在各索赔类型中的概率为q0=P[Sc]，因此每个年索赔额所落在的区间，会有一个对应的概率，可以看出∑qi=1，且每个qi>0。

本文假设在知道被保险人当前保费水平以及本年度索赔次数就可以推出下一保单年的等级水平。因此，奖惩系统可由Markov矩阵表示。由一步转移矩阵得，稳态概率为πl=Pr[L=l]=πl（λθ;q）dF（θ），0≤l≤s，溢价为rl=。

在支付保费过程中，第级被保险人应交保费为λrlE[C]。当rl≤1时，他们支付的保费不会高于基础保费λE[C]，故仍为λrlE[C]。当rl>1时，取s0=min{l;rl>1}，表示最小溢价，即在rl>1或s0≤l≤s时，引入转移概率αl，使被保险人实际支付的保费等于（1-αl）λrlE[C]，剩下的部分用作添加免赔额的形式在下文给出，这里选取0≤αl≤1。本文只讨论rl>1的情况。年免赔额分配模型如下：

λrlE[C]=λE[C]+E[S|S≤dl]Pr[S≤dl]+dlPr[S>dl]（2）

分配理念参见文献，其中免赔额由dl表示，表示当溢价大于1时，被保险人支付的保费由基础保费和自付的免赔额与对应概率的乘积组成。

为便于分析，需要给出如下几点假设

假设1：不等式1≤（1-α）r≤（1-α+1）r+1≤…≤（1-αs）rs成立。

假设2：

1.对所有的l（s0≤l≤s） 0≤dl，0≤c，0≤dl，1≤c，0≤dl，2≤c，…，0≤dl，m≤c

2.对任意固定的l（s0≤l≤s） dl，0≤dl，1≤dl，2≤…≤dl，m

3.对任意固定的i（0≤i≤m） d≤d≤…≤ds，i

被保险人少支付的保费，由保险公司给每个索赔制定相应的免赔额，从索赔额中分离出来并等于dl，i，显然dl，i的取值依赖于被保险人的等级和索赔类型i。

三、年可变免赔额的最优分配策略

对l级被保险人使用无差别原则，并在年免赔额分配模型的基础上引入转移概率，剩下的αlλrlE[C]通过添加免赔额的形式取代，其中在s0≤l≤s条件下，可写为，

αlλrlE[C]=E[S|S≤dl，0]Pr[S≤dl，0]+dl，0（q0-Pr|S≤dl，0）+dl，1q1+…+dl，mqm（3）

定理（3）存在一个解，对所有的S0≤l≤s，结合假设1，有

αl≤min{1-，}（4）

其中? ?f（c，c，…，c）=E[S|S≤c]q0+cq1+…+cqm

考虑特殊情况，dl，i=0（s0≤l≤s-1）和0≤i≤m，级是最高免赔额对应的等级。为了满足假设1，我们需要（1-αs）rs≥rs-1，得1-rs-1/rs，故可以选任意正的αs，例如，

αs≤min{1-，}（5）

选择适当的ds，0，ds，1，…，ds，m，令（4）中的l=s，得

αsλrsE[C]=（E[S|S≤ds，0]Pr[S≤ds，0]+ds，0（q0-Pr[s≤ds，0]）+ds，1q1+…+ds，mqm）（6）

如果（5）严格，则（6）有无穷多个解，针对免赔额，我们考虑如下的分配方案：高额索赔严格处罚，小额索赔轻微处罚。

先验证最高级处罚。首先，令ds，0=ds，1=…=ds，m-1=0，ds，m=c，并带入（6），如果αsλrsE[C]>cqm，则免赔额可以分配为ds，0=ds，1=…=ds，m-1=0，ds，m=，否则αsλrsE[C]>cqm，也应处罚m-1型索赔，直到得到所有分配。只要等式（5）成立，分配就是可能的。

四、数值计算

设定一个索赔等级模型，给出4个等级，即0～3级;4个索赔类型，也是0～3类，其中每一类分别用q0，q1，q2，q3表示。如果投保年没有申请索赔，则被保险人的等级就降一级。初始等级是0的被保险人发生一次索赔类型为0的索赔，则升1级;发生一次索赔类型1的索赔，则升2级;发生一次索赔类型2，3的索赔，则升3级。但发生2或3类型的索赔，有不同的免赔额。同样，初始等级是1的被保险人发生一次索赔类型1的索赔，则升1级;发生一次索赔类型2或3的索赔，则升2级，最高3级，以此类推。

假设后验分布函数为FΘ（θ）=1-e-θ，其中N服从泊松分布，索赔额服从参数为μ的指数分布的。由（4）得f（c，c，c）=E[S|S≤c]q0+cq1+cq2+cq3

例1：令λ=0.3，μ=1，c=1，c=2，c=4使用Matlab计算得q0=0.8903，q1=0.0635，q2=0.0381，q3=0.0081。类似的，πl，rl可求。

αs≤min{1-，}≈{1-，}≈min{0.2813，0.3237}=0.2813对应最高类型索赔的不同免赔额，调节，可得表1如下：

表1表示了调节dl，2的数额时，dl，3也随着变化。展示了不论哪个等级，第2类型索赔额取不同值，很大程度影响了第3类型的免赔额。即假设2（3）成立。

前面选的αl比较小，则考虑较大的αl有表2如下：

表2把模型理念很好的表示出来，已知数值取值满足假设1，2，高等级被保险人所支付的保费高，相应的免赔额也高，也符合实际。

五、结论

最初的车险奖惩系统是建立在由当前投保年申请索赔的次数决定下一个投保年的保费的基础上，虽然会使汽车保险变得有秩序，但是随着时间推移以及申报理赔原因越来越多，使得险种丰富，越来越体會出原有的奖惩系统并不是最完善的。国内外有一些学者研究了次索赔基础上的免赔额问题，但在年度索赔问题也有很大的发展空间，一些集团和集体会以整体或是整年的形式去投保，这样会节省处理时间以及每次理赔管理的费用，有一定的实用价值。

由举例可以看出，对不同的转移概率，免赔额会有不同的分配，我们的目的是选取适当的转移概率使得奖惩系统仍有意义，高等级被保险人保费比低等级高的基础上，完整分配免赔额，使得较高等级的被保险人都有一个对应的免赔额，提高被保险人自身的道德与安全意识。

参考文献：

[1]Lemaire J. Bonus-Malus Systems in Automobile Insurance[M]. Kluwer Academic Publisher， Boston， 1995.

[2]Pitrebois S， Denuit M， Walhin J.-F. Bonus-malus systems with varying deductibles[J]. ASTIN Bull， 2005（35）.

[3]孙景云，黄彦彦，李碧琪，刘玉胜.带有免赔额调整的车险奖惩系统及其最优自留额[J].经济数学，2012.

[4]Denuit M， Maréchal X， Pitrebois S， Walhin J.-F. Actuarial Modelling of Claim Counts： Risk Classification， Credibility and Bonus-Malus Systems[M]. John Wiley & Sons， Chichester， 2007.

[5]Ragulina O. Bonus-malus systems with different claim types and varying deductible[J].Theory and Applications， 2017.

[6]李义年.汽车保险中奖惩系统的马尔可夫分析[J].武汉理工大学学报（交通科学与工程版），2010.

[7]张永霞，孟生旺.我国商业车险奖惩系统研究[J].保险研究，2016（10）.

[8]Norberg， R. A credibility theory for automobile bonus system[J]. Scand. Actuar. 1976.

（作者单位：辽宁师范大学数学学院）

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