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数理逻辑中演绎推理的图解法

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熊瑜毕金钵

【摘要】本文通过作者多年教授离散数学课程中数理逻辑部分的教学经验，总结数理逻辑中演绎推理的要点和难点，利用图解法帮助学生更快速简单地掌握推理演算的技巧.

【关键词】数理逻辑;命题公式;谓词公式;演绎推理

一、引言

数理逻辑用数学的方法来研究逻辑问题，也称作是符号逻辑，把逻辑中的推理过程像数学一样利用公式来进行计算，从而得到合理正确的结论.当我们已经了解了逻辑运算的对象—命题和运算符号—逻辑连接词，还有谓词逻辑当中把命题进一步细化出个体词、量词和谓词后，演绎推理就该是接下来要学习的重点和难点.学生通常拿到一个演绎推理问题时，想要按要求来构造一个有限公式序列，证明推理的合理性，通常無从下手，那么在本文中我们将把演绎推理演算用有效简单的图解法来解答，给学生一个更快掌握的途径.

二、演绎推理的图解法

数理逻辑中，演绎推理问题都是要从一些已经符号化好的前提条件出发推出结论的有效性与合理性.在这个过程中我们要求非常清晰明白地把每一步的推理细节呈现出来，让整个演绎推理完全清楚明白.这个过程就如侦探探案解说案件的过程，每一个细小的结论都需要把现象下的本质解答出来.以下我们举一个谓词逻辑当中的例子演绎这个效果.我们将采用图解法来实现有效简单的解答.

例如，证明“每个喜欢独处的人都不喜欢热闹;每个人或者喜欢热闹或者喜欢安静;有的人不喜欢安静;所以，有人不喜欢独处.”

设个体域是全体人类，P（x）：x喜欢独处，Q（x）：x喜欢热闹，R（x）：x喜欢安静.符号化我们需要证明的推理命题如下：

x（P（x）→ Q（x）），x（Q（x）∨R（x）），

x R（x）x P（x）

（1）P：x R（x）（2）ES? R（a）

（3）P：x（Q（x）∨R（x））（4）US Q（a）∨R（a）? （5）T Q（a）

（6）P：x（P（x）→ Q（x））（7）US P（a）→ Q（a）

（8）T? P（a）（9）EU x P（x）

以上图解中出现的符号表意如下：

P：前提引入规则;T：结论引入规则;ES：存在量词消去规则;US：全称量词消去规则;EU：存在量词引入规则.

以下我们按照图解法的思路，可以轻松地写出整个推理所构造出的有限公式序列.

（1）x R（x）P;

（2） R（a）ES：（1）;

（3）x（Q（x）∨R（x））P;

（4）Q（a）∨R（a） US：（3）;

（5）Q（a）T：（2），（4）;

（6）x（P（x）→ Q（x））P;

（7）P（a）→ Q（a）US：（6）;

（8） P（a）T：（5），（7）;

（9）x P（x）EU：（8）.

在这个公式序列中最后一个公式即为我们所要证明的结论.公式序列里面每步构造的子公式，我们要求在后面的注解中清晰地写出这一阶段性结论的由来依据.从我们的图解法中就可以快速找到依据.比如，第（8）步中，我们得到一个阶段性的结论 P（a），那么是怎么来的呢？其实我们是根据第（5）步Q（a）和第（7）步P（a）→ Q（a）这两个子公式，利用了“拒取式”这个基本推理公式所得到的.我们的推理过程就像搭建一座房屋，根基要非常的牢靠，每一个步骤环环相扣，不能够出现任何纰漏，图解法通常是最为直观和有效的方式.

三、小结

有了第二节中图解法，能够清晰地展现出推理的整个思维过程，学生在学习演绎推理时就可以快速准确地把推理的细节全部抓住，从而快速解决问题.这样我们就能够真正地实现数理逻辑的先驱莱布尼兹曾经的理想，创造出了一种“通用的语言”，把逻辑推理过程像数学一样利用公式来进行演算，最终得到合理正确的结论.

【参考文献】

[1]Kenneth H Rosen .离散数学及其应用（英文版）：第7版[M].北京：机械工业出版社，2012.

[2]方景龙，周丽.应用离散数学：第2版[M].北京：人民邮电出版社，2014.

[3]R.约翰逊鲍夫.离散数学[M].黄林鹏，陈俊清，等译.北京：电子工业出版社，2015.

[4]谢美萍，陈媛.离散数学[M].北京：清华大学出版社，2014.

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