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基于格型结构LMS算法的自适应预测

范文

摘要：自适应预测在语言和图像编码中有着大量的应用。本文重点研究LMS算法的一步线性预测。其间推导了LMS算法在格型结构中的表达式，并验证了二阶格型结构的LMS算法收敛过程，也在格型结构系统中验证了LMS算法在一步前向预测上的准确性。结果表明，在格型结构中使用LMS算法进行一步前向预测，能够达到较高的准确性。

关键词：LMS算法;格型结构;自适应预测

中图分类号：TN713 文献标识码：A 文章编号：1003-5168（2020）13-0014-03

The Adaptive Prediction Based on Lattice Structure LMS Algorithm

LYU Xiaona

（Zhengzhou Business University，Zhengzhou Henan 451200）

Abstract： The adaptive prediction has a lot of applications in language and image coding. This paper focused on the one-step linear prediction of LMS algorithm. In the meantime， the expression of the LMS algorithm in the lattice structure was derived， and the convergence process of the LMS algorithm of the second-order lattice structure was verified， and the accuracy of the LMS algorithm in one-step forward prediction was also verified in the lattice structure system. The above verification shows that using the LMS algorithm for one-step forward prediction in the lattice structure can achieve higher accuracy.

Keywords： LMS algorithm;lattice structure;adaptive prediction

自适应预测是利用一段已知的数据来估计这一段之外的数据，如果估计的数据在这一段数据之前称为后向预测，如果估计的数据在这一段数据之后称为前向预测。在语言和图像编码中，线性预测有着广泛的应用。线性预测编码（LPC）就使用了线性预测的方法。

本文主要研究在格型结构中使用LMS算法进行一步前向预测（见图1）的原理及方法。在自适应算法中，LMS最大的优点是算法简单，实现容易。格型结构各阶参数是解耦的，互相之间并不影响。在自适应迭代过程中，相比于滑动自回归系统来说，收敛速度有一定的优势。本文研究了格型结构中LMS算法的计算原理，并在二阶条件下验证了LMS算法的收敛过程。同时，验证了单频信号在跳变过程中的预测过程，可以看出，在格型结构中，LMS算法能够得到较好的预测结果。

1 基本理论

滑动自回归系统在时不变系统中有特殊的优点。但在自适应过程中，当一个参数被调整之后，所有的零点或极点都会发生变化。为了降低参数的改变对零、极点的影响，系统往往使用格型结构。格型结构有全零点格型结构、全极点格型结构和零极点格型结构。格型结构应用最多的是全零点格型结构和全极点格型结构。全零点格型结构和全极点格型结构属于级联性的，并且可以保证在调节参数时只改变对应级的零极点。由于格型结构的优点，其在自适应滤波以及线性预测等方面有大量的应用。

本文使用全零点格型结构，通过最小均方算法（LMS）进行一步前向预测。全零点系统没有极点，对应的格型结构如图2所示。全零点系统的标准模式如式（1）所示[1-3]。

LMS算法的代价函数使用均方误差，均方误差属于统计量，实际情况下，输入信号是顺序输入的，要获得统计意义上的均方误差，需要等信号全部输入完毕才可以获得估计值。要根据部分输入来获得统计意义上的均方误差是不现实的，所以LMS计算就使用单次采样数据的均方误差来代替统计均方误差。根据单次数据均方误差，可得代价函数的梯度估值，如式（3）所示。

式中，Xk和Wk为第k步迭代时的输入信号向量和对应的权向量;[X*k]为[Xk]的共轭向量，若输入信号为实信号，则二者相等。LMS算法沿着负梯度方向收敛，故權值收敛方式如式（4）所示。

式中，[μ]为迭代的步进参数，[μ]的大小决定了迭代的稳定性。当[μ]的取值超过一定值时，迭代过程会发散，其取值范围如式（5）所示。

式中，[λmax]为对应输入信号相关矩阵的最大特征值，即输入信号解耦后的最大功率值。

图2的格型结构前后两级相对独立，LMS算法是基于均方误差的，所以假设以下三种相关函数。

根据参考文献[3]，可知每一级的权向量为：

每一级输出值的均方值对对应级权向量的梯度估值为：

所以，图2所示的格型LMS算法如式（11）所示。

式中，[μl]为每一级格型结构的步进迭代值。

2 试验结果及分析

2.1 二阶格型结构迭代过程

一步前向预测系统的结构图如图1所示，一步前向预测的目的是通过过往的数据预测下一个数据。自适应预测器在干扰对消和谱线增强等领域都有广泛的使用。格型结构可以保证在迭代过程中，每一级的参数调整不影响其他参数。为了便于观察迭代过程，本文选择二阶对称格型结构。

预测系统往往针对有噪输入信号，所以最终预测值会有一定的误差，但误差值会在一个较小范围内徘徊。若输入信号是无噪，经过迭代预测值的误差会减小到0。二阶格型结构的系统函数如式（12）所示。

在二阶格型结构中，使用[x（k-1）]和[x（k-2）]来预测[x（k）]。设分别由[x（k）]、[x（k-1）]和[x（k-2）]所构成的相关矩阵为：

由图2和式（6）、式（7）、式（8）可知，代价函数为：

根据式（9），可得二阶最佳权系数分别为：

将图2中的格型结构替代图1中的自适应滤波器，就可以得到一步预测滤波器。通过一步预测滤波器可以由过往的[x（k）]值预测[x（k）]的下一个值。这里设输入信号为正弦信号的16倍采用速率。由式（13）和式（16）可以计算最佳权值系数[k0opt]為-0.906，而[k1opt]为0.708。图3为上述情况的仿真结果，其中，图3（a）为迭代150次的收敛过程，图3（b）为迭代400次的收敛结果。图3中的闭合曲线为误差曲线，一般的误差代价函数为二次多项式，对应的误差曲线为椭圆，但二阶格型结构的误差代价函数不是二次多项式，所以对应的误差曲线并不是椭圆。图中的误差从中心向外依次对应的误差值为0.05、0.06、0.1、0.16、0.2、0.25和0.6。

由图3（a）可以看出，三个初始权向量分别从[-1.8，3.0]、[0，3]和[0.2，-1.5]起始位置出发，通过150次的迭代，三条收敛曲线都达到了误差值优于0.05的范围内。而由图3（b）可以看出，通过400次的迭代，三条收敛曲线都到达了最优点附近。这时的误差主要由输入信号中引入噪声所带来的。通过图3可以看出，只有经过一定步数的迭代，不管[k0]和[k1]的初始取值从哪里开始，最终都会收敛到最佳权值位置。当然，由于输入信号中引入的噪声，最终只能收敛到最佳权值附近，并在最佳权值附近徘徊，而徘徊的幅度由噪声的功率值决定。

由图3可以看出，使用LMS算法进行迭代，随着迭代步数的增加，权向量最终都会收敛到最优权向量位置。当然，由于输入信号的随机性，迭代后的权值会在最优权向量附近徘徊。

2.2 一步前向预测效果

图4为一步前向预测的结果，其中，输入信号为三种不同频率、不同幅度的信号依次输入时的预测效果。图4（a）是输入信号和预测后的输出信号;图4（b）为预测值与输入值之间的误差。通过图4可以看出，当输入信号由一个状态切换到另一个状态时，对应的误差较大，随着迭代过程的发展，误差越来越小。在每次输入信号状态切换后，大约经历50次迭代后，预测值与输入值两者就有较好的吻合。

3 结论

本文通过分析自回归结构和格型结构，导出自回归结构与格型结构的关系，同时导出格型结构下输出端对格型系数的梯度关系。为了清晰展现LMS算法的收敛过程，本文选择二阶格型结构进行迭代收敛过程的仿真，即给出了格型结构各级输出对应的代价函数，同时给出等误差曲线。格型结构的代价函数及误差曲线有别于递归及非递归结构，误差曲线并不是椭圆线（这里针对二阶结构）。基于上述分析，本文重点仿真了二阶格型结构的收敛过程。可以看到，通过一定的迭代步数，不管初始格型结构系数如何选择，最终都会收敛到最优权系数位置。由于输入信号包含有随机成分，所以最后只能收敛到最佳权值附近，并在最佳权值附近徘徊。本文最后通过单频率变换信号和双频率变换信号验证了格型结构下的LMS算法一步前向预测。可以看到，每当信号变换后，通过一定步数的迭代，预测的结果就能达到一定的准确度。

通过本文的分析，格型结构下LMS算法的收敛效果比较明显，只要迭代步数充足，最终都能收敛到较优的状态。通过LMS进行一步前向预测，也可以得到较为准确的预测结果。使用LMS算法的缺点主要在于需要的迭代步数较多，同样条件下需要的收敛时间较长。后续根据信号和系统的特殊性，改变迭代系数，获取更优的收敛速度。

参考文献

[1]威德罗.自适应逆控制[M].西安：西安交通大学出版社，2000.

[2]胡广书.数字信号处理-理论、算法与实现[M].北京：清华大学出版社，2012.

[3]沈福民.自适应信号处理[M].西安：西安电子科技大学出版社，2002.

收稿日期：2020-04-12

作者简介：吕小纳（1984—），女，硕士，助教，研究方向：信号处理、神经网络。

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