学生概率认知中的典型错误：潜在原因及教学对策
【摘 要】 学生的概率认知常常表现出各种错误，且这些错误常常十分顽固而难以消除。结合笔者以往的实证研究，以学生概率认知中4类常见的错误（概率不可预知、代表性启发、等可能性偏见、模糊的样本空间）为例，从知识基础、思维水平、直觉经验等视角对上述错误的潜在原因进行分析，并据此对教师的教学改进提出若干建议。
【关键词】 概率认知；等可能性偏见；样本空间；代表性启发
1 引言
2001年颁布的《义务教育数学课程标准（实验稿）》首次将概率内容纳入中小学数学课程[1]，2012年颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》则进一步降低了该部分内容的难度[2]。这样的调整是基本合理的：一线教学实践[3][4]和大量实证研究[5][6][7]都一再表明，学生对概率概念的理解存在诸多误区和局限。研究甚至表明[8][9][10]，不同年龄层人群对概率的认知均表现出不同程度的错误，且这些错误常常十分顽固而难以消除。
对教师而言，概率作为数学课程新近引入的内容领域，它一方面对教师的知识储备提出了挑战：他们在基础教育阶段一般没有学习过概率知识[11]，对概率的理解也常常出现各类错误[12]。另一方面，鉴于学生概率学习中的种种困难，它还要求教师在教学中关注他们是如何理解该部分内容的[13]。
那么，教师应该怎样认识学生概率认知中的错误？
长期以来，“错误”常常被认为是消极的：它是一种混淆（confusion）或离题（digression）的表现，因而应该被避免[14]。心理学研究扭转了人们对它的认识：错误应该被积极看待，因为它是儿童思考的一部分[15]。错误是一笔宝贵的教学资源，它直接反映了学生在概念理解过程中的局限，为教师了解学生概念学习的过程提供了诸多有价值的信息。国际学界对学生概率认知及其错误的研究已然取得了巨大进展。我国近年来的实证研究则进一步证实[5][16]：国际学界报道的概率认知错误在我国学生中也十分常见。但总体而言，以往的此类研究大都关注于错误的具体表现（“是什么”），其次是对错误的原因分析（“为什么”），而对于错误的教学干预（“怎么办”）则着墨较少。研究者近年来对我国中小学生的概率认知水平[17][18]、认知偏见[19]及认知策略[20]等展开了系列实证研究，本文结合上述系列研究的结果，以学生概率认知中4类常见的错误（概率不可预知、代表性启发、等可能性偏见、模糊的样本空间）为例，着力从知识基础、思维水平、直觉经验等视角探讨学生概率认知错误的潜在原因，并从教学层面提出若干建议以供一线教师参考。
2 “概率不可预知”
义务教育阶段涉及的概率内容主要是理论概率与实验概率。前者的一個例子是古典概率，后者的一个例子是频率概率。古典概率的基本特点是试验的样本空间有限（即，所有可能结果的个数是有限个）且每个结果出现的可能性相同，事件的概率可以通过事前的理论计算而得知，因而它具有先验性。频率概率是根据大量重复试验的结果而归纳得到的，其依据的原理是大数定律：在进行大量重复试验后，事件发生的频率将无限接近于其概率。以教材中常见的“摸球”模型为例，一个盒子里有2个黑球和1个白球（它们除颜色外均相同，下同）。如果我们问“从盒子里摸出1个球，摸出哪种球的概率大”，它属于古典概率问题；如果我们问“从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回。假设如此重复摸球1000次，请你估计摸出哪种颜色球的次数多”，它则属于频率概率问题。无论哪种情形，总有些学生会认为“这些没有发生的事情不好预测，只有摸了才知道”、“我们不可能预知未来”、“老天爷才知道”、“我们不是球，只有球知道”，等等[20][21][22]。在他们眼里，概率具有一种神秘色彩，它是不可被预测和量化的。
究其原因，他们对古典概率的理论先验性和频率概率的大数定律缺乏认识。尽管中小学教材对此没有明确提及，也不适合正式地以文字形式呈现，但这些思想的渗透似乎显得必不可少。从更一般的角度而言，古典概率的“先验推理”是一种演绎的推理方式，频率概率的“基于数据推理”是一种归纳的推理方式。这也在一定程度上反映了学生概率思维的缺失。
如何帮助学生摆脱这类错误认识？笔者认为：第一，对古典概率而言，加强学生对概率“可度量性”的认识。生活中有许多的度量单位和工具，例如一本书的大小可以用“长和宽”、“厚和薄”来衡量，室内的空气可以用“热与冷”、“干与湿”来衡量。概率则是衡量可能性大小（程度）的“单位”，不过与上述“长度”、“宽度”、“厚度”、“热度”、“湿度”等有所区别的是，它不是那么容易直接感知，它是看不见、摸不着的。尽管如此，它起码是可以被度量的。这也正是概率的魅力所在：身处信息纷繁的大数据时代，我们在处理生活中随机事件时可以有据可循，概率就是我们进行决策的有力工具。在教学中，教师应能帮助学生认识到，概率并非深不可测或充满神秘，我们可以从理论上去度量它并为我们所用。究竟最终摸出哪种情况的确不得而知，但至少我们可以事先预测哪种情况被摸出的可能性更大。“最终摸出哪种情况”和“哪种情况更容易被摸出”是两码事，前者“只有摸了才知道”，而后者是“在不摸的情况下进行预测”。概率知识就是帮助我们对随机事件结果进行合理预测的手段，而至于最终“真正摸出的那种情况”与“理论上更容易被摸出的情况”是否正好一致则无法肯定，因为随机事件中每个结果出现的概率都不是100%，小概率的结果也有可能发生。第二，对频率概率而言，加强学生的“数据意识”。在相同条件下的大量重复试验中，一次结果具有随机性但总体结果则具有稳定性和规律性，这里的稳定性和规律性是指各类结果的相对频率渐趋明朗，它们发生的概率可以被大概估计。显然，从“过往经验”估计“将来结果”的过程是基于数据的统计推理过程。只要试验次数足够多，我们对某个结果发生概率的估计就越准确。在教学中，教师应能帮助学生认识到概率和统计的内在联系，培养学生的数据意识，引导其在实际的统计活动中感受概率的相对大小，并发展其统计推理和归纳思维能力。
3 “代表性启发”
如前所述，在古典概率问题中概率是可以通过理论被计算出来的。例如，一个盒子里有2个黑球和2个白球，如果我们问“从盒子里摸出2个球，摸出‘1个黑球和1个白球与摸出‘2个白球两种情况哪种概率大”。很多学生能够断定摸出“1个黑球和1个白球”的概率大，但是他们给出的理由则完全不是依据“计算”得来的：他们倾向于认为这种“混合结果”更具有“代表性”或“一般性”，而“两个都是白球”这种情况太“极端”或“特殊”[23][24]。例如，有学生认为“1个黑球和1个白球这种黑白搭配比较容易出现，两个都是白的太难了”，“不可能那么巧两个都是白的，1个黑的1个白的比较正常”，等等。
究其原因，他们一方面对概率的“可度量性”认识不足，更不能找到可靠的办法（即，基于列举法求概率）将它计算出来。这里不再赘述。另一方面，这也反映了这部分学生习惯从“主观感知”或“直觉认识”的角度看待概率问题。更具体地说，这在一定程度上反映了他们认识事物时所表现出的“中庸思维”，在决策时常常倾向于“远离极端结果，亲近一般结果”。
如何帮助学生摆脱这类错误认识？笔者认为：第一，如前所述，加强学生对概率“可度量性”的认识，这里不再赘述。第二，正确看待学生概率认知中的直觉因素。概率内容具有情境性和直觉性[25]。学生在正式接触概率之前已然积累了大量与之有关的生活经验，因而他们对概率的理解不可避免地掺杂了直觉的因素[24]。直觉在儿童的概率认知中扮演着重要角色。但直觉有两面性，不良的直觉会有害无益。教师要引导学生：概率研究的虽然是“不确定性”，但是我们在概率推理或决策时实则有据可循，而不能把生活中的经验完全嫁接到概率问题中去。如果盒子里有10个白球和1个黑球，摸出“1个白球和1个黑球”的概率仍然比摸出“2个白球”的大嗎？这时候类似于“两种不同颜色搭配更加容易，而两个都是白的太难了”的解释是否显得苍白无力了呢？事件的概率不以我们的意愿而改变，我们要做的是根据具体情况进行分析，而不能过分地将自己的意识强加在这个过程中，所谓的“更具有代表性的结果”只不过是我们主观的意愿，它无法左右事件的概率，也无法有效解释概率。
4 “等可能性偏见”
Lecoutre发现[26]，当我们用外形均匀的物体进行随机试验时，人们常常不顾各类结果概率大小的差异，而一味地认为所有结果的概率相等。仍以上述“摸球”任务为例，一个盒子里有2个黑球和2个白球，如果我们问“从盒子里摸出2个球，摸出‘1个黑球和1个白球与摸出‘2个白球两种情况哪种概率大”。总有人会认为“两者的可能性一样大”，因为“所有结果的可能性大小相等”。李俊进一步发现[16]，学生的“等可能性偏见”实际上有两种基本类型：一类认为所有结果发生的机会都是“一半一半”的，它们的概率都是50%；一类则是根据他们能够想到的可能结果进行“计算”而来，假如某学生认为上述试验共有3种可能的结果——“2个都是白球，2个都是黑球，1个黑球和1个白球”，他则断定每个结果的概率都是1/3。学生的“等可能性偏见”是十分普遍和难以消除的。研究发现[19]，前一种“等可能性偏见”随年级增长有所消除，后一种“等可能性偏见”则随年级增长不降反升。
两类“等可能性偏见”的原因有同有异。相同之处在于：第一，它们都是对“等可能性”的曲解。例如，掷一枚质地均匀的骰子，所有可能结果为{1，2，3，4，5，6}，每个结果是“等可能”的；掷两枚质地均匀的骰子，所有可能结果为{（1，1），（1，2），…（1，6）；（2，1），（2，2），…（2，6）；（3，1），（3，2），…（3，6）；（4，1），（4，2），…（4，6）；（5，1），（5，2），…（5，6）；（6，1），（6，2），…（6，6）}，每个结果也是“等可能”的（它们是基本事件），但掷出“1和2”（它不是基本事件）与“两个1”的概率则是不相等的。再如上述摸球的例子，所有可能的结果为{白1白2，白1黑2，白2黑2，黑1黑2，黑1白1，黑1白2}，每个结果是“等可能”的，但是“1个黑球和1个白球”与“2个白球”的概率则是不相等的，因为前者包含了结果中的4种情况。第二，它们都是“等分思维”惹的祸。等分思维是一种确定性思维，学生在对概率认识不足的情况下，其潜意识里的等分思维往往在其概率计算中扮演着重要的反面角色。在以往的访谈中常常听到学生这样的观点：“既然这些结果都有可能发生，那么他们的可能性一样大”。显然，他们认为“都可能发生”就是“发生的机会一样大”，因为“具体是什么结果只有发生了才知道，如果事先要判断哪个结果更大，那只能用平等的眼光看待这些结果”。生活中这样的例子比比皆是。以NBA球员投篮为例，根据官方统计，勇士队控球后卫库里（Stephen Curry）的罚球命中率高达90%以上。在一次正常的罚球前，我们可以很有信心地认为“他进球的概率很大”：如果将库里该次罚球与之前的1000次罚球连起来看（尽管每次罚球的球场环境、球员心态有所差异，但球员的总体罚球水准基本稳定），根据他以往罚球的统计数据可以作出比较可靠的估计。而持有“等可能性偏见”的学生则会认为“球投出去后，要么进，要么不进。‘进与‘不进的概率各为50%”。最后，两类“等可能性偏见”的不同之处在于，前者完全没有找到计算概率的可靠办法，而后者则能够认识到从随机结果的样本空间着手。尽管他们在构造样本空间时没有穷尽所有可能的结果，但较前一类“等可能性偏见”而言，他们在思维上还是有所进步的。
如何帮助学生摆脱这类错误认识？笔者认为：第一，教师应在“随机性”与“概率”概念之间的过渡环节多下功夫。理解“随机性”是学习概率内容的前提，因为概率问题是建立在随机事件之上的。学习随机事件的重要环节是理解“可能”、“一定”、“不可能”等词语的涵义，“可能”意味着“有可能发生也有可能不发生”，但它无法说明“哪个更可能”。换言之，“可能”仅仅表示“结果的不确定性和多种可能性”，而尚不能据此判断“有多大可能”，而至于“有多大可能”是后续概率内容涉及的知识。而诸多研究表明，很多学生对这些词语的理解不到位，进而萌生了各类错误认知[16]。例如，有学生认为“很可能发生”就是“必然会发生”，“不太可能发生”就是“绝对不会发生，“可能发生”就是“50%会发生”。为此，建议教师引导学生正确理解上述词语的涵义，并将其与后续概率内容形成联系。第二，教师应引导学生将概率推理建立在可靠的依据之上。计算古典概率的可靠依据是“样本空间”，体现的思维是演绎推理；估计频率概率的可靠依据是“大数定律”，体现的思维是统计（归纳）推理。概率计算不仅依赖相应知识基础的发展，还依赖其数学思维的发展。教师应能在加强不同概率问题计算（估计）方法的基础上，有意识渗透其潜在的数学思想方法。第三，对于如何纠正学生在上述“NBA球员罚球”例子中的错误，史宁中教授给笔者提供了一个十分巧妙的方法：如果某学生执意认为“进”与“不进”的概率都是50%，那么教师可以反问他，“如果库里与你同时罚球，你相信两个人的命中率相等都是50%吗？”
5 “模糊的样本空间”
学生在复合事件概率问题上常常感到困难，原因在于他们缺乏组合推理[27][28]及列举样本空间的能力[20][29]。例如，盒子里有2个白球和2个黑球，从中摸出两个球，所有可能结果构成的样本空间为{白1白2，黑1黑2，白1黑1，白1黑2，白2黑1，白2黑2}。而有学生则常常将“白1黑1，白1黑2，白2黑1，白2黑2”这4种情况笼统地合并为一种（即，“1个黑球和1个白球”）或者两种（即，“1黑1白”和“1白1黑”）。而研究表明[20]，这样的混淆常常直接导致了他们在计算概率时出现错误。
究其原因，他们一方面被重复的样本混淆了，一方面在对球进行组合时没有找到可靠的策略[17]。
如何帮助学生摆脱这类错误认识？由于学生直到九年级上册（人教版教材）才正式接触“列举法求概率”[30]，因此对这方面能力的培养尚不能操之过急。尽管如此，对教学有如下建议。第一，通过直观的呈现方式帮助学生发展组合推理能力。事实上，学生在小学时就已经接触了简单的组合知识[31]。例如，用1、2、3三个数字能组成几个两位数；每两个人握1次手，3个人握手多少次；用一角、两角、五角买一本五角的拼音本，有几种买法？这说明，学生对于组合知识的学习有了一定的知识基础和生活经验。研究也证实[32]，低龄儿童在教师的指导下就能够解决简单的组合问题，因此在学习概率之前渗透组合推理能力的培养有其可行性与合理性。第二，在组合推理的基础之上，发展学生对样本空间概念的理解。如前所述，学生倾向于将表面相似的样本合并为同一个样本，这从侧面反映了学生對样本空间概念理解的缺失。诚然，这里的重复样本给学生造成了不小的干扰。教学可从相对简单的例子着手，例如“小明和小乐是男生，小梦和小贝是女生。现在需要从中选择两位同学为班级出黑板报，问共有几种可能的选择？”在此问题情境下，学生能够相对容易地列举所有6种可能的组合方式。老师不妨据此引导学生思考：在这6种可能的组合方式中，男男搭配有1种，女女搭配有1种，男女搭配有4种。而这与上述的摸球问题在组合推理层面是相似的，但是同学们被“表面相同”的搭配混淆了，实际上这些球的所有可能搭配也是6种。
6 结语
概率内容与传统数学有所差异，它研究的是“不确定性的数学”。概率内容与日常生活的关系千丝万缕，因而学生或多或少地都发展了一定的“经验性理解”。概率虽然具有直觉性，但它终究是有据可循的。学生关于概率认知的错误则大都肇始于不良的经验和直觉。对教师而言，除了了解学生概率认知中常见的错误以外，还应该对其潜在的原因进行合理分析，并据此帮助他们摆脱这些错误。
参考文献
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【关键词】 概率认知；等可能性偏见；样本空间；代表性启发
1 引言
2001年颁布的《义务教育数学课程标准（实验稿）》首次将概率内容纳入中小学数学课程[1]，2012年颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》则进一步降低了该部分内容的难度[2]。这样的调整是基本合理的：一线教学实践[3][4]和大量实证研究[5][6][7]都一再表明，学生对概率概念的理解存在诸多误区和局限。研究甚至表明[8][9][10]，不同年龄层人群对概率的认知均表现出不同程度的错误，且这些错误常常十分顽固而难以消除。
对教师而言，概率作为数学课程新近引入的内容领域，它一方面对教师的知识储备提出了挑战：他们在基础教育阶段一般没有学习过概率知识[11]，对概率的理解也常常出现各类错误[12]。另一方面，鉴于学生概率学习中的种种困难，它还要求教师在教学中关注他们是如何理解该部分内容的[13]。
那么，教师应该怎样认识学生概率认知中的错误？
长期以来，“错误”常常被认为是消极的：它是一种混淆（confusion）或离题（digression）的表现，因而应该被避免[14]。心理学研究扭转了人们对它的认识：错误应该被积极看待，因为它是儿童思考的一部分[15]。错误是一笔宝贵的教学资源，它直接反映了学生在概念理解过程中的局限，为教师了解学生概念学习的过程提供了诸多有价值的信息。国际学界对学生概率认知及其错误的研究已然取得了巨大进展。我国近年来的实证研究则进一步证实[5][16]：国际学界报道的概率认知错误在我国学生中也十分常见。但总体而言，以往的此类研究大都关注于错误的具体表现（“是什么”），其次是对错误的原因分析（“为什么”），而对于错误的教学干预（“怎么办”）则着墨较少。研究者近年来对我国中小学生的概率认知水平[17][18]、认知偏见[19]及认知策略[20]等展开了系列实证研究，本文结合上述系列研究的结果，以学生概率认知中4类常见的错误（概率不可预知、代表性启发、等可能性偏见、模糊的样本空间）为例，着力从知识基础、思维水平、直觉经验等视角探讨学生概率认知错误的潜在原因，并从教学层面提出若干建议以供一线教师参考。
2 “概率不可预知”
义务教育阶段涉及的概率内容主要是理论概率与实验概率。前者的一個例子是古典概率，后者的一个例子是频率概率。古典概率的基本特点是试验的样本空间有限（即，所有可能结果的个数是有限个）且每个结果出现的可能性相同，事件的概率可以通过事前的理论计算而得知，因而它具有先验性。频率概率是根据大量重复试验的结果而归纳得到的，其依据的原理是大数定律：在进行大量重复试验后，事件发生的频率将无限接近于其概率。以教材中常见的“摸球”模型为例，一个盒子里有2个黑球和1个白球（它们除颜色外均相同，下同）。如果我们问“从盒子里摸出1个球，摸出哪种球的概率大”，它属于古典概率问题；如果我们问“从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回。假设如此重复摸球1000次，请你估计摸出哪种颜色球的次数多”，它则属于频率概率问题。无论哪种情形，总有些学生会认为“这些没有发生的事情不好预测，只有摸了才知道”、“我们不可能预知未来”、“老天爷才知道”、“我们不是球，只有球知道”，等等[20][21][22]。在他们眼里，概率具有一种神秘色彩，它是不可被预测和量化的。
究其原因，他们对古典概率的理论先验性和频率概率的大数定律缺乏认识。尽管中小学教材对此没有明确提及，也不适合正式地以文字形式呈现，但这些思想的渗透似乎显得必不可少。从更一般的角度而言，古典概率的“先验推理”是一种演绎的推理方式，频率概率的“基于数据推理”是一种归纳的推理方式。这也在一定程度上反映了学生概率思维的缺失。
如何帮助学生摆脱这类错误认识？笔者认为：第一，对古典概率而言，加强学生对概率“可度量性”的认识。生活中有许多的度量单位和工具，例如一本书的大小可以用“长和宽”、“厚和薄”来衡量，室内的空气可以用“热与冷”、“干与湿”来衡量。概率则是衡量可能性大小（程度）的“单位”，不过与上述“长度”、“宽度”、“厚度”、“热度”、“湿度”等有所区别的是，它不是那么容易直接感知，它是看不见、摸不着的。尽管如此，它起码是可以被度量的。这也正是概率的魅力所在：身处信息纷繁的大数据时代，我们在处理生活中随机事件时可以有据可循，概率就是我们进行决策的有力工具。在教学中，教师应能帮助学生认识到，概率并非深不可测或充满神秘，我们可以从理论上去度量它并为我们所用。究竟最终摸出哪种情况的确不得而知，但至少我们可以事先预测哪种情况被摸出的可能性更大。“最终摸出哪种情况”和“哪种情况更容易被摸出”是两码事，前者“只有摸了才知道”，而后者是“在不摸的情况下进行预测”。概率知识就是帮助我们对随机事件结果进行合理预测的手段，而至于最终“真正摸出的那种情况”与“理论上更容易被摸出的情况”是否正好一致则无法肯定，因为随机事件中每个结果出现的概率都不是100%，小概率的结果也有可能发生。第二，对频率概率而言，加强学生的“数据意识”。在相同条件下的大量重复试验中，一次结果具有随机性但总体结果则具有稳定性和规律性，这里的稳定性和规律性是指各类结果的相对频率渐趋明朗，它们发生的概率可以被大概估计。显然，从“过往经验”估计“将来结果”的过程是基于数据的统计推理过程。只要试验次数足够多，我们对某个结果发生概率的估计就越准确。在教学中，教师应能帮助学生认识到概率和统计的内在联系，培养学生的数据意识，引导其在实际的统计活动中感受概率的相对大小，并发展其统计推理和归纳思维能力。
3 “代表性启发”
如前所述，在古典概率问题中概率是可以通过理论被计算出来的。例如，一个盒子里有2个黑球和2个白球，如果我们问“从盒子里摸出2个球，摸出‘1个黑球和1个白球与摸出‘2个白球两种情况哪种概率大”。很多学生能够断定摸出“1个黑球和1个白球”的概率大，但是他们给出的理由则完全不是依据“计算”得来的：他们倾向于认为这种“混合结果”更具有“代表性”或“一般性”，而“两个都是白球”这种情况太“极端”或“特殊”[23][24]。例如，有学生认为“1个黑球和1个白球这种黑白搭配比较容易出现，两个都是白的太难了”，“不可能那么巧两个都是白的，1个黑的1个白的比较正常”，等等。
究其原因，他们一方面对概率的“可度量性”认识不足，更不能找到可靠的办法（即，基于列举法求概率）将它计算出来。这里不再赘述。另一方面，这也反映了这部分学生习惯从“主观感知”或“直觉认识”的角度看待概率问题。更具体地说，这在一定程度上反映了他们认识事物时所表现出的“中庸思维”，在决策时常常倾向于“远离极端结果，亲近一般结果”。
如何帮助学生摆脱这类错误认识？笔者认为：第一，如前所述，加强学生对概率“可度量性”的认识，这里不再赘述。第二，正确看待学生概率认知中的直觉因素。概率内容具有情境性和直觉性[25]。学生在正式接触概率之前已然积累了大量与之有关的生活经验，因而他们对概率的理解不可避免地掺杂了直觉的因素[24]。直觉在儿童的概率认知中扮演着重要角色。但直觉有两面性，不良的直觉会有害无益。教师要引导学生：概率研究的虽然是“不确定性”，但是我们在概率推理或决策时实则有据可循，而不能把生活中的经验完全嫁接到概率问题中去。如果盒子里有10个白球和1个黑球，摸出“1个白球和1个黑球”的概率仍然比摸出“2个白球”的大嗎？这时候类似于“两种不同颜色搭配更加容易，而两个都是白的太难了”的解释是否显得苍白无力了呢？事件的概率不以我们的意愿而改变，我们要做的是根据具体情况进行分析，而不能过分地将自己的意识强加在这个过程中，所谓的“更具有代表性的结果”只不过是我们主观的意愿，它无法左右事件的概率，也无法有效解释概率。
4 “等可能性偏见”
Lecoutre发现[26]，当我们用外形均匀的物体进行随机试验时，人们常常不顾各类结果概率大小的差异，而一味地认为所有结果的概率相等。仍以上述“摸球”任务为例，一个盒子里有2个黑球和2个白球，如果我们问“从盒子里摸出2个球，摸出‘1个黑球和1个白球与摸出‘2个白球两种情况哪种概率大”。总有人会认为“两者的可能性一样大”，因为“所有结果的可能性大小相等”。李俊进一步发现[16]，学生的“等可能性偏见”实际上有两种基本类型：一类认为所有结果发生的机会都是“一半一半”的，它们的概率都是50%；一类则是根据他们能够想到的可能结果进行“计算”而来，假如某学生认为上述试验共有3种可能的结果——“2个都是白球，2个都是黑球，1个黑球和1个白球”，他则断定每个结果的概率都是1/3。学生的“等可能性偏见”是十分普遍和难以消除的。研究发现[19]，前一种“等可能性偏见”随年级增长有所消除，后一种“等可能性偏见”则随年级增长不降反升。
两类“等可能性偏见”的原因有同有异。相同之处在于：第一，它们都是对“等可能性”的曲解。例如，掷一枚质地均匀的骰子，所有可能结果为{1，2，3，4，5，6}，每个结果是“等可能”的；掷两枚质地均匀的骰子，所有可能结果为{（1，1），（1，2），…（1，6）；（2，1），（2，2），…（2，6）；（3，1），（3，2），…（3，6）；（4，1），（4，2），…（4，6）；（5，1），（5，2），…（5，6）；（6，1），（6，2），…（6，6）}，每个结果也是“等可能”的（它们是基本事件），但掷出“1和2”（它不是基本事件）与“两个1”的概率则是不相等的。再如上述摸球的例子，所有可能的结果为{白1白2，白1黑2，白2黑2，黑1黑2，黑1白1，黑1白2}，每个结果是“等可能”的，但是“1个黑球和1个白球”与“2个白球”的概率则是不相等的，因为前者包含了结果中的4种情况。第二，它们都是“等分思维”惹的祸。等分思维是一种确定性思维，学生在对概率认识不足的情况下，其潜意识里的等分思维往往在其概率计算中扮演着重要的反面角色。在以往的访谈中常常听到学生这样的观点：“既然这些结果都有可能发生，那么他们的可能性一样大”。显然，他们认为“都可能发生”就是“发生的机会一样大”，因为“具体是什么结果只有发生了才知道，如果事先要判断哪个结果更大，那只能用平等的眼光看待这些结果”。生活中这样的例子比比皆是。以NBA球员投篮为例，根据官方统计，勇士队控球后卫库里（Stephen Curry）的罚球命中率高达90%以上。在一次正常的罚球前，我们可以很有信心地认为“他进球的概率很大”：如果将库里该次罚球与之前的1000次罚球连起来看（尽管每次罚球的球场环境、球员心态有所差异，但球员的总体罚球水准基本稳定），根据他以往罚球的统计数据可以作出比较可靠的估计。而持有“等可能性偏见”的学生则会认为“球投出去后，要么进，要么不进。‘进与‘不进的概率各为50%”。最后，两类“等可能性偏见”的不同之处在于，前者完全没有找到计算概率的可靠办法，而后者则能够认识到从随机结果的样本空间着手。尽管他们在构造样本空间时没有穷尽所有可能的结果，但较前一类“等可能性偏见”而言，他们在思维上还是有所进步的。
如何帮助学生摆脱这类错误认识？笔者认为：第一，教师应在“随机性”与“概率”概念之间的过渡环节多下功夫。理解“随机性”是学习概率内容的前提，因为概率问题是建立在随机事件之上的。学习随机事件的重要环节是理解“可能”、“一定”、“不可能”等词语的涵义，“可能”意味着“有可能发生也有可能不发生”，但它无法说明“哪个更可能”。换言之，“可能”仅仅表示“结果的不确定性和多种可能性”，而尚不能据此判断“有多大可能”，而至于“有多大可能”是后续概率内容涉及的知识。而诸多研究表明，很多学生对这些词语的理解不到位，进而萌生了各类错误认知[16]。例如，有学生认为“很可能发生”就是“必然会发生”，“不太可能发生”就是“绝对不会发生，“可能发生”就是“50%会发生”。为此，建议教师引导学生正确理解上述词语的涵义，并将其与后续概率内容形成联系。第二，教师应引导学生将概率推理建立在可靠的依据之上。计算古典概率的可靠依据是“样本空间”，体现的思维是演绎推理；估计频率概率的可靠依据是“大数定律”，体现的思维是统计（归纳）推理。概率计算不仅依赖相应知识基础的发展，还依赖其数学思维的发展。教师应能在加强不同概率问题计算（估计）方法的基础上，有意识渗透其潜在的数学思想方法。第三，对于如何纠正学生在上述“NBA球员罚球”例子中的错误，史宁中教授给笔者提供了一个十分巧妙的方法：如果某学生执意认为“进”与“不进”的概率都是50%，那么教师可以反问他，“如果库里与你同时罚球，你相信两个人的命中率相等都是50%吗？”
5 “模糊的样本空间”
学生在复合事件概率问题上常常感到困难，原因在于他们缺乏组合推理[27][28]及列举样本空间的能力[20][29]。例如，盒子里有2个白球和2个黑球，从中摸出两个球，所有可能结果构成的样本空间为{白1白2，黑1黑2，白1黑1，白1黑2，白2黑1，白2黑2}。而有学生则常常将“白1黑1，白1黑2，白2黑1，白2黑2”这4种情况笼统地合并为一种（即，“1个黑球和1个白球”）或者两种（即，“1黑1白”和“1白1黑”）。而研究表明[20]，这样的混淆常常直接导致了他们在计算概率时出现错误。
究其原因，他们一方面被重复的样本混淆了，一方面在对球进行组合时没有找到可靠的策略[17]。
如何帮助学生摆脱这类错误认识？由于学生直到九年级上册（人教版教材）才正式接触“列举法求概率”[30]，因此对这方面能力的培养尚不能操之过急。尽管如此，对教学有如下建议。第一，通过直观的呈现方式帮助学生发展组合推理能力。事实上，学生在小学时就已经接触了简单的组合知识[31]。例如，用1、2、3三个数字能组成几个两位数；每两个人握1次手，3个人握手多少次；用一角、两角、五角买一本五角的拼音本，有几种买法？这说明，学生对于组合知识的学习有了一定的知识基础和生活经验。研究也证实[32]，低龄儿童在教师的指导下就能够解决简单的组合问题，因此在学习概率之前渗透组合推理能力的培养有其可行性与合理性。第二，在组合推理的基础之上，发展学生对样本空间概念的理解。如前所述，学生倾向于将表面相似的样本合并为同一个样本，这从侧面反映了学生對样本空间概念理解的缺失。诚然，这里的重复样本给学生造成了不小的干扰。教学可从相对简单的例子着手，例如“小明和小乐是男生，小梦和小贝是女生。现在需要从中选择两位同学为班级出黑板报，问共有几种可能的选择？”在此问题情境下，学生能够相对容易地列举所有6种可能的组合方式。老师不妨据此引导学生思考：在这6种可能的组合方式中，男男搭配有1种，女女搭配有1种，男女搭配有4种。而这与上述的摸球问题在组合推理层面是相似的，但是同学们被“表面相同”的搭配混淆了，实际上这些球的所有可能搭配也是6种。
6 结语
概率内容与传统数学有所差异，它研究的是“不确定性的数学”。概率内容与日常生活的关系千丝万缕，因而学生或多或少地都发展了一定的“经验性理解”。概率虽然具有直觉性，但它终究是有据可循的。学生关于概率认知的错误则大都肇始于不良的经验和直觉。对教师而言，除了了解学生概率认知中常见的错误以外，还应该对其潜在的原因进行合理分析，并据此帮助他们摆脱这些错误。
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