由一道“工程问题”教学引发的思考
涂爱玲++梁艳云?オ?
“工程问题”是非常典型的数学应用类问题.从小学到初中，从算式到方程，从整式方程到分式方程，每一学段的代数应用题都会涉及到“工程问题”，然而，随着问题情境的不断变更，条件的不断变换，使得问题类型不再明朗，数量关系不再清晰，甚至错综复杂，难以理清，从而导致学生对应用类问题的学习出现明显的两极分化，致使不少学生对应用题看题生畏.出现以上情况的原因，除了应用题本身的综合性强，对学生的理解能力、生活阅历要求很高之外，还跟学段知识的局限有关，同时也与老师就题论题的教学方式有密切关系.本文案例选自于湘教版八上《15可化为一元一次方程的分式方程》第二课时.这节课的教学，笔者不再采用以往的教学模式：根据问题列出分式方程，求解、检验、回答；而是打破分式方程的限制，引导学生从不同的角度寻找数量关系，建立不同类型的方程（或方程组）.下面以“工程问题”为例，谈谈应用题教学中的解题策略.1教学案例
21“一题多解”打破思维禁锢
波利亚指出：“掌握数学就是善于解题.”一题多解就是启发和引导学生从不同角度不同思路分析问题，从题目中尽可能的挖掘隐含条件，采用不同的方法不同的运算过程去解决问题，最终达到异曲同工的目的.在本案例中，笔者鼓励学生从不同角度思考，通过“一题多解”打破思维禁锢，突破解题瓶颈，形成开阔的解题路径.下面用方法导图展示解题路径.
方法导图：
22“一表多用”建立思维联系
应用题教学既是教师授课的难点，也是学生学习的难点.究其原因：（1）问题情境复杂；（2）数量关系隐蔽；（3）未知数选择灵活.这就需要学生首先要从复杂的问题情境中剔除无效的信息干扰，提炼有效的解题信息，这是一个去情景化实现数学抽象的过程.然后需要学生处理解题信息，将各量关系从文字语言向符号语言转换，实现隐性数量关系显性化的程序.在列方程的问题转换环节，学生往往可以借助线段图、表格等进行数量关系的分析.本案例采用表格将文字语言转换为图表语言，使得数量关系直观化、数量化，有效建立起多维度思考的桥梁.下面用列表导图展示解题思路.
列表导图：
2.3“多元歸一”揭示思维本质
“工程问题”的“一题多解”归根结底是对基本关系式：工作总量=工作时间×工作效率的变形使用，用其中的两个量表示第三个量；抓住其中的一个量建立方程，又可沿着：分开列方程和综合列方程展开；而综合列方程又可沿着：相等→和差→比例等角度展开，多种途径只因一个基本关系，可谓九九归一.“工程问题”的“解题策略”可归结为以下四步：第一步，明确问题类型；第二步，确定基本关系；第三步，写出关系列表；第四步，列出方程求解.整个流程形成了一个思维链.对于“工程问题”的解题策略和解题方法不仅仅局限于“工程问题”，与之关联的还有“行程问题”、“销售问题”、“利润问题”、“浓度问题”、“面积问题”等等，只要基本关系中涉及到三个量之间的积或商的关系均可.综上所述，由“工程问题”的解题研究引发的一系列思考，让我们不难发现应用题解题是一个系统工程，其中蕴含“一题多解”、“一法多用”、“多题归一”的数学思想，对培养学生的发射性思维和归纳演绎能力颇有益处.唯有认清问题的本质，才能突破解题的局限，长此以往方能去繁就简，优化解题方法.下面是对本案例研究的整体思维导图，让我们认清思维之间的联系.
案例研究思维导图：
作者简介涂爱玲（1976—），女，广西桂林人，中学高级教师，桂林市优秀教师，广西国培、区培优秀讲师.主要研究变式教学.撰写《中学数学变式教学问题设计与课例研究》，编写了两套变式教学教辅书，发表论文13篇，获奖论文30余篇.
“工程问题”是非常典型的数学应用类问题.从小学到初中，从算式到方程，从整式方程到分式方程，每一学段的代数应用题都会涉及到“工程问题”，然而，随着问题情境的不断变更，条件的不断变换，使得问题类型不再明朗，数量关系不再清晰，甚至错综复杂，难以理清，从而导致学生对应用类问题的学习出现明显的两极分化，致使不少学生对应用题看题生畏.出现以上情况的原因，除了应用题本身的综合性强，对学生的理解能力、生活阅历要求很高之外，还跟学段知识的局限有关，同时也与老师就题论题的教学方式有密切关系.本文案例选自于湘教版八上《15可化为一元一次方程的分式方程》第二课时.这节课的教学，笔者不再采用以往的教学模式：根据问题列出分式方程，求解、检验、回答；而是打破分式方程的限制，引导学生从不同的角度寻找数量关系，建立不同类型的方程（或方程组）.下面以“工程问题”为例，谈谈应用题教学中的解题策略.1教学案例
21“一题多解”打破思维禁锢
波利亚指出：“掌握数学就是善于解题.”一题多解就是启发和引导学生从不同角度不同思路分析问题，从题目中尽可能的挖掘隐含条件，采用不同的方法不同的运算过程去解决问题，最终达到异曲同工的目的.在本案例中，笔者鼓励学生从不同角度思考，通过“一题多解”打破思维禁锢，突破解题瓶颈，形成开阔的解题路径.下面用方法导图展示解题路径.
方法导图：
22“一表多用”建立思维联系
应用题教学既是教师授课的难点，也是学生学习的难点.究其原因：（1）问题情境复杂；（2）数量关系隐蔽；（3）未知数选择灵活.这就需要学生首先要从复杂的问题情境中剔除无效的信息干扰，提炼有效的解题信息，这是一个去情景化实现数学抽象的过程.然后需要学生处理解题信息，将各量关系从文字语言向符号语言转换，实现隐性数量关系显性化的程序.在列方程的问题转换环节，学生往往可以借助线段图、表格等进行数量关系的分析.本案例采用表格将文字语言转换为图表语言，使得数量关系直观化、数量化，有效建立起多维度思考的桥梁.下面用列表导图展示解题思路.
列表导图：
2.3“多元歸一”揭示思维本质
“工程问题”的“一题多解”归根结底是对基本关系式：工作总量=工作时间×工作效率的变形使用，用其中的两个量表示第三个量；抓住其中的一个量建立方程，又可沿着：分开列方程和综合列方程展开；而综合列方程又可沿着：相等→和差→比例等角度展开，多种途径只因一个基本关系，可谓九九归一.“工程问题”的“解题策略”可归结为以下四步：第一步，明确问题类型；第二步，确定基本关系；第三步，写出关系列表；第四步，列出方程求解.整个流程形成了一个思维链.对于“工程问题”的解题策略和解题方法不仅仅局限于“工程问题”，与之关联的还有“行程问题”、“销售问题”、“利润问题”、“浓度问题”、“面积问题”等等，只要基本关系中涉及到三个量之间的积或商的关系均可.综上所述，由“工程问题”的解题研究引发的一系列思考，让我们不难发现应用题解题是一个系统工程，其中蕴含“一题多解”、“一法多用”、“多题归一”的数学思想，对培养学生的发射性思维和归纳演绎能力颇有益处.唯有认清问题的本质，才能突破解题的局限，长此以往方能去繁就简，优化解题方法.下面是对本案例研究的整体思维导图，让我们认清思维之间的联系.
案例研究思维导图：
作者简介涂爱玲（1976—），女，广西桂林人，中学高级教师，桂林市优秀教师，广西国培、区培优秀讲师.主要研究变式教学.撰写《中学数学变式教学问题设计与课例研究》，编写了两套变式教学教辅书，发表论文13篇，获奖论文30余篇.
