用消元法解决多变量表达式的范围问题
沈瑜敏
[摘要]消元法是求解多变量表达式的范围问题的有效路径.结合几则例题，从三个方面探讨消元法的具体运用，以帮助学生解决复杂的数学问题.
[关键词]消元法;多变量;表达式;范围
[中图分类号]G633.6? [文献标识码]A? [文章编号]1674-6058（2020）02-0021-02
多变量表达式的范围问题，是一类形式复杂、解法灵活的问题，这类问题一般采用消元法来处理.当表达式含有多个变量，而且这些变量又是相互制约时，如何消元？消元主要有哪些方法与技巧？消元后表达式会发生哪些变化？消元时应注意哪些问题？
一、利用等量关系消元
有些题目，给出几个变量之间的等式，在此基础上求某个关于这几个变量的另一个表达式的取值范围.我们通常把这个已知等式看成条件等式，利用这个等量关系，写出变量的函数，进而代入待求关系式，达到减少变量的结果，最后将问题转化为单变量的函数的值域问题.
[例1]（1）已知a，x，y∈R，且满足，那么xy的取值范围是??? .
（2）已知a>0，b>0，c>0，且ab=1，a2+b2+c2=4，则ab+bc+ac的最大值为??? .
分析：（1）.
由及可得，
解得..
（2）因为ab=1，所以ab+bc+ac=1+c（a+b）.
由a2+b2+c2=4可得a2+b2=4-c2，于是，
这样.于是原多元表达式化成了一个关于c的函数.
再由4-c2=a2+b2≥2ab=2可得c2≤2，即这个函数的定义域为.
故.于是当c2=2时，.
点评：本例的（1）问中，因为xy可用x+y，x2+y2来表示，所以最终得到一个关于a的函数，再确定a的取值范围，原问题便迎刃而解.破解本例的（2）问的關键是选择c作为变量，发现（a+b）可用c来表示，从而使三元变成一元，得到函数，进而再转化为二次函数的最值问题.
二、利用换元法消元
当表达式中出现一个整体时，往往可以将这个整体看作一个新元，采用整体换元法;当条件等式是二次时，尤其是二次曲线时，可以采用三角换元法，采用二次曲线的参数方程，将原表达式转化为三角函数来处理.
[例2]如果实数x，y满足条件x2-y2=1，那么代数式的取值范围是??? .
思路1：因为x2-y2=1，所以，于是.
设，它的几何含义就是（x，y）与（0，0）连线的斜率.而点（x，y）在双曲线x2-y2=1上，所以这个斜率的绝对值必须满足小于渐近线的斜率的要求，即t∈（-1，1），则f（t）=-t2+2t+1=-（t-1）2+2∈（-2，2）.故答案为（-2，2）.
思路2：本题也可以考虑利用三角换元.设，原式转化为.由可知的范围为（-2，2）.故答案为（-2，2）.
点评：本例分别采用了两种换元法.但无论是哪种，必须要满足两点：一是有利于确定新元的取值范围;二是有利于化为常见的基本函数.本例最终都化为二次函数，有利于求出它的值域，即所求的多元表达式的取值范围.
三、利用放缩法消元
对于有些多元表达式的最值问题，已知条件中给出的不是条件等式，而是条件不等式，此时往往需用到放缩法与不等式的传递性技巧来消元.要求解题者仔细分析题目特征以及各个未知元之间的关系，通过合理放缩，将不等关系传递下去.但需保证等号依然可以取到，这一点是处理这类问题的难点所在，也是学生的易错点所在.
[例3]（1）设实数a，b，c满足a2+b2≤c≤1，则a+b+c的最大值为??? .
（2）若当x∈R时一元二次不等式ax2+bx+c≥0恒成立，且题目中的系数a，b满足a 解析：（1）由a+b+c想到（a+b）与a2+b2的内在联系，即，故.接着可利用a2+b2≤c这个关系进一步放缩消元，于是得.再应用条件c≤1即可求得最大值，所以a+b+c的最大值为.其中等号成立条件为.故答案为. （2）由不等式恒成立可得△=b2-4ac≤0，且a>0，于是想到消去c， 即由△≤0得到，所以， 再将分式的分子与分母同时除以，得. 设，根据a 因为，从而.故答案为3. 点评：本例（1）问也可从a2+b2入手，进行三角换元，根据a1+b2≤c可得到，再由不等号的方向情况进行连续放缩，从而消去θ，r，c就可得到最值.而本例（2）问的关键在于消去c，保留a，b，使得最终得到的是一个关于a，b的轮换式，为进一步利用换元法消元创造有利条件. 以上三种消元的方法虽然形式不同，但消元的原则是一致的，即消元后化为一元表达式，然后再求它的取值范围.或利用常见函数，利用求函数值域的方法求出它的范围;或利用基本不等式，先构造出具备使用基本不等式的条件，再利用基本不等式快速得到最值;或利用三角函数，最终转化为三角函数的值域问题.
