高中数学立体几何的类型和结构特征分析

    杨描宇

    摘要：高中数学教学中，立体几何是数学教学任务中的一个重要板块，其主要考察的是学生对三维空间的运用能力，经常通过三维直角坐标系来寻求几何的相关特征，也是解决很多几何问题都需要运用的一种解题手法。本文主要针对高中数学教学中涉及的立体几何进行分类，并且根据每一类立体几何的具体结构特征进行探索和分析。

    关键词：高中数学；立体几何；类型；结构特征

    1.立体几何的类型

    立体几何的类型多种多样，有的能找出规律，有的却毫无规律可循，但都是三维空间的一种空间几何体。自然界中的空间几何体虽然多种多样，但其主要表现的类型主要有两种：

    一种是多面体。它是由很多个平面多边形围绕而成的一个几何体，而围成这个多面体的各个多边形叫做这个多面体的面，两个相邻面都会有一条同样的边，这就是构成多面体的棱，当棱和棱之间有一个共同的点时，这个点就是多面体的顶点。

    另一种类型叫螺旋体。将一个平面图形围绕它所在的平面内的一条定直线进行旋转，从而形成的一个封闭几何体称为螺旋体，而这条直线则为这个螺旋体的轴。

    2.高中数学中几种主要的立体几何的结构特征

    2.1棱柱、圆柱的结构特征

    棱柱的特点是有两个面互相平行，而其他的每个面都是四边形，同时每个相邻的两个四边形的公共边都是互相平行的，这些面围城的几何体就是棱柱。而棱柱又可以分为斜棱柱、直棱柱、正棱柱或者是其他棱柱，其中斜棱柱指的是棱与底面不垂直；直棱柱指的是棱垂直于底面；而正棱柱指的棱柱的底面是正多边形。棱柱主要的性质为：（1）侧棱均相等，侧面都是平行四边形；（2）当底面的截面和两个底面平行时，说明它们是全等的多边形；（3）当一个面经过不相邻的两条侧棱时，此时的截面是平行四边形；（4）直棱柱的侧棱长和高相等，侧面的对角面是矩形。

    将矩形的一边为定边，其对边进行旋转和定边重合，通过这种方式所形成的几何体就是圆柱。圆柱的主要性质有：（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；（2）过轴的截面是全等的矩形。其中，将圆柱的侧面进行展开后就是原先的那个矩形。

    2.2棱锥、圆锥的结构特征

    由多个三角形共一个顶点围城一个几何体，并且这个几何体的底边是一个多边形，那么我们称这个几何体为棱锥。假如这个底边同时又是正多边形，并且顶点在底面的投影恰好在底面的中心，那么这种情况下称这个几何体为正棱锥。正棱锥的结构特征有：（1）假如正棱锥的一个截面与底面平行，那么这个截面和底面是相似的，其相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；（2）正棱锥的所有侧棱长度都一样，并且构成所有的侧面三角形均全等；（3）正棱锥中的六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面上的投影、斜高在底面上的投影、底面边长的一半，构成四个直角三角形。正棱锥的侧面展开图是由等腰直角三角形组成的。

    我们将直角三角形放在水平面上，保持一边与水平面垂直，以这个边为旋转轴旋转一周，所形成的几何体就是圆锥。圆锥的结构特征为：（1）由于圆锥的底面是圆，所以假如一个截面平行于底面，那么这个截面也是圆，其截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；（2）轴截面是等腰三角形；（3）母线其实与底面半径和高共同构成一个直角三角形。其中，将其侧面展开显示的是一个扇形图形。

    2.3棱台、圆台的结构特征

    当棱锥被一个截面切成两部分，而这个截面与底面平行时，除了顶点那一部分剩下的部分就是棱台。棱台的结构特征为：（1）棱台的所有侧棱长度都一样，并且侧面都是全等的等腰梯形；（2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；（3）由正棱台的对角所构成的面也是等腰梯形。

    同样，当圆锥被一个截面切成两部分，而这个而这个截面与底面平行时，除了顶点那一部分剩下的部分就是圆台。圆台的结构特征为：（1）圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；（2）圆台的截面是等腰梯形。

    2.4球的结构特征

    将一个半圆以直径为轴旋转一周，所形成的一个旋转体就是球。球的结构特征为：（1）球心与截面圆心的连线垂直于截面；（2）截面半径、球半径、截面和球心的距离构成一个直角三角形。

    結语：由上可知，立体几何所涵盖的内容是非常广泛的，其考察的方向也是方方面面。在数学高考中，立体几何成为一个重要的考点，它可以考察几何中的平行关系或者垂直关系，而平行关系中又可以考察线线平行、线面平行或面面平行；垂直关系中可以考察线线垂直、线面垂直、面面垂直等。需要确定它们的结构特征，对它们之间的性质进行判定，最后进行结果的推论。立体几个是由平面几何知识往立体几何知识上的一个升华，其涵盖的内容比平面几何知识复杂的多，需要有良好的空间思维能力和耐心去进行探索。在高中数学立体几何教育中，要让同学们打牢基础知识的根基，从而才能往更深层次进行研究，对今后的各类考试中的立体几何问题才能做到轻而易举的解决。

    参考文献

    [1] 蒲春荣.几何推理、说理启蒙教学初探[J].现代阅读（教育版），2012 （14）

    [2] 吴丽娟，施仁智.对新课标下高中立体几何教学的认识[J].教育实践与研究（中学版），2008（09）

    [3] 黄幼学.对高中数学课程目标的再理解[J].甘肃科技纵横，2007（02）