三角恒等变换要有目标意识

    包旭苗

    

    

    [摘???要]在求解三角函数问题中，有要目标意识，要紧扣解题目标进行有目的的变形，如降幂转化、常数代换、合理变角、巧添分母等.

    [关键词]三角函数;恒等变换;目标意識

    [中图分类号]????G633.6????????[文献标识码]????A????????[文章编号]????1674-6058（2019）35-0034-02

    美国著名数学教育家波利亚在《怎样解题》一书写道：“看着终点，记住你的目的，勿忘你的目标，想着你希望得到的东西.”这句话告诉我们，在解题时，要有目标意识，要紧扣解题目标进行有目的的变形.对于三角恒等变换来说，树立目标意识尤为重要.那么，在求解三角函数问题时，要有哪些目标呢？

    一、降幂转化

    当题目中出现三角函数的次数比较高时，可利用同角三角函数的平方关系或者倍角公式，实现降幂的转化.

    [例1]已知[cosπ4+θcosπ4-θ=14]，则[sin4θ+cos4θ]的值为???????????.

    解析：因为[cosπ4+θcosπ4-θ=]

    [22cosθ-22sinθ）]?[22cosθ+22sinθ]

    =[12]?[（cos2θ-sin2θ）]=[12]cos2θ=[14]，?所以cos2θ=[12].

    故[sin4θ+cos4θ=1-cos2θ22]+?[1+cos2θ22][=116+916=58]?.

    点评：降幂是解题的关键环节.对于二次或高次的三角函数的化简或求值问题，解题时一般需恰当应用“[sin2α+cos2α=1]”“[2sinαcosα=sin2α]”“[sin2α=1-cos2α2]”“[cos2α=1+cos2α2]”等公式对已知表达式进行化简.

    二、常数代换

    某个常数，可看作某个特殊角的三角函数值或某个三角恒等式，这种常数代换，往往会取得出奇制胜的解题效果.

    [例2]计算：[1-tan15°3+tan60°tan15°]?=?????????????.

    解析：（1）原式[=tan45°-tan15°3（1+tan45°？tan15°）=]

    [13]?tan（45°-15°）=?[13].?故答案为[13].

    点评：把某些数值“还原”成特殊角的三角函数，如[3=tanπ3=]?[sinπ3cosπ3]、[1=tanπ4=]?[sinπ2=][2cosπ4]等，能搭建三角恒等变换的沟通桥梁.

    三、合理变角

    在三角恒等变换中，首先应该想到角的变化.角的变化，有单角与复角之间的转化，特殊角与非特殊角之间的转化，所求角与已知角之间的转化，等等.

    [例3]已知[tanα+π5=2]，[tanβ-4π5=-3]，则tan（[α-β]）=（????????）.

    A.?1??????????B.?-?[57]????????????C.??[57]?????? D.?-1

    解析：∵[tanβ-4π5=-3]，∴[tanβ+π5=-3].

    ∵[tanα+π5=2]，∴tan（[α-β]）=?[tanα+π5-β+π5]?[=tanα+π5-tanβ+π51+tanα+π5？tanβ+π5=]?[2-（-3）1+2×（-3）=-1]?.

    故选D.

    点评：解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;②当“已知角”有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差或倍角的关系.主要有以下几种情形：α=（α+β）-β;α=β-（β-α）;[α=12][（α+β）+（α-β）];[β=12][（α+β）-（α-β）];[π4+]?[α=π2]?[-?π4-α];等等.

    四、巧添分母

    改变三角函数式的结构，有时可以通过合理添上分母实现，从原问题的实际出发，添加分母，有利于三角公式或已知条件的利用.

    [例4]cos?[π9]·cos?[2π9]·cos?[-23π9]?=?????????????.

    解析：cos?[π9]·cos?[2π9]·cos?[-23π9]

    =?cos?20°·cos?40°·cos100°

    =?-?cos?20°·cos?40°·cos?80°

    [=-sin20°？cos20°？cos40°？cos80°sin20°]

    [=-12sin40°？cos40°？cos80°sin20°]

    [=-14sin80°？cos80°sin20°]

    [=-18sin160°sin20°]?[=-]?[18sin20°sin20°]?[=-18]?.

    點评：在三角恒等变换中，有时候要添上一个恰当的分母，从而利用已知条件求值或通过凑项变角，然后逆用二倍角公式，使问题发生“连锁反应”，从而快速得到问题的答案.

    五、合理换元

    三角与代数之间有着天然的联系，换元可以沟通它们之间的关系.合理换元，可将三角函数问题转化为代数问题来处理.

    [例5]函数y?=?sinx?-?cosx+sinxcosx的值域为??????????????????????????.

    解析：设t?=?sinx?-?cosx?[=2sinx-π4]，则

    [t2]?=?sin2x?+?cos2x?-?2sinx·cosx，sinxcosx?[=1-t22]，且[-2≤t≤]?[2].

    ∴y?=?-?[t22]?+?t?+?[12]?=?-?[12]?[（t-1）2]?+1，t?∈?[-[2]，[2]].

    当t?=?1时，?ymax=?1;当t?=?[-2]时，ymin=-?[12]?-?[2].

    ∴函数的值域为[-12-2，1]?.

    点评：本例换元后将原问题转化成二次函数值域问题，但必须注意换元后新元的取值范围，而新元的取值范围依然离不开三角恒等变换.

    除了上述方法外，还可实现切弦互化，鉴于篇幅问题不再阐述.从以上例题分析可看出，要实现三角恒等变换的目标，应在“变角”“变名”“变结构”上“做文章”，从而达到巧妙应用三角函数变换公式顺利解题的目的.

    [??参???考???文???献??]

    [1]??张小凯，张宗余.三角恒等变换[J].中学数学教学参考，2019（Z1）：89-94.

    [2]??刘馨怡，周龙虎.再看“三角恒等变换”[J].中学数学，2018（1）：16-17.

    （特约编辑????安???平）