集合中的“关系学”
吴保颖
[摘???要]集合中的关系复杂，厘清集合中的“关系”，可以帮助学生突破集合难点.
[关键词]高中数学;集合;关系
[中图分类号]????G633.6????????[文献标识码]????A????????[文章编号]????1674-6058（2019）35-0031-02
集合历来被认为是高中数学“大厦”的基石，没有集合，就无法定义函数的三要素，更无法用集合的观点处理其他数学问题.因此，学好集合是学好高中数学的第一步.学生如何学习集合呢？初学集合，掌握集合中的“主要矛盾”最重要，而这个主要矛盾，就是集合中的“关系学”.那么，集合中的“关系学”主要体现在哪些方面呢？
一、元素与集合间的关系
集合是由元素组成的，当集合中含有有限个元素时，该集合被称为有限集;当集合中含有无限个元素时，该集合被称为无限集;当集合不含任何元素时，该集合被称为空集，用符号[？]表示.由此可见，元素是集合家族的成员，对于集合来说，元素具有确定性.
[例1]（1）设集合A有且仅有一个元素a，则以下各式中正确的有（）.
A.?[0∈A]B.?[a？A]C.?[a∈A]D.?[a=A]
（2）以下四种表示，其中正确的个数是（）.
①?[π∈R];②?[3？Q];③?[0∈N？];④?[-4？N？]
A.?4B.?3C.?2D.?1
解析：（1）因为[a]是集合[A]的元素，所以[a∈A].?故本题选C.
（2）?①因为圆周率是实数，所以[π∈R]正确;②因为[3]不是有理数，所以[3？Q]正确;③因为集合[N？]中不含0，所以[0？N*]，所以[0∈N？]错误;④因为[-4=4∈N？]，所以[-4？N*]，故①②正确，共2个，本题选B.
评注：（1）一旦集合确定，那么它的元素也就确定了.因此，元素[a]与集合[A]的关系有两种：[a∈A]或[a？A].
（2）集合中的元素都具有某种特征，这是判断某元素是否属于该集合的依据.
二、同一个集合中元素与元素之间的关系
当一个集合含有多个元素的时候，这些元素在集合中的分布是无序的，同时也是互异的，也就是说，在同一个集合中是不存在两个相同的元素的.
[例2]设[A=-4，2a-1，a2，B=9，a-5，1-a]，已知[A？B=9]，求实数[a]的值.
解析：[∵A？B=9?，∴9∈A]，若[∵A？B=9?]，[∴9∈A]，则[a=5]，此时[A=-4，9，25?，B=9，0，-4]，[A？B=9，-4]，与已知矛盾，舍去;
若[a=9]，则[a=±3]，当[a=3]时，[A=-4，5，9]，[B=-2，-2，9]?.
B中有2个元素均为[-2]，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去.当[a=-3]时，[A=-4，-7，9]，[B=9，-8，4]，符合题意.综上所述，[a=-3].
評注：在求出了“[a=5]或[a=±3]”后，是否大功告成？实际情况却并非如此，这只是保证[9∈A]，当然有[9∈A？B]，但是否[A？B=9]，以及集合B中的元素是否满足互异性，还有待进一步考查验证.
三、集合间的相等关系
当[A？B]且[B？A]时，[A=B]，也就是说这两个集合中的元素对应相等.
[例3]（1）设集合[A=x2，x，xy]，[B=1，x，y]，若集合[A=B]，求实数x、y的值.
（2）设集合[A=aa=3n+2??，??n∈Z]，[B=bb=3k-1]，[k∈Z]，试判断集合A与B是否相同.
解析：（1）由[A=B]，得[x2=1，xy=y，]?或[x2=y，xy=1，]
解得[x=1，y∈R，]或[x=-1，y=0，]?或[x=1，y=1.]
经检验当取[x=1，y∈R]与[x=1，y=1]时不满足集合中元素的互异性，所以[x=-1]，[y=0].
（2）[A=B]，证明如下.
先证明[A？B].设任一元素[a∈]?A?，则[a=3n+2=3（n+1）-1]?（n?∈?Z），由于[n∈Z]，则[n+1∈Z]，所以有[a∈]?B，故[A？B].
再证明[B？A].又设一元素[b∈B]?，则[b=3k-1=3（k-1）+2]（k?∈?Z）.因为[k∈Z]，则[k-1∈Z].所以[b∈A]?，故[B？A]?.由此可知[A=B]?.
评注：（1）求解含参两个集合相等问题，只需两个集合相等的定义列出方程组.但由于集合中的元素具有无序性，故一定要注意所列方程组是否完整.此外还要对结果进行检验，以确保集合中的元素满足互异性.（2）要证明[A=B]，应同时论证[A？B]与[B？A]都成立.
四、集合间的包含关系
当集合A中的元素都在集合B中时，集合A是集合B的子集，称集合B包含集合A?.
[例4]已知集[A=x1
解析：?（1）当[a=0]时，[A=？]，满足[A？B].
（2）当[a>0]时，[A=x1a 又∵[B=x-1 （3）当[a<0]时，[A=x2a 评注：（1）“[A？B]”，就是说集合[A]中的每一个元素都在集合[B]中，即[？x∈A？x∈B]?;（2）我们不可将“[A？B]”当成集合[A]的元素来源于集合[B]中的一些元素，因为当[A=？]时，[A？B]，但A中不含任何元素;又当[A=B]时，也有[A？B]，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有[A？B]. 五、空集与非空集合之间的关系 当一个集合中没有任何元素时，我们称之为空集[？].任何元素都不可能是空集的元素，用符号表示即为[？a？？].空集是所有集合的子集，记作[？？A]（[A]为任意集合）.同时，空集也是所有非空集合的真子集.另外，空集与所有集合的交集是空集，即[A？？=？]，空集与任何集合的并集还是这个集合，即[A？？=A]. [例5]已知[A=x-2≤x≤5]，[B=xa+1≤x≤2a-1]，[B？A]，求实数a的取值范围. 解析：[∵B？A]，又[？？A]，[∴]需对[B=？]与[B≠？]两种情况分别讨论确定a的取值范围. （1）当[B=？]时，则有[a+1>2a-1]，即[a<2]. （2）当[B≠？]时，则有[2a-1≥a+1，a+1≥-2，2a-1≤5，]解得[2≤a≤3].由（1）（2）可知[a≤3]. 评注：从集合角度看，这里[a≤3]包含两个意义：一是[B=？]，二是[B≠？].空集，常常叫人防不胜防，可谓是个隐形陷阱，解题时必须要有防范意识. 六、全集与补集的关系 一个集合与它的补集的并集，就是全集.利用补集思想和全集与补集的关系，有时可以简化计算. [例6]对于抛物线1：[y=x2+4ax-4a+3]，抛物线2：[y=x2+（a-1）x+a2]，抛物线3：[y=x2+2ax-2a]，若它們中至少有一条抛物线与[x]轴存在公共点，那么实数[a]的取值范围是_______. 解析：本题若从正面分析，则采用分类讨论思想，情况繁杂，叫人应接不暇.而从反面考虑，则只需关注三个抛物线与x轴均无交点，即对应的三个一元二次方程均无解， 于是有[Δ1=（4a）2-4（-4a+3）<0，Δ2=（a-1）2-4a2<0，Δ3=（2a）2+8a<0.] 不难解得[-32 利用补集思想，便可得实数a的取值范围： [-∞，-32？-1，+∞]. （责任编辑 黄桂坚）
