反比例函数解析式求解方法

2024.07.30

奚学

[摘???要]分析反比例函数解析式求解的基本方法，以帮助学生有效解决反比例函数解析式问题.

[关键词]反比例;函数;解析式

[中图分类号]????G633.6????????[文献标识码]????A????????[文章编号]????1674-6058（2019）35-0022-02

反比例函数作为基本初等函数之一，在各类考试中频繁出现.那么求解有关反比例函数解析式的基本方法有哪些？本文加以总结，供大家参考.

一、利用反比例函数的定义

数学中的很多问题往往都是由定义引发的，因此求解反比例函数解析式，首选定义法.

[例1]若[y=（m+3）xm2-10]是反比例函数，求其函数解析式.

解析：由反比例函数的定义可知[m2-10=-1，m+3≠0，]解得m=3，所以此反比例函数的解析式为?y?=?[6x]?.

点评：形如[y=kx（k≠0）]形式的函数叫反比例函数，其中隐含着两个条件：自变量的指数为[-1]，比例系数[k]不为零.

二、利用反比例函数的性质

反比例函数在第一象限的增减性，决定了比例系数的正负.

[例2]已知函数[y=（n+3）xn2+2n-9]是反比例函数，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，求其函数解析式.

解析：由题意，得[n2+2n-9=-1，n+3>0，]?解得n=2.

∴此函数的解析式是[y=5x]??.

点评：解答本题容易忽视比例系数到底取正还是取负，从而出现两解的错解.因此，解题时应看清题目意思.

三、利用反比例函数的图像

利用反比例函数图像上的点坐标，也可求出反比例函数的解析式.

[例3]如图1，在△ABC中，AC?=?BC，AB⊥x轴，垂足为A，反比例函数[y=kx（x>0）]的图像经过点C，交AB于点D.已知[AB=4，BC=52]?.

（1）若OA?=?4，求k的值;

（2）连接OC，若BD?=?BC，求OC的长.

解析：（1）如图2，作[CE⊥AB]，垂足为E.

因为AC?=?BC，AB?=?4，所以AE?=?BE?=?2.

在Rt△BCE中，[BC=52]，BE?=?2，所以[CE=522-22=32]?.

因為OA?=?4，故C点的坐标为[52?，2?].?因为点C在[y=kx]?的图像上，?所以[k=52×2=5].

（2）如图2，作[CF⊥x]轴，垂足为F，设A点的坐标为（m，0），因为[BD=BC=52]?，AB?=?4，所以[AD=32]，所以D，C两点的坐标分别为[m，32?，m-32?，2]?.

因为点C，D都在[y=kx]的图像上，所以[32m=2m-32]?[？m=6?].

因为C点的坐标为[92?，2]，所以[OF=92]?，CF?=?2.

在Rt△OFC中，[OC2=OF2+CF2]，故[OC=972]?.

点评：这类问题的关键是求出相关点的坐标，往往需转化为几何问题解决，本题中利用了勾股定理.

四、利用待定系数法

待定系数法，是求函数解析式最常见的方法之一.对于反比例函数来说，待定的系数只有一个比例系数[k]，一般来说只需一个条件，就可算出[k]的值.

[例4]如图3，在平面直角坐标系中，一次函数y?=?kx+b的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数[y=mx]的图像交于C、D两点，[DE⊥x]轴于点E.已知C点的坐标是（6，-1），D（n，3）.

（1）求反比例函数与一次函数的解析式;

（2）根据图像直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？

解析：（1）把C（6，-1）代入[y=mx]，得m?=?6?×?（-1）=???-6，则反比例函数的解析式为[y=-6x]，?把y?=?3代入[y=-6x]，得x?=?-2?.∴D点坐标为（-2，3）.

将C（6，-1），D（-2，3）代入[y=kx+b]，得[6k+b=-1????，-2k+b=3?????，]?[？k=12?，b=2?，]则一次函数的解析式为[y=-12x+2].

（2）根据函数图像可知，当[x<-2]或[0

点评：本题是反比例函数与一次函数的综合题.利用待定系数法求解析式，既体现了方程思想，也体现了数形结合思想.此类问题的方程往往从已知的图形中得到.

五、利用图形的面积求解析式

反比例函数上的任一点的横坐标与纵坐标之积是一个常数，即为比例系数.这类问题往往设置在矩形或三角形的面积之中.

[例5]如图4，反比例函数[y=kx（k≠0）]的图像上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，△ABO的面积是1，则反比例函数的解析式是（）？.？？？？？？

[A.?？y=12x]？？？？？？？？？？？??？？？[B.？?y=1x]？

[C.？?y=2x]？？？？？???????????？?[D.?？y=14x]

解析：∵点A在反比例函数[y=kx（k≠0）]的图像上，

∴设点A的坐标为[x，kx]?，∴AB=?x，[OB=kx?].

∵△ABO的面积是1，所以[12AB？OB=1]，

即[12？x？kx=1？k=2]?.∴反比例函数的解析式是[y=2x]?.故选C?.

六、利用实际问题中的数量关系

[例6]李刚想用铁棍撬起一块大石头，当阻力和阻力臂一定时，它们分别为[1200?N]和[0.5?m].

（1）试求动力[F]与动力臂[l]之间的关系式[y=F（l）];试问当[l=1.5?m]时，用多大力才能把大石头撬起来？

（2）如果李刚想少用力，只想用（1）中的一半力，那么如何改變动力臂？

解析：（1）根据物理中的?杠杆原理，知[F·l=1200×0.5]，于是[F=600l]?.当[l=1.5?m]时，[F=6001.5=400]，所以要想撬起这块大石头，李刚至少要用[400?N]的力.

（2）如果李刚想少用力，只想用（1）中的一半力，也就是用[200??N]的力，则有[F？l=600]，[l=600F].当[F=400×12=200]时，[l=600200=3]，[3-1.5=1.5（m）]?.

所以，李刚想省去一半的力，那么动力臂至少要延长[1.5?m].

点评：物理公式其实就是一个函数关系，它可以演变成正比例函数和反比例函数.这类跨学科的问题更能体现数学核心素养，备受命题者青睐，应引起大家的注意.

（责任编辑黄桂坚）