三角形中长度计算的几个视角

    杜晓娟

    

    

    [摘? ?要]三角形中边长和角度的计算是高考数学的常见题型.文章立足高考题研究三角形中长度计算的方法，以提高学生的解题能力.

    [关键词]三角形;长度;计算

    [中图分类号]? ? G633.6? ? ? ? [文献标识码]? ? A? ? ? ? [文章编号]? ? 1674-6058（2019）35-0010-02

    三角形是数学的最基本的几何图形，解三角形是高中数学的基本内容，也是高考数学的必考点之一.三角形中边长和角度的计算是最常见的题型.

    例如，2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷Ⅲ）第17题的第一问：[△ABC]的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知[sinA+3cosA=0]，[a=27]，[b=2]，求[c].

    一、解三角形视角

    方法一：由[sinA+3cosA=0]得[tanA=-3]，[A=2π3];再由[cosA=b2+c2-a22bc]得[-12=4+c2-284c]，化成[c2+2c-24=0]，解得[c=4]或[c=-6]（舍）.

    评注：在三角形中已知两条边和一个角度的条件下，应用余弦定理建立了边c的方程，通过解方程得到了边c的值.角度C的寻求还可以用[sinA+3cosA=2sinA+π3=0]或[sinA+3cosA=2cosA-π6=0]求得.这是当年评分标准中给出的方法.

    方法二：由方法一知[A=2π3]，由[asinA=bsinB]得

    [sinB=basinA=227×32=2114] .

    ∵角B是锐角，∴[cosB=5714].

    [sinC=sin（A+B）=32×5714+-12×2114=217? ?].

    化[asinA=csinC]得[c=asinCsinA=27×21732=4].

    评注：应用两角和的三角公式和正弦定理求出三角形的角度，体现了角度运算公式在求角度过程中的工具性.

    方法三：如图2所示，过A作AF⊥BC于F，[AF=ACsinC=2217]，在Rt△AFB中，[AB=AFsinB=22172114=4].

    ∴[c=4].

    评注：这是所有方法中最简单的方法，求出角B后可以在直角三角形中直接求出边c.

    方法四：如图2所示，在Rt△AFC中，[AF=2217]，[CF=4-22172=477]，在Rt△AFB中，[BF=BC-CF=1077]，[AB=AF2-FB2=4].

    ∴[c=4].

    評注：通过几个三角形元素之间的转换，用勾股定理解直角三角形求出了边c.

    二、等面积视角

    方法五：如图2所示，△ABC的面积[S△ABC=12BC×AF=12AC×ABsinA]，即

    [2c×32=2217×27]，∴[c=4].

    评注：三角形的面积是由边长和角度来表示的，这种方法用三角形面积两种表达方式建立了边c的方程，通过解方程求出边c.

    三、坐标视角

    方法六：如图3所示建立直角坐标系，在△ABC中，∠CAB=[2π3]，∠xAB=[π3]，C（-2，0），直线AB所在直线方程为y=[3x].

    设B（[x]，[3x]），由[BC=27]得[（x+2）2+（3x）2] [=28] ，解得[x=2]，[x=-3（舍）] ， B （2，[23]），∴[AB=4]，即[c=4] .

    方法七：如图3所示的直角坐标系中，[sinC=217]，∵角C是锐角，[cosC=277]，[tanC=32]，C（-2，0），[∠xAB=π3]，直线AB所在直线方程为y=[3x]，直线BC所在直线方程为y=[32（x+2）]，

    由方程组[y=32（x+2） ，y=3x ，]解得[x=2 ，y=23 ，]

    ∴B（2，[23]），∴[AB=4]，即[c=4].

    评注：长度计算是解析几何的基本问题，利用三角形边所在直线方程找到端点坐标，很容易得到长度.

    四、相似比策略

    方法八：如图4所示，过B作BH⊥CA延长线于H，在Rt△CAD中，[cosC=277]，[CD=AC277=2277=7]，[AD=CD2-AC2=23CD2-AC2=23]，∴D是BC的中点，△BEC∽△DAC，[BE=23]，在Rt△BAE中∠BAE=[π3]，[AB=c]，[AE=c2]，∴[（23）2+c22=c2]，∴[c=4].

    评注：受AD⊥AC的启发，过B作BH垂直于CA延长线于H，把AB放到了Rt△BAE中，在Rt△CAD中通过计算CD长度得到了两个三角形的相似比，在Rt△BAE中得到c的边长.

    通过这道经典高考题，把三角公式、三角形的面积、正弦定理、余弦定理、勾股定理等连接三角形边和角的基本工具从记忆中提取出来，赋予了一道普通解三角形问题十分经典的意义，经历了从不同角度寻求分析问题和解决问题的过程，发挥出了它的最大作用.从不同的角度思考和分析同一道题目，得到不同的解题方法，通过变式融会贯通问题所涉及的知识和方法，有利于培养学生的思维能力，有助于提高课堂教学效率.

    （责任编辑 黄桂坚）