基于“问题解决”理念的数学教学思考
罗全民 金欢欢
摘要本文以一节渗透数学思想的复习课为例，基于“问题解决”的教学理念，对数学教学中如何将“问题解决”贯穿于课堂教学中，提出自己的一些见解.教师在数学问题引领中的教学过程，体现了精心设计问题，由浅入深，层层递进，有利于启发学生的思维，培养探索解决问题的能力.让学生在数学学习活动中经历“问题解决”，强化“数学思考”，体验“学习评价”的学习过程，使学生逐步感悟数学思想——分类讨论.
关键词问题解决；分类讨论；教学思考
《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标》）将“问题解决”列入“课程目标”之一，同时指出：学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化.分类是一种重要的数学思想.教学活动中，学会分类，可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学问题[1].为了充分体现以“问题解决”引领课堂，“学习评价”贯穿始终，让学生在数学学习活动中经历“问题解决”，强化“数学思考”，体验“学习评价”的学习过程，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想.助推高效课堂的生成.现以一堂“分类讨论思想”专题复习课的教学过程为例，提出自已的一些见解，供同行参考.1问题引领，激趣点题
问题情境操作：把一块矩形纸片沿某一直线剪下一个角.观察：剪下一个角时是否经过矩形的顶点？剩下的纸片有几个角？
师生活动：教师引导学生用事先准备好的小剪刀将矩形纸片沿某一直线任意剪下一个角.学生观察剩下的纸片，小组讨论、归类.教师用几何画板动画演示剪纸过程（图1—图3）.
师：剪下一个角时是否经过矩形的顶点？
生1：有两种情况，图1不经过矩形的顶点，图2，图3经过矩形的顶点.
师：剩下的纸片有几个角？图1图2图3
生2：剩下的纸片分别有5个角（图1），4个角（图2），3个角（图3）.
师：看来这个问题的答案不唯一，说说是什么原因造成的？
生（观察、思考后）回答：在剪下一个角时，截线是否经过矩形的顶点造成的.
老师根据学生的回答板书：
师：这个活动中用到了什么数学方法？
众生：分类讨论的数学方法.
师：分类讨论问题要注意什么？
众生：需要确定同一分类标准，做到不重不漏.
教师板书：同一标准、不重不漏.
师：初中数学涉及分类讨论的类型很多，本节课主要学习几何中如何应用分类讨论思想解决问题（板书课题：“分类讨论思想”之几何篇）.
点评一个看似很简单且生活化的问题，却能激起学生的思维火花.正因为问题源于生活，又蕴含着深刻的数学思想，从小问题中看到了大内容，所以学生被问题所吸引，很自然地激活了学生思考的动力，问题引发学生积极思考，并在此动力的驱动下，让学生带着“看来这个问题的答案不唯一，说说是什么原因造成的？”、“分类讨论问题需要注意什么？”“这堂课主要学习几何中如何应用分类讨论解决问题”等设问激活了学生思考的原动力，激发学生分类讨论的意识，体现了有价值的情境导入和有效的学习评价是在生动的有思考力度的数学问题的引领下，让学生在经历生活数学的过程中“触景生思”，又能使学生对问题产生思考的欲望，实现了以创设情境激活学习动力的目的，巧妙地点明主题.2问题解决，深入探究
师：同学们，刚才的问题情境让我们体会了遇到问题要“三思而后行”，不然就会造成对问题的分析不全面.分析问题从何入手呢？怎样才能做到不重不漏？我们再来解决下面的问题.
问题2已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是.
学生有的回答第三边长是5，有的说是7，有的认为应该是5或7.
师（并不急于评价）：说说理由？
生3：我根据勾股定理32+42=25，结果得第三边长是5.
生4：他把3和4看成直角边，当4为斜边时就有42-32=7，第三边长为7.所以第三边长应该是5或7.
师：非常好，你注意到分析问题要全面，要从不同的角度去讨论.
点评在解决问题2的过程中，教师并不急于评价学生的学习结果，而是先让学生说说理由，在思维层面上从感性到理性构建起了“分类讨论”的意识.学生认识到没有经过全面分析与思考，不能随意下结论.实现了由现实生活中的问题到数学内部问题的讨论，对“分类思想”有了更深的理解.
问题3如图4，∠ABD=∠BCD=90°，AD=5，AB=4，图中两个直角三角形相似，则BC的长是.
生5（计算后）：95或125.
师：请来说说理由？
生6（举手回答）：图4中两个三角形相似，对应边成比例，AB的对应边可能是BC，也可能是CD，所以应分两种情况讨论，得出两个答案.图4图5
问题4如图5，在10×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B内切，那么⊙A由图示位置需向右平移个单位长.
众生（思考片刻）齐答：2个或4个或6个或8个.
师：为什么？
生7（举手回答）：在⊙A移动过程中，与⊙B可能外切，可能内切，⊙A可能在⊙B的左侧，也可能在⊙B的右侧.
点评此环节设置的三个问题从不同角度引导学生去分析、思考并加以解决，从而师生共同总结出几何中什么情况下要进行分类讨论.通过对问题2的探究，再次感知分析问题要全面，学生对这个问题不断补充完善，最后思想得到统一，随后的两个问题解决起来自然水到渠成，对分类讨论思想的理解又更进一步.教师在教学中通过问题引领，学习过程的评价关注学生的进步，关注学生已经掌握了什么，获得了哪些提高，具备了什么能力，还有什么潜能等培养了学生严谨的治学态度.3问题反思，建构思想
问题5反思总结上述问题的思考过程，在分类讨论的过程中你发现了引发分类讨论的规律有哪些？
教师引导学生反思总结问题2，问题3，问题4的思考过程，一起总结一下几何题中引发分类讨论的规律有：
条件不确定引发讨论；对应关系不确定引发讨论；图形位置不确定引发讨论.
点评引导学生理解“分类讨论思想”，是通过问题开展的，“问题”始终贯穿于对“分类讨论思想”的理解中.一种数学思想的构建不是凭空而得，它必须来源于实践，在实践中去感悟、理解.问题5的解决实际上是学生在解决问题的过程中发现新的问题——引发分类讨论的规律.在整个教学的过程自然流畅、一气呵成、行云流水，师生交流的思维活动过程呈现得淋漓尽致.
问题6（幻灯片出示题目）：如图6，在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）.点M（m，0）是X轴上的一个动点.当m取何值时，△MOP是等腰三角形？
师：一个三角形是等腰三角形需满足什么条件？
生齐答：有两边相等.
师：在本题中如何分类？
生8（举手回答）：既然有两边相等的三角形是等腰三角形，那么只需OP=PM或OP=OM或PM=OM.
师：怎样分别求解？
学生通过思考，交流，逐类分析，很快找出所有的点M.
教师进一步引导学生归纳分类讨论的一般步骤：
确定分类对象→进行合理分类→逐类进行讨论→归纳得出结论.
点评《课标》将“问题解决”列入“课程目标”之一，同时提出了通过义务教育阶段的数学学习，增强学生“发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”.从事物发展的规律看，“问题”是任何事物发展的原动力，“发现问题→提出问题→分析问题→解决问题”是事物发展的全过程.此教学环节正体现这一理念，注重综合问题的解决，是体现学生能否全面分析问题、能否应用已总结出的分类讨论思想去解决问题.4问题拓展，提升能力图7
问题7如图7，在Rt△AOB中，已知A（0，6），B（3，0）.以B、C、M为顶点的三角形与Rt△AOB相似，且点M在正方形网格的格点上，点C的坐标为（5，0）.请求出点M的坐标.
学生边思考，教师边提示：
由题意知△AOB是一个直角三角形，且两直角边的比为2∶1.以B、C、M为顶点的三角形与Rt△AOB相似，则△BCM也是一个直角三角形，且两直角边的比为2∶1.
师：一个三角形是直角三角形要满足什么条件？
生齐答：有一个角是直角.
师：在本题中如何分类？
生9：以点B为直角顶点或以点C为直角顶点或以点M为直角顶点.
师：各种情况怎样求解？
学生思路清晰，兴趣浓厚，纷纷举手发表见解.
生10：以点B为直角顶点.过点B作x轴的垂线l1，则点M在直线l1上，此时△BCM两直角边为BC、BM，它们的比为2∶1，由于BC为2，那么BM为4，则点M1（3，4），根据对称性得M2（3，-4）.
师：对生10得出的结论大家认为如何？
（众生沉默、思考）
生11：喔，我知道了，生10得出的结论不完整，以点B为直角顶点相似的三角形还有一种情况，这里是对应关系不确定，所以BM为4或1，因此还应有两点M3（3，1），M4（3，-1）.
众生（恍然大悟）：原来如此.
接下来学生顺利得出以点C为直角顶点时，点M的坐标为M5（5，4），M6（5，-4），M7（5，1），M8（5，-1）.
师：第一种情况和第二种情况的讨论进行得很顺利，接下来第三种情况：以点M为直角顶点，该怎样入手呢？
生（自信地）：以BC为直径画一个圆，由直径所对的圆周角是直角，可知点M就在圆上.
教室里响起了热烈的掌声.
师：我们现在需要寻找这样的△BCM，它是一个直角三角形，且两直角边的比为2∶1.对于第三种情况，刚才这位聪明的同学已经帮助大家解决了直角的问题，减少了条件，还有第二个条件，两直角边的比为2∶1，顺着这个思路，就可以找到点M了.下面请同学们继续讨论第三种情况.
生（高高举起手）：由题意知，点M在格点上，我们不难发现，既在格点上又在以BC为直径的圆上的点只有四个，有两点是分别是B、C，不合题意，舍去.另外两点（4，1），（4，-1），此时MB与MC的比为1∶1，也就是说，两直角边的比不是2∶1，所以以点M为直角顶点的情况不存在.
（教室里再一次想起了掌声）.
师：同学们太棒了！综上所述，满足题意的点M共有8个.通过今天的学习，请同学们谈谈自己的学习收获，总结经验.
生12：对几何中分类讨论的题目有了比较清晰的认识，知道该如何入手解决问题了.
生13：做分类讨论的题目不要着急，分类做到不重不漏，逐类认真分析，按照老师所拟的探究步骤有序落实，便可步步为营.
生14：以前看到分类讨论的题目就有些莫名的恐慌，通过今天的学习，消除了这种消极的心态.
……
师：同学们，现在再提一个问题，假如把问题中的条件“且点M在正方形网格的格点上”改成“M是坐标系内一点”，以点C为直角顶点时的分类又会出现什么情况呢？这个问题就留给大家下去思考.
点评问题7设置的问题，综合性强，包含有丰富的内容，学生在解决“以点B为直角顶点”分类时发生的思维冲突，符合学生认知发展，也是在解决问题中学生必然经历的一个过程.在这一过程中教师对生10得出的结论的判断交给学生：“对生10得出的结论大家认为如何？”，这显然又把问题抛给学生，留足了思考的空间，然后有了生11的完美补充，众生“原来如此”的感叹是从疑惑到理解的真实写照.问题解决是本节的重心，提升能力是最终目的.5问题再现，巩固升华
师：看来同学们收获颇丰，接下来请同学们独立完成以下练习：
1.（2011年杭州）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为.
2.矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为.
3.（2013年遵义）如图8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm.动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0
师：第三题的原题是遵义市2013年中考的第26题第（1）问，同学们很快做就解答出来？中考题也不过如此呀！相信同学们在冲刺阶段认真复习，定会在中考中取得优异的成绩！今天的课就到这里，下课！
点评这是课堂学习检测评价环节，在掌握了有关知识的基础上，既是对所学知识的应用巩固，又是及时检测评价，突出问题解决与学习评价.通过适时的练习和有效的评价，特别是练习设计中对中考题的科学合理的改编，激发学生的数学学习兴趣，体现了数学教学中的再创造.教师没有照搬原题，而是根据教学实际情况围绕“分类讨论思想”的应用，进行了恰当的改编.
总评这是一堂以问题“领舞”课堂的复习课，紧紧围绕以解决问题与学习评价而展开.经过精心设计的好的问题，有利于启发学生的思维.本节课教师在数学问题引领中的教学过程，体现在以问题为主线引导学生合作学习、自主探索解决问题并适时作出有效的评价.
1.教学设计体现“低起点、高观点、远目标”.
“低起点”是指面向全体学生，基础切入，本节课中问题情境的设置符合课标理念，看似普通但蕴含深刻的数学思想，绝大多数学生能很好的理解，同时又画龙点睛突出主题；“高观点”是指整堂课以不同的问题表达一个重要的数学思想——分类讨论思想，从问题1到问题7的设置有梯度，层层递进，内涵丰富，占位高，是站在初中数学教学的制高点来进行教学，选题看似平淡，却引起学生积极思考参与，做到常规中有创新，平淡中见新奇；“远目标”是指为学生终身发展着想，这里不仅仅是为解决几个数学问题，而是通过数学问题的解决，培养学生学会数学思考与养成良好的数学素养，体现了从知识立意到能力立意的升华.或许在学生的一生中这些知识已不再重要，但从中体现的数学思想留下深刻的烙印，才是对能力终身影响.
2.问题引领，突出问题解决的思维过程.
教师通过七个问题来引导学生学习.教师在设计问题时，整体把握知识的内在逻辑结构，精选例题，在习题的处理上进行适度“二次开发”，进行合理重组，合理整合课程资源，突出探究知识体系，预留较大思考空间，在学生已有知识经验的前提下，用发展的观点，为学生的数学学习创设了一个民主、开放、和谐、互动的平台.不论是问题情景的设置，还是到问题七，都体现出教师在以问题引领的教学中充分发挥学生主动学习、暴露解题思维的过程，同时教师恰当评价既是对学生思维反应的肯定，也是巧妙引导其学生继续思考的有效策略.教师的及时肯定和鼓励，引发了学生不断地在探索问题的过程中发现问题、提出问题、解决问题.
3.再度思考，突出问题解决的本质.
“问题”是任何事物发展的原动力，“发现问题→提出问题→分析问题→解决问题”是事物发展的全过程.教师最后提出的思考问题：假如把问题中的条件“且点M在正方形网格的格点上”改成“M是坐标系内一点”，以点C为直角顶点时的分类又会出现什么情况呢？这是一个再度把问题推向一个更有思想性的高度，更加突出了问题解决的本质.
4.有效评价，助推高效课堂.有助于学生增强学习信心.通过“问题解决”使学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.体会数学知识之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制定.《义务教育数学课程标准》（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012
摘要本文以一节渗透数学思想的复习课为例，基于“问题解决”的教学理念，对数学教学中如何将“问题解决”贯穿于课堂教学中，提出自己的一些见解.教师在数学问题引领中的教学过程，体现了精心设计问题，由浅入深，层层递进，有利于启发学生的思维，培养探索解决问题的能力.让学生在数学学习活动中经历“问题解决”，强化“数学思考”，体验“学习评价”的学习过程，使学生逐步感悟数学思想——分类讨论.
关键词问题解决；分类讨论；教学思考
《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标》）将“问题解决”列入“课程目标”之一，同时指出：学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化.分类是一种重要的数学思想.教学活动中，学会分类，可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学问题[1].为了充分体现以“问题解决”引领课堂，“学习评价”贯穿始终，让学生在数学学习活动中经历“问题解决”，强化“数学思考”，体验“学习评价”的学习过程，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想.助推高效课堂的生成.现以一堂“分类讨论思想”专题复习课的教学过程为例，提出自已的一些见解，供同行参考.1问题引领，激趣点题
问题情境操作：把一块矩形纸片沿某一直线剪下一个角.观察：剪下一个角时是否经过矩形的顶点？剩下的纸片有几个角？
师生活动：教师引导学生用事先准备好的小剪刀将矩形纸片沿某一直线任意剪下一个角.学生观察剩下的纸片，小组讨论、归类.教师用几何画板动画演示剪纸过程（图1—图3）.
师：剪下一个角时是否经过矩形的顶点？
生1：有两种情况，图1不经过矩形的顶点，图2，图3经过矩形的顶点.
师：剩下的纸片有几个角？图1图2图3
生2：剩下的纸片分别有5个角（图1），4个角（图2），3个角（图3）.
师：看来这个问题的答案不唯一，说说是什么原因造成的？
生（观察、思考后）回答：在剪下一个角时，截线是否经过矩形的顶点造成的.
老师根据学生的回答板书：
师：这个活动中用到了什么数学方法？
众生：分类讨论的数学方法.
师：分类讨论问题要注意什么？
众生：需要确定同一分类标准，做到不重不漏.
教师板书：同一标准、不重不漏.
师：初中数学涉及分类讨论的类型很多，本节课主要学习几何中如何应用分类讨论思想解决问题（板书课题：“分类讨论思想”之几何篇）.
点评一个看似很简单且生活化的问题，却能激起学生的思维火花.正因为问题源于生活，又蕴含着深刻的数学思想，从小问题中看到了大内容，所以学生被问题所吸引，很自然地激活了学生思考的动力，问题引发学生积极思考，并在此动力的驱动下，让学生带着“看来这个问题的答案不唯一，说说是什么原因造成的？”、“分类讨论问题需要注意什么？”“这堂课主要学习几何中如何应用分类讨论解决问题”等设问激活了学生思考的原动力，激发学生分类讨论的意识，体现了有价值的情境导入和有效的学习评价是在生动的有思考力度的数学问题的引领下，让学生在经历生活数学的过程中“触景生思”，又能使学生对问题产生思考的欲望，实现了以创设情境激活学习动力的目的，巧妙地点明主题.2问题解决，深入探究
师：同学们，刚才的问题情境让我们体会了遇到问题要“三思而后行”，不然就会造成对问题的分析不全面.分析问题从何入手呢？怎样才能做到不重不漏？我们再来解决下面的问题.
问题2已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是.
学生有的回答第三边长是5，有的说是7，有的认为应该是5或7.
师（并不急于评价）：说说理由？
生3：我根据勾股定理32+42=25，结果得第三边长是5.
生4：他把3和4看成直角边，当4为斜边时就有42-32=7，第三边长为7.所以第三边长应该是5或7.
师：非常好，你注意到分析问题要全面，要从不同的角度去讨论.
点评在解决问题2的过程中，教师并不急于评价学生的学习结果，而是先让学生说说理由，在思维层面上从感性到理性构建起了“分类讨论”的意识.学生认识到没有经过全面分析与思考，不能随意下结论.实现了由现实生活中的问题到数学内部问题的讨论，对“分类思想”有了更深的理解.
问题3如图4，∠ABD=∠BCD=90°，AD=5，AB=4，图中两个直角三角形相似，则BC的长是.
生5（计算后）：95或125.
师：请来说说理由？
生6（举手回答）：图4中两个三角形相似，对应边成比例，AB的对应边可能是BC，也可能是CD，所以应分两种情况讨论，得出两个答案.图4图5
问题4如图5，在10×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B内切，那么⊙A由图示位置需向右平移个单位长.
众生（思考片刻）齐答：2个或4个或6个或8个.
师：为什么？
生7（举手回答）：在⊙A移动过程中，与⊙B可能外切，可能内切，⊙A可能在⊙B的左侧，也可能在⊙B的右侧.
点评此环节设置的三个问题从不同角度引导学生去分析、思考并加以解决，从而师生共同总结出几何中什么情况下要进行分类讨论.通过对问题2的探究，再次感知分析问题要全面，学生对这个问题不断补充完善，最后思想得到统一，随后的两个问题解决起来自然水到渠成，对分类讨论思想的理解又更进一步.教师在教学中通过问题引领，学习过程的评价关注学生的进步，关注学生已经掌握了什么，获得了哪些提高，具备了什么能力，还有什么潜能等培养了学生严谨的治学态度.3问题反思，建构思想
问题5反思总结上述问题的思考过程，在分类讨论的过程中你发现了引发分类讨论的规律有哪些？
教师引导学生反思总结问题2，问题3，问题4的思考过程，一起总结一下几何题中引发分类讨论的规律有：
条件不确定引发讨论；对应关系不确定引发讨论；图形位置不确定引发讨论.
点评引导学生理解“分类讨论思想”，是通过问题开展的，“问题”始终贯穿于对“分类讨论思想”的理解中.一种数学思想的构建不是凭空而得，它必须来源于实践，在实践中去感悟、理解.问题5的解决实际上是学生在解决问题的过程中发现新的问题——引发分类讨论的规律.在整个教学的过程自然流畅、一气呵成、行云流水，师生交流的思维活动过程呈现得淋漓尽致.
问题6（幻灯片出示题目）：如图6，在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）.点M（m，0）是X轴上的一个动点.当m取何值时，△MOP是等腰三角形？
师：一个三角形是等腰三角形需满足什么条件？
生齐答：有两边相等.
师：在本题中如何分类？
生8（举手回答）：既然有两边相等的三角形是等腰三角形，那么只需OP=PM或OP=OM或PM=OM.
师：怎样分别求解？
学生通过思考，交流，逐类分析，很快找出所有的点M.
教师进一步引导学生归纳分类讨论的一般步骤：
确定分类对象→进行合理分类→逐类进行讨论→归纳得出结论.
点评《课标》将“问题解决”列入“课程目标”之一，同时提出了通过义务教育阶段的数学学习，增强学生“发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”.从事物发展的规律看，“问题”是任何事物发展的原动力，“发现问题→提出问题→分析问题→解决问题”是事物发展的全过程.此教学环节正体现这一理念，注重综合问题的解决，是体现学生能否全面分析问题、能否应用已总结出的分类讨论思想去解决问题.4问题拓展，提升能力图7
问题7如图7，在Rt△AOB中，已知A（0，6），B（3，0）.以B、C、M为顶点的三角形与Rt△AOB相似，且点M在正方形网格的格点上，点C的坐标为（5，0）.请求出点M的坐标.
学生边思考，教师边提示：
由题意知△AOB是一个直角三角形，且两直角边的比为2∶1.以B、C、M为顶点的三角形与Rt△AOB相似，则△BCM也是一个直角三角形，且两直角边的比为2∶1.
师：一个三角形是直角三角形要满足什么条件？
生齐答：有一个角是直角.
师：在本题中如何分类？
生9：以点B为直角顶点或以点C为直角顶点或以点M为直角顶点.
师：各种情况怎样求解？
学生思路清晰，兴趣浓厚，纷纷举手发表见解.
生10：以点B为直角顶点.过点B作x轴的垂线l1，则点M在直线l1上，此时△BCM两直角边为BC、BM，它们的比为2∶1，由于BC为2，那么BM为4，则点M1（3，4），根据对称性得M2（3，-4）.
师：对生10得出的结论大家认为如何？
（众生沉默、思考）
生11：喔，我知道了，生10得出的结论不完整，以点B为直角顶点相似的三角形还有一种情况，这里是对应关系不确定，所以BM为4或1，因此还应有两点M3（3，1），M4（3，-1）.
众生（恍然大悟）：原来如此.
接下来学生顺利得出以点C为直角顶点时，点M的坐标为M5（5，4），M6（5，-4），M7（5，1），M8（5，-1）.
师：第一种情况和第二种情况的讨论进行得很顺利，接下来第三种情况：以点M为直角顶点，该怎样入手呢？
生（自信地）：以BC为直径画一个圆，由直径所对的圆周角是直角，可知点M就在圆上.
教室里响起了热烈的掌声.
师：我们现在需要寻找这样的△BCM，它是一个直角三角形，且两直角边的比为2∶1.对于第三种情况，刚才这位聪明的同学已经帮助大家解决了直角的问题，减少了条件，还有第二个条件，两直角边的比为2∶1，顺着这个思路，就可以找到点M了.下面请同学们继续讨论第三种情况.
生（高高举起手）：由题意知，点M在格点上，我们不难发现，既在格点上又在以BC为直径的圆上的点只有四个，有两点是分别是B、C，不合题意，舍去.另外两点（4，1），（4，-1），此时MB与MC的比为1∶1，也就是说，两直角边的比不是2∶1，所以以点M为直角顶点的情况不存在.
（教室里再一次想起了掌声）.
师：同学们太棒了！综上所述，满足题意的点M共有8个.通过今天的学习，请同学们谈谈自己的学习收获，总结经验.
生12：对几何中分类讨论的题目有了比较清晰的认识，知道该如何入手解决问题了.
生13：做分类讨论的题目不要着急，分类做到不重不漏，逐类认真分析，按照老师所拟的探究步骤有序落实，便可步步为营.
生14：以前看到分类讨论的题目就有些莫名的恐慌，通过今天的学习，消除了这种消极的心态.
……
师：同学们，现在再提一个问题，假如把问题中的条件“且点M在正方形网格的格点上”改成“M是坐标系内一点”，以点C为直角顶点时的分类又会出现什么情况呢？这个问题就留给大家下去思考.
点评问题7设置的问题，综合性强，包含有丰富的内容，学生在解决“以点B为直角顶点”分类时发生的思维冲突，符合学生认知发展，也是在解决问题中学生必然经历的一个过程.在这一过程中教师对生10得出的结论的判断交给学生：“对生10得出的结论大家认为如何？”，这显然又把问题抛给学生，留足了思考的空间，然后有了生11的完美补充，众生“原来如此”的感叹是从疑惑到理解的真实写照.问题解决是本节的重心，提升能力是最终目的.5问题再现，巩固升华
师：看来同学们收获颇丰，接下来请同学们独立完成以下练习：
1.（2011年杭州）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为.
2.矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为.
3.（2013年遵义）如图8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm.动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0
师：第三题的原题是遵义市2013年中考的第26题第（1）问，同学们很快做就解答出来？中考题也不过如此呀！相信同学们在冲刺阶段认真复习，定会在中考中取得优异的成绩！今天的课就到这里，下课！
点评这是课堂学习检测评价环节，在掌握了有关知识的基础上，既是对所学知识的应用巩固，又是及时检测评价，突出问题解决与学习评价.通过适时的练习和有效的评价，特别是练习设计中对中考题的科学合理的改编，激发学生的数学学习兴趣，体现了数学教学中的再创造.教师没有照搬原题，而是根据教学实际情况围绕“分类讨论思想”的应用，进行了恰当的改编.
总评这是一堂以问题“领舞”课堂的复习课，紧紧围绕以解决问题与学习评价而展开.经过精心设计的好的问题，有利于启发学生的思维.本节课教师在数学问题引领中的教学过程，体现在以问题为主线引导学生合作学习、自主探索解决问题并适时作出有效的评价.
1.教学设计体现“低起点、高观点、远目标”.
“低起点”是指面向全体学生，基础切入，本节课中问题情境的设置符合课标理念，看似普通但蕴含深刻的数学思想，绝大多数学生能很好的理解，同时又画龙点睛突出主题；“高观点”是指整堂课以不同的问题表达一个重要的数学思想——分类讨论思想，从问题1到问题7的设置有梯度，层层递进，内涵丰富，占位高，是站在初中数学教学的制高点来进行教学，选题看似平淡，却引起学生积极思考参与，做到常规中有创新，平淡中见新奇；“远目标”是指为学生终身发展着想，这里不仅仅是为解决几个数学问题，而是通过数学问题的解决，培养学生学会数学思考与养成良好的数学素养，体现了从知识立意到能力立意的升华.或许在学生的一生中这些知识已不再重要，但从中体现的数学思想留下深刻的烙印，才是对能力终身影响.
2.问题引领，突出问题解决的思维过程.
教师通过七个问题来引导学生学习.教师在设计问题时，整体把握知识的内在逻辑结构，精选例题，在习题的处理上进行适度“二次开发”，进行合理重组，合理整合课程资源，突出探究知识体系，预留较大思考空间，在学生已有知识经验的前提下，用发展的观点，为学生的数学学习创设了一个民主、开放、和谐、互动的平台.不论是问题情景的设置，还是到问题七，都体现出教师在以问题引领的教学中充分发挥学生主动学习、暴露解题思维的过程，同时教师恰当评价既是对学生思维反应的肯定，也是巧妙引导其学生继续思考的有效策略.教师的及时肯定和鼓励，引发了学生不断地在探索问题的过程中发现问题、提出问题、解决问题.
3.再度思考，突出问题解决的本质.
“问题”是任何事物发展的原动力，“发现问题→提出问题→分析问题→解决问题”是事物发展的全过程.教师最后提出的思考问题：假如把问题中的条件“且点M在正方形网格的格点上”改成“M是坐标系内一点”，以点C为直角顶点时的分类又会出现什么情况呢？这是一个再度把问题推向一个更有思想性的高度，更加突出了问题解决的本质.
4.有效评价，助推高效课堂.有助于学生增强学习信心.通过“问题解决”使学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.体会数学知识之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制定.《义务教育数学课程标准》（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012
