在数学教学中应重点关注的五个问题
【摘要】在数学教学中如何全面落实《义务教育数学课程标准（2011年版）》的课程理念，全面提高教育教学质量的问题一直是广大数学教育工作者和一线教师努力探讨的问题.这是一个非常复杂的系统工程.其中亟待解决问题有很多，教师应重点关注五个问题：一要制定出恰当的教学目标，这是决定教学方向的问题；二要重视和加强基础知识教学，让学生通过基础知识的学习逐步形成数学基本技能，感悟数学基本思想，积累数学活动经验，这是决定教学效果的关键；三要充分发挥学生的积极性，用学生喜欢的学习方式学习数学；四要精心设计能引导学生积极学习的系列问题；五要处理好影响学生学习成绩的若干关系.
【关键词】课程理念；学习目标；基础知识；学习方式；问题设计；关系
《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标（2011年版）》）提出的“课程基本理念”和“教学建议”是对现代数学教育教学观的高度概括和浓缩，是进行数学教学的宏观指导思想.教师只有深入研究这些基本理念的内涵并努力将其转化为自己的教学行为，充分调动学生学习的积极性，精心设计、规划、落实下面几个问题，才能适应社会发展对数学教育教学提出的越来越高的要求.1正确制定恰当的学习目标
《课标（2011年版）》在提出课程“总目标”后，又从“知识技能、数学思考、问题解决、情感态度”四个方面对其进行了具体阐述.课程目标的这四个方面，不是互相独立和割裂的，而是一个密切联系又相互交融的有机整体.为使每个学生都受到良好的数学教育，数学教学不仅要使学生获得知识技能，而且要把知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面有机结合，整体实现课程目标.
因此，教师要在立足于长远目标（学期、学年）的基础上，制定恰当的课时学习目标，在具体制定学习目标时要注意两点：
1.1准确把握和使用描述学习目标的行为动词
《课标（2011年版）》指出，“数学课程目标包括结果目标和过程目标.结果目标使用‘了解‘理解‘掌握‘运用等行为动词表述，过程目标使用‘经历‘体验‘探索等行为动词表述”.教师要制定出恰当的学习目标，首先应准确把握这些动词的含义.如果对行为动词的理解、运用不规范，就会导致学习目标的可操作性不强.
例如，有的老师把“等腰三角形”这节课的学习目标确定为：
（1）经历等腰三角形的轴对称性、等腰三角形“三线合一”、等腰三角形的两个底角相等的性质.
（2）在探索等腰三角形性质的过程中，发展学生合情推理和演绎推理能力.
（3）运用等腰三角形性质解决有关问题.
这个老师确定的学习目标存在的问题有二：一是忽视了隐性目标；二是使用的行为动词不合适.我们知道“经历”后面应该是过程，不是具体的知识.笔者认为，本课时的学习目标应为：
（1）经历探索等腰三角形性质的过程，掌握等腰三角形的轴对称性、等腰三角形“三线合一”、等腰三角形的两个底角相等等性质.
（2）在经历探索等腰三角形性质的过程中，发展学生合情推理和演绎推理能力.
（3）在运用等腰三角形性质解决问题的过程中，发展应用意识.不断增强学好数学的自信心.
1.2在重视显性目标的同时不可忽视隐性目标
学习目标应努力落实课程目标的四个方面，学生数学思考能力和问题解决能力的培养和形成一刻也离不开过程.这就是我们常说的数学教学应实现三维目标（知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观）的根据.
知识技能目标是具体的、可测的、易评价的，是学生自学和课堂练习中显而易见的行为，是显性目标.而过程与方法、情感态度与价值观的学习目标是抽象且不易直接考查和评价的，是隐性目标.在许多老师制定的教（学）案中，对于显性目标比较重视，而对隐性目标则不够重视或干脆就忽视了.如前面老师确定的学习目标就缺少对隐性目标的要求.
只有制定出恰当的课时学习目标，并且在教学中实现每一节课的目标，久而久之，才能实现《课标（2011年版）》所提出的课程总目标.
2注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握
多年来，我国的基础教育已形成了一套行之有效的办法，为奠定学生坚实的知识基础做出了重要的贡献.但我们在培养学生的创新能力方面却存在着非常突出的问题，这也是我国基础教育公认的弱项.数学创新能力是在特定的数学基础知识长期积累后实现由量变到质变飞跃的过程中迸发出来的灵感.创新是对数学基础的超越和升华，没有数学基础的创新是空想.从这个意义上讲，要培养学生的数学创新能力，必须继续加强“四基”教学.
“知识技能”既是学生发展的基础性目标，又是落实“数学思考”“问题解决”“情感态度”目标的载体.对于“四基”的学习，《课标（2011年版）》为我们指明了有效的做法：
其一，经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能；
其二，经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能；
其三，经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能；
其四，参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法解决简单问题的数学活动经验.
长期经过这样的训练，学生就能扎实掌握基础知识，具备创新的“源泉”或“资本”.
案例1求下列各式的值：
（1）1+1+1+…；
（2）1+11+11+….
对于初中学生来说，过去从未见过上面要求的无穷根式和无穷繁分式，他们根本不认识，至于求值，同学们一时摸不着头脑，根本无法下手.由此可见按“常规”方法是不能解决的.这时教师应鼓励学生不要怕“无穷”，要敢于面对它，大胆去分析、思考、想象、探索：
观察无穷式子（1）发现，只含有常数1并且其个数是无限的，不妨设1+1+1+…=a，大胆想象、积极探索、合情推理，巧用“无穷”，可知：1+a=a求得a=12（5+1）.
求出（1）的值后，学生很快类比求得（2）的值.
学生经过思考，不难发现这两个式子的值是相等的.
解答这个题目，学生除了应熟练掌握平方根和分式的概念外，还要具备很强的观察、判断和类比等数学能力.
这个例子要求我们：在数学基础知识的教学中，应注重学生对所学知识的理解，并在知识的应用中不断巩固和深化.为此，教师应注重数学知识与学生生活经验的联系、与学生学科知识的联系，组织学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析，抽象概括，运用知识进行判断.教师还应揭示知识的数学实质及其体现的数学思想，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系等.
另外，对于数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解.
学生经过长时间的学习，不仅能掌握数学知识，更能理解这些知识的“来龙去脉”，从而形成优化的数学认知结构，其数学创新能力就能逐步得到提高.3尊重学生的主体地位，努力转变学习方式
关于转变学习方式的问题是一个由来已久，但一直没有落实到位的问题.要实现《课标（2011年版）》提出的“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的课程理念，我们必须尊重学生的主体地位，下决心推行学习方式的转变.
《课标（2011年版）》指出“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.”这就是我们选择学习方式的“总原则”.
案例2：判定一次函数关系的过程.
一次函数是重要的函数，它在生活实际中有着广泛的应用.笔者在“一次函数的应用”中，曾经以华氏温度与摄氏温度之间的对应关系为例，引导学生探索某个函数关系是一次函数的.
我们知道，世界各国温度之间的计量单位尚不统一，常用的有摄氏温度（℃）和华氏温度（）两种.它们之间的关系如下表所示：
（1）观察上表，如果把表中的摄氏温度与华氏温度都看作变量，那么它们之间的函数关系是一次函数吗？你是如何探索得到的？图1
（2）你能利用（1）中的图象，写出y与x的函数表达式吗？
（3）你能通过分析上表中两个变量间的数量关系，判定它们之间是一次函数关系吗？
（4）你能求出华氏温度为0度（即）时，摄氏温度是多少度吗？
（5）华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能？你会用哪几种方法解决这个问题？与同学交流.
设计意图本问题是在学生已经学习了一次函数的概念、图象和性质的基础上设计的，学生利用已有的知识，自然会根据已有经验以表中每一对（x，y）的值作为点的坐标，在直角坐标系中描出表中相应的点，画出图1所示的图象，观察发现这些点都在同一条直线上，于是利用待定系数法确定出一次函数表达式.
根据表中给定的两个变量之间的数量关系判定这两个变量之间是否为一次函数是比较困难的.可引导学生从计算两个变量对应数值之差的比入手.学生通过计算将会发现这个比是一个常数，如68-8620-30=1.8，50-1410-（-10）=1.8，86-5030-10=1.8，….特别地，对于固定点（0，32）来说，同样有50-3210-0=1.8，68-3220-0=1.8，86-3220-0=1.8，14-32-10-0=1.8.如果设摄氏温度为x，相应的华氏温度为y，则有y-32x-0=1.8，整理得y=18x+32.因此，y是x的一次函数.有了这个结果后面的问题便迎刃而解.
总之，要实现学习方式的转变，教师就应从根本上树立起“一切为了学生”的观念，正确认识新的学习方式，确立新的教学观，转变教学方式，积极设计导学过程，让学生参与数学活动的全过程，彻底改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，大力倡导学生主动参入、乐于探究、勤与动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析问题和解决问题的能力以及交流与合作的能力.
4精心设计数学问题
在数学教学中，从课堂提问到新概念的形成与确立，新知识的巩固与应用，学生思维方法的训练与提高，以及实际应用能力和创新能力的增强，无不是从“问题”开始的.
教学中教师究竟应设计怎样的问题？笔者认为，应按照《课标（2011年版）》的要求，精心设计以下四几类问题：
（1）引起学生思考与猜想的问题；
（2）引导学生探究与发现的问题；
（3）引导学生进行实验操作的问题；
（4）有利于问题解决的问题.
案例3“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的证明过程.
对于这个判定定理，教师在引导学生学习时，不可直接证明，要设法让学生先发现这个结论，然后再证明.让学生发现的方法有许多，为突出数学直观性，培养学生的动手能力，建议让学生通过操作实验来得到.
（1）如图2，任意画一个∠B，在∠B的两边上分别任取两点A，C.
（2）以点A为圆心，BC的长为半径画弧，再以点C为圆心，BA的长为半径画弧，记两弧的交点为D，连接AD，CD.
（3）观察四边形ABCD的特点，你能得到怎样的猜想？并相互交流自己的结论；
（4）证明所得到的猜想，将其归纳成一般结论.
由上面的操作过程，学生可以发现，在图3中，已知AB=CD，且BC=AD，要证明四边形ABCD是平行四边形，只需连接AC，并证明△ABC与△CDA全等即可.这个证明思路就是同学们在作图的过程中发现的，学生一旦自主发现这个思路，详细的证明过程就容易了.长期这样训练就能彻底克服学生所反映的那种老师“添设辅助线总是马到成功，演算证明总是简捷而又灵活”，“我们是一听就懂，但一做题就错（或不会）”的“流行”现象.
5努力处理好四个关系
5.1面向全体与关注个性差异的关系
面向全体，就是使每一个学生都能有所发展.教学中一提面向全体，有人就在想，我应该把教学的难度定位在“优等生”、“学困生”还是“中等生”？如果这样思考的话，面向全体就成了一个“悖论”.我们认为在对待每一个学生的全面发展上，教师应“淡化差、尊重异”，不能采取统一化的、单一的教学方法.究竟怎样才能做到面向全体呢？笔者认为，我们应着眼于教学过程来认识“面向全体”，面向全体不是教学难度的定位，而是教学方法的改革，不是灌输，而是启发.（请参见贵刊2015年第12期笔者的文章《精心设计数学课堂，努力上好每一节课》）.
5.2合情推理与演绎推理的关系
我们的数学教学多年来对演绎推理比较重视，对合情推理重视程度不够.从学生发展的角度看，应大力培养其合情推理能力.《课标（2011年版）》指出，“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习的过程中.”这个要求有三层含义，
其一，就是把合情推理能力的培养贯穿于整个数学课程的各个学习内容之中.
其二，就是把合情推理能力的培养贯穿于数学课堂教学的各种活动过程之中.
其三，就是把合情推理能力的培养贯穿于整个数学学习的各个环节之中.
课堂中要引导学生做数学，让学生在观察、实验、猜想、证明等数学活动中发现数学结论的同时，其合情推理能力和初步的演绎推理能力都能获得相应的发展.
案例4“圆是轴对称图形”的发现过程.
为了引导学生自己发现圆是轴对称图形，教学中可以用下面的问题引导学生进行操作、归纳、交流等活动：图4
（1）在一张半透明的纸片上画一个圆，标出它的圆心O，再任意作出一条直径AB（图4）.将⊙O沿直径AB折叠，你发现了什么？
（2）再任意作一条直径，重复（1）中的操作.你还有同样的结论吗？
学生在动手操作的基础上，很容易发现下面的结论：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴.上面的这种设计除了能让学生发现圆的这一性质外，还能培养学生发现问题、提出问题的能力，而这正是合情推理能力的表现.
我们应把既教会学生猜想，又能把握证明；既能合情推理，又能严格论证作为教学的指导思想.
5.3结果与过程的关系
结果与过程的关系是教学过程中的一对十分重要的关系，与这一关系相关的还有：学习与思考、学会与会学、知识与智力、继承与创新等关系.从学科本身来讲，结论表示的是该学科的结果，而过程则体现着该学科的探究过程与探究方法.结论与过程是相互作用、相互依存、相互转化的关系，有什么样的探究过程就有什么样的探究结论，结论的获得往往依赖于特定的探究过程.二者的有机结合才能体现一门学科的整体内涵和思想.大部分老师都已经认识到“重结论，轻过程”的教学效果是不理想的，在教学中他们也试图努力“彰显过程”，但不能“持之以恒”.
华罗庚先生曾说过：“不要只给学生看做好了的饭，更要让学生看做饭的过程，数学教学要设法使数学知识‘活起来.”通过设计的问题，引导学生经历一系列的数学活动（如阅读教材、独立思考、分析判断、实验操作，推理验算、探究发现等），在经历这些数学活动的过程中，发现有关的结论.真正使“教学过程成为学生持续不断的探索过程.”
5.4预设与生成的关系
教学从本质上讲就是预设和生成的矛盾统一体.“预设”是指在深入研究相关材料以及科学分析学情的前提下，所形成的教学方案.“生成”则指学生在学习活动中表现出的“出乎预设”的信息.预设是非常必要的，没有预设，课堂教学就有可能失控，难以完成教学任务.但在课堂教学中，如果教师只是按预设方案进行，不能对学生学习中表现出来的问题给予关注，则会排斥学生的个性思考，抹杀学生的创造智慧.因此，教师在实施教学方案的同时要根据生成情况，及时把握、因势利导，适时调整预案，使教学活动收到更好的效果.
在数学教学中，教师应深入研究教材和学生，努力挖掘教学内容中有关的教育资源，制定恰当的学习目标，重视基础知识的传授，尊重学生的主体地位，精心设计能引导学生进行探索活动的问题系列，以此激发学生的学习兴趣，让他们通过独立思考或者合作交流感悟所学具体知识中蕴涵的数学思想与方法，不断积累数学活动经验，提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，并且逐步形成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等良好的学习习惯.只有这样学生的综合能力才能不断得到提高和发展，才能最终实现《课标（2011年版）》提出的“使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力，培养学生的创新意识和实践能力，促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展”的目标，真正为学生的未来生活、工作和学习奠定重要的基础.
参考文献
[1]李树臣.关于形成数学活动经验的若干思考[J].中学数学杂志，2011（12）.
[2]李树臣.正确认识和重视对数学思考的培养[J].中学数学杂志，2015（2）.
[3]李树臣.充分体现课标理念，促进学生全面发展——《义务教育教科书·数学》编写的主要原则[J].中学数学杂志，2015（8）.
[4]李树臣.论几何直观的教育教学价值[J].中国数学教育，2015（7-8）.
[5]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[6]史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
【关键词】课程理念；学习目标；基础知识；学习方式；问题设计；关系
《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标（2011年版）》）提出的“课程基本理念”和“教学建议”是对现代数学教育教学观的高度概括和浓缩，是进行数学教学的宏观指导思想.教师只有深入研究这些基本理念的内涵并努力将其转化为自己的教学行为，充分调动学生学习的积极性，精心设计、规划、落实下面几个问题，才能适应社会发展对数学教育教学提出的越来越高的要求.1正确制定恰当的学习目标
《课标（2011年版）》在提出课程“总目标”后，又从“知识技能、数学思考、问题解决、情感态度”四个方面对其进行了具体阐述.课程目标的这四个方面，不是互相独立和割裂的，而是一个密切联系又相互交融的有机整体.为使每个学生都受到良好的数学教育，数学教学不仅要使学生获得知识技能，而且要把知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面有机结合，整体实现课程目标.
因此，教师要在立足于长远目标（学期、学年）的基础上，制定恰当的课时学习目标，在具体制定学习目标时要注意两点：
1.1准确把握和使用描述学习目标的行为动词
《课标（2011年版）》指出，“数学课程目标包括结果目标和过程目标.结果目标使用‘了解‘理解‘掌握‘运用等行为动词表述，过程目标使用‘经历‘体验‘探索等行为动词表述”.教师要制定出恰当的学习目标，首先应准确把握这些动词的含义.如果对行为动词的理解、运用不规范，就会导致学习目标的可操作性不强.
例如，有的老师把“等腰三角形”这节课的学习目标确定为：
（1）经历等腰三角形的轴对称性、等腰三角形“三线合一”、等腰三角形的两个底角相等的性质.
（2）在探索等腰三角形性质的过程中，发展学生合情推理和演绎推理能力.
（3）运用等腰三角形性质解决有关问题.
这个老师确定的学习目标存在的问题有二：一是忽视了隐性目标；二是使用的行为动词不合适.我们知道“经历”后面应该是过程，不是具体的知识.笔者认为，本课时的学习目标应为：
（1）经历探索等腰三角形性质的过程，掌握等腰三角形的轴对称性、等腰三角形“三线合一”、等腰三角形的两个底角相等等性质.
（2）在经历探索等腰三角形性质的过程中，发展学生合情推理和演绎推理能力.
（3）在运用等腰三角形性质解决问题的过程中，发展应用意识.不断增强学好数学的自信心.
1.2在重视显性目标的同时不可忽视隐性目标
学习目标应努力落实课程目标的四个方面，学生数学思考能力和问题解决能力的培养和形成一刻也离不开过程.这就是我们常说的数学教学应实现三维目标（知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观）的根据.
知识技能目标是具体的、可测的、易评价的，是学生自学和课堂练习中显而易见的行为，是显性目标.而过程与方法、情感态度与价值观的学习目标是抽象且不易直接考查和评价的，是隐性目标.在许多老师制定的教（学）案中，对于显性目标比较重视，而对隐性目标则不够重视或干脆就忽视了.如前面老师确定的学习目标就缺少对隐性目标的要求.
只有制定出恰当的课时学习目标，并且在教学中实现每一节课的目标，久而久之，才能实现《课标（2011年版）》所提出的课程总目标.
2注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握
多年来，我国的基础教育已形成了一套行之有效的办法，为奠定学生坚实的知识基础做出了重要的贡献.但我们在培养学生的创新能力方面却存在着非常突出的问题，这也是我国基础教育公认的弱项.数学创新能力是在特定的数学基础知识长期积累后实现由量变到质变飞跃的过程中迸发出来的灵感.创新是对数学基础的超越和升华，没有数学基础的创新是空想.从这个意义上讲，要培养学生的数学创新能力，必须继续加强“四基”教学.
“知识技能”既是学生发展的基础性目标，又是落实“数学思考”“问题解决”“情感态度”目标的载体.对于“四基”的学习，《课标（2011年版）》为我们指明了有效的做法：
其一，经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能；
其二，经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能；
其三，经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能；
其四，参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法解决简单问题的数学活动经验.
长期经过这样的训练，学生就能扎实掌握基础知识，具备创新的“源泉”或“资本”.
案例1求下列各式的值：
（1）1+1+1+…；
（2）1+11+11+….
对于初中学生来说，过去从未见过上面要求的无穷根式和无穷繁分式，他们根本不认识，至于求值，同学们一时摸不着头脑，根本无法下手.由此可见按“常规”方法是不能解决的.这时教师应鼓励学生不要怕“无穷”，要敢于面对它，大胆去分析、思考、想象、探索：
观察无穷式子（1）发现，只含有常数1并且其个数是无限的，不妨设1+1+1+…=a，大胆想象、积极探索、合情推理，巧用“无穷”，可知：1+a=a求得a=12（5+1）.
求出（1）的值后，学生很快类比求得（2）的值.
学生经过思考，不难发现这两个式子的值是相等的.
解答这个题目，学生除了应熟练掌握平方根和分式的概念外，还要具备很强的观察、判断和类比等数学能力.
这个例子要求我们：在数学基础知识的教学中，应注重学生对所学知识的理解，并在知识的应用中不断巩固和深化.为此，教师应注重数学知识与学生生活经验的联系、与学生学科知识的联系，组织学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析，抽象概括，运用知识进行判断.教师还应揭示知识的数学实质及其体现的数学思想，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系等.
另外，对于数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解.
学生经过长时间的学习，不仅能掌握数学知识，更能理解这些知识的“来龙去脉”，从而形成优化的数学认知结构，其数学创新能力就能逐步得到提高.3尊重学生的主体地位，努力转变学习方式
关于转变学习方式的问题是一个由来已久，但一直没有落实到位的问题.要实现《课标（2011年版）》提出的“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的课程理念，我们必须尊重学生的主体地位，下决心推行学习方式的转变.
《课标（2011年版）》指出“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.”这就是我们选择学习方式的“总原则”.
案例2：判定一次函数关系的过程.
一次函数是重要的函数，它在生活实际中有着广泛的应用.笔者在“一次函数的应用”中，曾经以华氏温度与摄氏温度之间的对应关系为例，引导学生探索某个函数关系是一次函数的.
我们知道，世界各国温度之间的计量单位尚不统一，常用的有摄氏温度（℃）和华氏温度（）两种.它们之间的关系如下表所示：
（1）观察上表，如果把表中的摄氏温度与华氏温度都看作变量，那么它们之间的函数关系是一次函数吗？你是如何探索得到的？图1
（2）你能利用（1）中的图象，写出y与x的函数表达式吗？
（3）你能通过分析上表中两个变量间的数量关系，判定它们之间是一次函数关系吗？
（4）你能求出华氏温度为0度（即）时，摄氏温度是多少度吗？
（5）华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能？你会用哪几种方法解决这个问题？与同学交流.
设计意图本问题是在学生已经学习了一次函数的概念、图象和性质的基础上设计的，学生利用已有的知识，自然会根据已有经验以表中每一对（x，y）的值作为点的坐标，在直角坐标系中描出表中相应的点，画出图1所示的图象，观察发现这些点都在同一条直线上，于是利用待定系数法确定出一次函数表达式.
根据表中给定的两个变量之间的数量关系判定这两个变量之间是否为一次函数是比较困难的.可引导学生从计算两个变量对应数值之差的比入手.学生通过计算将会发现这个比是一个常数，如68-8620-30=1.8，50-1410-（-10）=1.8，86-5030-10=1.8，….特别地，对于固定点（0，32）来说，同样有50-3210-0=1.8，68-3220-0=1.8，86-3220-0=1.8，14-32-10-0=1.8.如果设摄氏温度为x，相应的华氏温度为y，则有y-32x-0=1.8，整理得y=18x+32.因此，y是x的一次函数.有了这个结果后面的问题便迎刃而解.
总之，要实现学习方式的转变，教师就应从根本上树立起“一切为了学生”的观念，正确认识新的学习方式，确立新的教学观，转变教学方式，积极设计导学过程，让学生参与数学活动的全过程，彻底改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，大力倡导学生主动参入、乐于探究、勤与动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析问题和解决问题的能力以及交流与合作的能力.
4精心设计数学问题
在数学教学中，从课堂提问到新概念的形成与确立，新知识的巩固与应用，学生思维方法的训练与提高，以及实际应用能力和创新能力的增强，无不是从“问题”开始的.
教学中教师究竟应设计怎样的问题？笔者认为，应按照《课标（2011年版）》的要求，精心设计以下四几类问题：
（1）引起学生思考与猜想的问题；
（2）引导学生探究与发现的问题；
（3）引导学生进行实验操作的问题；
（4）有利于问题解决的问题.
案例3“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的证明过程.
对于这个判定定理，教师在引导学生学习时，不可直接证明，要设法让学生先发现这个结论，然后再证明.让学生发现的方法有许多，为突出数学直观性，培养学生的动手能力，建议让学生通过操作实验来得到.
（1）如图2，任意画一个∠B，在∠B的两边上分别任取两点A，C.
（2）以点A为圆心，BC的长为半径画弧，再以点C为圆心，BA的长为半径画弧，记两弧的交点为D，连接AD，CD.
（3）观察四边形ABCD的特点，你能得到怎样的猜想？并相互交流自己的结论；
（4）证明所得到的猜想，将其归纳成一般结论.
由上面的操作过程，学生可以发现，在图3中，已知AB=CD，且BC=AD，要证明四边形ABCD是平行四边形，只需连接AC，并证明△ABC与△CDA全等即可.这个证明思路就是同学们在作图的过程中发现的，学生一旦自主发现这个思路，详细的证明过程就容易了.长期这样训练就能彻底克服学生所反映的那种老师“添设辅助线总是马到成功，演算证明总是简捷而又灵活”，“我们是一听就懂，但一做题就错（或不会）”的“流行”现象.
5努力处理好四个关系
5.1面向全体与关注个性差异的关系
面向全体，就是使每一个学生都能有所发展.教学中一提面向全体，有人就在想，我应该把教学的难度定位在“优等生”、“学困生”还是“中等生”？如果这样思考的话，面向全体就成了一个“悖论”.我们认为在对待每一个学生的全面发展上，教师应“淡化差、尊重异”，不能采取统一化的、单一的教学方法.究竟怎样才能做到面向全体呢？笔者认为，我们应着眼于教学过程来认识“面向全体”，面向全体不是教学难度的定位，而是教学方法的改革，不是灌输，而是启发.（请参见贵刊2015年第12期笔者的文章《精心设计数学课堂，努力上好每一节课》）.
5.2合情推理与演绎推理的关系
我们的数学教学多年来对演绎推理比较重视，对合情推理重视程度不够.从学生发展的角度看，应大力培养其合情推理能力.《课标（2011年版）》指出，“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习的过程中.”这个要求有三层含义，
其一，就是把合情推理能力的培养贯穿于整个数学课程的各个学习内容之中.
其二，就是把合情推理能力的培养贯穿于数学课堂教学的各种活动过程之中.
其三，就是把合情推理能力的培养贯穿于整个数学学习的各个环节之中.
课堂中要引导学生做数学，让学生在观察、实验、猜想、证明等数学活动中发现数学结论的同时，其合情推理能力和初步的演绎推理能力都能获得相应的发展.
案例4“圆是轴对称图形”的发现过程.
为了引导学生自己发现圆是轴对称图形，教学中可以用下面的问题引导学生进行操作、归纳、交流等活动：图4
（1）在一张半透明的纸片上画一个圆，标出它的圆心O，再任意作出一条直径AB（图4）.将⊙O沿直径AB折叠，你发现了什么？
（2）再任意作一条直径，重复（1）中的操作.你还有同样的结论吗？
学生在动手操作的基础上，很容易发现下面的结论：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴.上面的这种设计除了能让学生发现圆的这一性质外，还能培养学生发现问题、提出问题的能力，而这正是合情推理能力的表现.
我们应把既教会学生猜想，又能把握证明；既能合情推理，又能严格论证作为教学的指导思想.
5.3结果与过程的关系
结果与过程的关系是教学过程中的一对十分重要的关系，与这一关系相关的还有：学习与思考、学会与会学、知识与智力、继承与创新等关系.从学科本身来讲，结论表示的是该学科的结果，而过程则体现着该学科的探究过程与探究方法.结论与过程是相互作用、相互依存、相互转化的关系，有什么样的探究过程就有什么样的探究结论，结论的获得往往依赖于特定的探究过程.二者的有机结合才能体现一门学科的整体内涵和思想.大部分老师都已经认识到“重结论，轻过程”的教学效果是不理想的，在教学中他们也试图努力“彰显过程”，但不能“持之以恒”.
华罗庚先生曾说过：“不要只给学生看做好了的饭，更要让学生看做饭的过程，数学教学要设法使数学知识‘活起来.”通过设计的问题，引导学生经历一系列的数学活动（如阅读教材、独立思考、分析判断、实验操作，推理验算、探究发现等），在经历这些数学活动的过程中，发现有关的结论.真正使“教学过程成为学生持续不断的探索过程.”
5.4预设与生成的关系
教学从本质上讲就是预设和生成的矛盾统一体.“预设”是指在深入研究相关材料以及科学分析学情的前提下，所形成的教学方案.“生成”则指学生在学习活动中表现出的“出乎预设”的信息.预设是非常必要的，没有预设，课堂教学就有可能失控，难以完成教学任务.但在课堂教学中，如果教师只是按预设方案进行，不能对学生学习中表现出来的问题给予关注，则会排斥学生的个性思考，抹杀学生的创造智慧.因此，教师在实施教学方案的同时要根据生成情况，及时把握、因势利导，适时调整预案，使教学活动收到更好的效果.
在数学教学中，教师应深入研究教材和学生，努力挖掘教学内容中有关的教育资源，制定恰当的学习目标，重视基础知识的传授，尊重学生的主体地位，精心设计能引导学生进行探索活动的问题系列，以此激发学生的学习兴趣，让他们通过独立思考或者合作交流感悟所学具体知识中蕴涵的数学思想与方法，不断积累数学活动经验，提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，并且逐步形成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等良好的学习习惯.只有这样学生的综合能力才能不断得到提高和发展，才能最终实现《课标（2011年版）》提出的“使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力，培养学生的创新意识和实践能力，促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展”的目标，真正为学生的未来生活、工作和学习奠定重要的基础.
参考文献
[1]李树臣.关于形成数学活动经验的若干思考[J].中学数学杂志，2011（12）.
[2]李树臣.正确认识和重视对数学思考的培养[J].中学数学杂志，2015（2）.
[3]李树臣.充分体现课标理念，促进学生全面发展——《义务教育教科书·数学》编写的主要原则[J].中学数学杂志，2015（8）.
[4]李树臣.论几何直观的教育教学价值[J].中国数学教育，2015（7-8）.
[5]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[6]史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
