研究性教学在高等数学教学中的探索与实践
高翔宇 张显 巩诚
[摘 要]高等数学具有高度的抽象性和逻辑性，将研究性教学和其他教学方式相结合，可以培养学生的学习兴趣，提高学生的学习能力，提升本科教育培养人才的质量，实现高等教育的人才培养目标。这可以通过以下四个方面来实现：1.培养学生研究意识，让学生学会学习；2.提高学生自主学习、主动探索的能力；3.培养学生的创新精神和能力；4.培养学生互相合作、协调解决问题的能力。
[关键词]本科生；高等数学；研究性教学；问题教学法
[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2017）06-0004-02
一、在高等数学教学中进行研究性教学的必要性
由于高等数学具有高度的抽象性和逻辑性，很多高校学生在短期内很难改变高中时死记硬背的学习习惯，无法适应大学数学学习内容丰富而灵活的特点，他们学起高等数学来往往会感到力不从心，甚至有个别学生对高等数学产生厌烦、恐惧的心理，从而造成挂科的情况。本文以此为出发点，希望通过研究性教学来激发学生学习高等数学的兴趣，锻炼学生独立思考问题、分析问题和解决问题的能力，从而改变学生对高等数学课程学而生畏的现象。
研究性教学并不是摒弃以往传统的教学模式（口授型教学），而是以其为基础，在教学过程中不断地渗透“研究性”思想，在各个教学活动都应适时地体现学生的主体性与教学的研究性。笔者主要在以下三个方面进行研究并付诸实践：1.基于课堂的研究性教学；2.基于习题的研究性教学；3.基于科研的研究性教学。
二、在高等数学教学中三种不同的教学模式
（一）问题教学法
问题教学法是教师采取提出问题，启发学生分析问题，最后师生共同分析、解决问题和学生独立探究问题的教学模式。这种教学法能充分发挥学生的主观能动性和自觉性。平等、民主的师生关系是实施问题教学法的前提，弹性、宽松的教学管理是实施问题教学法的条件，同时，教师应具备提问的技巧，学生应具备问题意识。问题教学法实施的具体步骤如下：第1步，以问题为核心，创设情境提出问题；第2步，以问题激发学生的学习兴趣，导入新内容；第3步，以问题为主线，通过合作學习来解决问题；第4步，总结归纳，进一步深化问题；第5步，进行问题式教学法结果分析，下面举例进行说明。在讲罗比达法则的灵活应用时，首先让学生说运用罗比达法则需要满足什么样的条件，并举例让学生运用罗比达法则计算极限，所给的例子尽可能用罗比达法则越算越麻烦，甚至无法算出来。其次，通过分析例子告诉学生直接运用罗比达法则求导数复杂的原因， 告诉学生运用什么样的方法才能让求导数变得简单易算，比如运用等价无穷小量的替换、极限的四则运算法则等方法进行处理。最后，比较并归纳总结灵活运用罗比达法则应注意的事项：1.运用罗比达法则的关键在于函数易于求导，并在求导之后的极限变得简单；2.为了便于求函数的导数，需要灵活运用等价无穷小量的替换和极限的四则运算法则；3.导函数极限不存在，其原函数的极限未必不存在。
（二）案例教学法
案例教学法是指根据教学目标和教学内容的需要，学生在教师的指导下对经典案例进行学习和研究，在此过程中，教师和学生需要共同参，并对对经典案例进行分析、探讨、评价和寻找解决问题的办法等。和传统教学方法相比，案例教学法不仅重视知识的传授，更重视对知识的理解和灵活应用。案例教学法强调在教学中以学生为中心，充分发挥学生在教学中的主动性和自觉性，着重提高学生的内在素质并培养学生分析问题、解决问题的能力。例如，在讲解定积分的概念时，为便于理解，我们给出了已知汽车变速直线运动的运动速度和运动时间，求汽车位移的例子。显然，当汽车是匀速直线运动时，汽车的位移等于其速度乘以运动时间；但是，当汽车变速直线运动时，无法直接运用速度乘以运动时间获得汽车位移。这时，需要问学生怎么办？最好的办法是将时间分割成小段，每一小段可以近似看作是匀速运动，从而可以求得这一小段的位移，将每段的位移相加便可获得汽车在整个时间段的近似位移。值得注意的是，对时间分割得越细，获得的汽车近似位移就越精确。如何刻画时间分割的细致程度呢？运用极限的思想可以解决该问题。最后，归纳总结解决该问题的具体步骤：第1步，分割；第2步，求和；第3步，求极限。
（三）研讨教学法
研讨教学法是指教师根据教学目标和教学内容提出具有一定研讨价值的问题，组织学生进行学习、研究和探讨，让学生在教师的启发下思考、在彼此的争辩中学习，培养学生富有创造性的学习能力，并使其达到认知思维和情感思维的高度，最终使学生具有抽象思维能力和逻辑推理能力。研讨教学法以培养学生对所研讨问题的思维能力为中心。在教学过程中，学生最好能自己提出问题，独立分析问题，教师应鼓励学生大胆发表对所研讨问题的看法，并引导学生能随着问题的变化，比较灵活地选择解决问题的方法和途径，最终让学生能抓住问题的本质，寻找到解决问题的最简单办法。在此过程中，教师应着重培养学生对抽象和具体问题思维的灵活性和独创性。比如在讲解完积分中值定理和牛顿-莱布尼兹公式时，可以给学生留一个有趣的问题：设函数f（x）在[a，b]上连续，则存在S？缀（a，b），使得■f（t）dt=f（S）（b-a）。在积分中值定理中，该问题的结论为S？缀[a，b]，而在该问题中S？缀（a，b）。如何证明该问题呢？让学生课下思考这个问题。下次上课的时候可以通过回答这个问题让学生复习牛顿-莱布尼兹公式，然后运用拉格朗日中值定理解决该问题。
三、研究性教学在高等数学教学中的实施
本文研讨将教学法融进问题教学法和案例教学法的方案，以问题教学法和案例教学法为主线，并结合研讨教学法实施。教师提出问题，引导学生分析问题，鼓励学生大胆发表意见，并积极地寻找解决问题的方法，最终抓住问题的本质，找到解决问题的最佳办法，通过这样的方式来培养学生分析和解决问题的能力。具体的实施方案如下。
（一）问题教学法结合研讨教学法实施方案
本方案以问题教学法为主，以研讨教学法为辅，其教学目标和教学内容比较明确。运用问题教学法进行教学，有利于培养学生的学习兴趣，提高学生分析问题的能力。其具体步骤概括如下。
步骤1：创造问题意境，尽可能让学生发现并提出问题。
步骤2：将学生提出的问题和教学目的相结合，教师要明确主要解决的问题。
步骤3：学生独立分析问题，可提出假设和猜想，并设计解决问题的具体方案。
步骤4：运用所提出的方案尝试解决问题（要允许学生犯错误）。
步骤5：检验解决问题方法的正确性，进行归纳总结。
步骤6：将所解决的问题进一步扩展，为进一步探究奠定基础。
以上步骤是本方案的基本操作程序，教师在实践中应结合高等数学的特点与教学实际加以灵活运用。
（二）案例教学法结合研讨教学法实施方案
本方案以案例教学法为主，辅以研讨教学法。其主要步骤如下。
步骤1：学生准备阶段。在集中讨论开始前一两周，将案例材料发给学生。让学生阅读案例材料，并查阅与案例相关的信息，分析案例中问题产生的原因。在此阶段，教师可以根据案例提出一些问题，让学生更有针对性地学习和研究。
步骤2：小组组织讨论。可根据学生的成绩、平时表现以及自行组织的原则将学生分成由3～5人组成的小组。小组成员尽可能多样化，这样在探讨时大家的讨论才能更激烈，学生对案例的理解才会更深刻。各小组的讨论地点最好彼此分开，以他们自己的有效方式进行即可。
步骤3：小组集中讨论。各个小组派出代表，发表对于案例的分析情况和看法。表达看法的时间一般控制在20 分钟以内，发言完毕后要接受其他小组成员的提问并给出解释，但所提出的问题可由本小组成员共同回答。小组集中讨论为学生自由发挥过程，教师为组织者，此时的发言将扩展和深化学生对案例的理解。最后，可以重点讨论意见比较集中的问题和处理方法。
步骤4：归纳总结阶段。在小组讨论和集中讨论之后，将留出一部分时间让学生进行归纳总结，总结提出问题的思维方式，分析问题的方法和技巧， 解决问题的经验和规律，并以书面的形式写出来。这样学生的体会将更深刻，对案例本身和案例所反映出来的各种不同问题才会有一个更加全面的认识。
对于本科生教学来说，内容决定模式和方法，方式方法决定质量和效率。研究性教学的主要目标就是要利用有效的方式来提升本科教育培養人才的质量，实现高等教育的人才培养目标。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 何云峰.大学“研究性教学”国际向度、木土实践与现实反思[J].教育与现代化，2010（4）：29-33.
[2] 来茂德.发挥研究型大学优势，推进本科研究性教学[J].中国高等教育，2005（17）：28-29.
[3] 王秀友. 提高研究型教学的实效性[J].阜阳师范学院学报， 2005（5）：105-106.
[责任编辑：陈 明]
[摘 要]高等数学具有高度的抽象性和逻辑性，将研究性教学和其他教学方式相结合，可以培养学生的学习兴趣，提高学生的学习能力，提升本科教育培养人才的质量，实现高等教育的人才培养目标。这可以通过以下四个方面来实现：1.培养学生研究意识，让学生学会学习；2.提高学生自主学习、主动探索的能力；3.培养学生的创新精神和能力；4.培养学生互相合作、协调解决问题的能力。
[关键词]本科生；高等数学；研究性教学；问题教学法
[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2017）06-0004-02
一、在高等数学教学中进行研究性教学的必要性
由于高等数学具有高度的抽象性和逻辑性，很多高校学生在短期内很难改变高中时死记硬背的学习习惯，无法适应大学数学学习内容丰富而灵活的特点，他们学起高等数学来往往会感到力不从心，甚至有个别学生对高等数学产生厌烦、恐惧的心理，从而造成挂科的情况。本文以此为出发点，希望通过研究性教学来激发学生学习高等数学的兴趣，锻炼学生独立思考问题、分析问题和解决问题的能力，从而改变学生对高等数学课程学而生畏的现象。
研究性教学并不是摒弃以往传统的教学模式（口授型教学），而是以其为基础，在教学过程中不断地渗透“研究性”思想，在各个教学活动都应适时地体现学生的主体性与教学的研究性。笔者主要在以下三个方面进行研究并付诸实践：1.基于课堂的研究性教学；2.基于习题的研究性教学；3.基于科研的研究性教学。
二、在高等数学教学中三种不同的教学模式
（一）问题教学法
问题教学法是教师采取提出问题，启发学生分析问题，最后师生共同分析、解决问题和学生独立探究问题的教学模式。这种教学法能充分发挥学生的主观能动性和自觉性。平等、民主的师生关系是实施问题教学法的前提，弹性、宽松的教学管理是实施问题教学法的条件，同时，教师应具备提问的技巧，学生应具备问题意识。问题教学法实施的具体步骤如下：第1步，以问题为核心，创设情境提出问题；第2步，以问题激发学生的学习兴趣，导入新内容；第3步，以问题为主线，通过合作學习来解决问题；第4步，总结归纳，进一步深化问题；第5步，进行问题式教学法结果分析，下面举例进行说明。在讲罗比达法则的灵活应用时，首先让学生说运用罗比达法则需要满足什么样的条件，并举例让学生运用罗比达法则计算极限，所给的例子尽可能用罗比达法则越算越麻烦，甚至无法算出来。其次，通过分析例子告诉学生直接运用罗比达法则求导数复杂的原因， 告诉学生运用什么样的方法才能让求导数变得简单易算，比如运用等价无穷小量的替换、极限的四则运算法则等方法进行处理。最后，比较并归纳总结灵活运用罗比达法则应注意的事项：1.运用罗比达法则的关键在于函数易于求导，并在求导之后的极限变得简单；2.为了便于求函数的导数，需要灵活运用等价无穷小量的替换和极限的四则运算法则；3.导函数极限不存在，其原函数的极限未必不存在。
（二）案例教学法
案例教学法是指根据教学目标和教学内容的需要，学生在教师的指导下对经典案例进行学习和研究，在此过程中，教师和学生需要共同参，并对对经典案例进行分析、探讨、评价和寻找解决问题的办法等。和传统教学方法相比，案例教学法不仅重视知识的传授，更重视对知识的理解和灵活应用。案例教学法强调在教学中以学生为中心，充分发挥学生在教学中的主动性和自觉性，着重提高学生的内在素质并培养学生分析问题、解决问题的能力。例如，在讲解定积分的概念时，为便于理解，我们给出了已知汽车变速直线运动的运动速度和运动时间，求汽车位移的例子。显然，当汽车是匀速直线运动时，汽车的位移等于其速度乘以运动时间；但是，当汽车变速直线运动时，无法直接运用速度乘以运动时间获得汽车位移。这时，需要问学生怎么办？最好的办法是将时间分割成小段，每一小段可以近似看作是匀速运动，从而可以求得这一小段的位移，将每段的位移相加便可获得汽车在整个时间段的近似位移。值得注意的是，对时间分割得越细，获得的汽车近似位移就越精确。如何刻画时间分割的细致程度呢？运用极限的思想可以解决该问题。最后，归纳总结解决该问题的具体步骤：第1步，分割；第2步，求和；第3步，求极限。
（三）研讨教学法
研讨教学法是指教师根据教学目标和教学内容提出具有一定研讨价值的问题，组织学生进行学习、研究和探讨，让学生在教师的启发下思考、在彼此的争辩中学习，培养学生富有创造性的学习能力，并使其达到认知思维和情感思维的高度，最终使学生具有抽象思维能力和逻辑推理能力。研讨教学法以培养学生对所研讨问题的思维能力为中心。在教学过程中，学生最好能自己提出问题，独立分析问题，教师应鼓励学生大胆发表对所研讨问题的看法，并引导学生能随着问题的变化，比较灵活地选择解决问题的方法和途径，最终让学生能抓住问题的本质，寻找到解决问题的最简单办法。在此过程中，教师应着重培养学生对抽象和具体问题思维的灵活性和独创性。比如在讲解完积分中值定理和牛顿-莱布尼兹公式时，可以给学生留一个有趣的问题：设函数f（x）在[a，b]上连续，则存在S？缀（a，b），使得■f（t）dt=f（S）（b-a）。在积分中值定理中，该问题的结论为S？缀[a，b]，而在该问题中S？缀（a，b）。如何证明该问题呢？让学生课下思考这个问题。下次上课的时候可以通过回答这个问题让学生复习牛顿-莱布尼兹公式，然后运用拉格朗日中值定理解决该问题。
三、研究性教学在高等数学教学中的实施
本文研讨将教学法融进问题教学法和案例教学法的方案，以问题教学法和案例教学法为主线，并结合研讨教学法实施。教师提出问题，引导学生分析问题，鼓励学生大胆发表意见，并积极地寻找解决问题的方法，最终抓住问题的本质，找到解决问题的最佳办法，通过这样的方式来培养学生分析和解决问题的能力。具体的实施方案如下。
（一）问题教学法结合研讨教学法实施方案
本方案以问题教学法为主，以研讨教学法为辅，其教学目标和教学内容比较明确。运用问题教学法进行教学，有利于培养学生的学习兴趣，提高学生分析问题的能力。其具体步骤概括如下。
步骤1：创造问题意境，尽可能让学生发现并提出问题。
步骤2：将学生提出的问题和教学目的相结合，教师要明确主要解决的问题。
步骤3：学生独立分析问题，可提出假设和猜想，并设计解决问题的具体方案。
步骤4：运用所提出的方案尝试解决问题（要允许学生犯错误）。
步骤5：检验解决问题方法的正确性，进行归纳总结。
步骤6：将所解决的问题进一步扩展，为进一步探究奠定基础。
以上步骤是本方案的基本操作程序，教师在实践中应结合高等数学的特点与教学实际加以灵活运用。
（二）案例教学法结合研讨教学法实施方案
本方案以案例教学法为主，辅以研讨教学法。其主要步骤如下。
步骤1：学生准备阶段。在集中讨论开始前一两周，将案例材料发给学生。让学生阅读案例材料，并查阅与案例相关的信息，分析案例中问题产生的原因。在此阶段，教师可以根据案例提出一些问题，让学生更有针对性地学习和研究。
步骤2：小组组织讨论。可根据学生的成绩、平时表现以及自行组织的原则将学生分成由3～5人组成的小组。小组成员尽可能多样化，这样在探讨时大家的讨论才能更激烈，学生对案例的理解才会更深刻。各小组的讨论地点最好彼此分开，以他们自己的有效方式进行即可。
步骤3：小组集中讨论。各个小组派出代表，发表对于案例的分析情况和看法。表达看法的时间一般控制在20 分钟以内，发言完毕后要接受其他小组成员的提问并给出解释，但所提出的问题可由本小组成员共同回答。小组集中讨论为学生自由发挥过程，教师为组织者，此时的发言将扩展和深化学生对案例的理解。最后，可以重点讨论意见比较集中的问题和处理方法。
步骤4：归纳总结阶段。在小组讨论和集中讨论之后，将留出一部分时间让学生进行归纳总结，总结提出问题的思维方式，分析问题的方法和技巧， 解决问题的经验和规律，并以书面的形式写出来。这样学生的体会将更深刻，对案例本身和案例所反映出来的各种不同问题才会有一个更加全面的认识。
对于本科生教学来说，内容决定模式和方法，方式方法决定质量和效率。研究性教学的主要目标就是要利用有效的方式来提升本科教育培養人才的质量，实现高等教育的人才培养目标。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 何云峰.大学“研究性教学”国际向度、木土实践与现实反思[J].教育与现代化，2010（4）：29-33.
[2] 来茂德.发挥研究型大学优势，推进本科研究性教学[J].中国高等教育，2005（17）：28-29.
[3] 王秀友. 提高研究型教学的实效性[J].阜阳师范学院学报， 2005（5）：105-106.
[责任编辑：陈 明]
