运用变式教学进行概念课教学的设计与反思
梁艳云
数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在人脑中的反映，数学概念教学是数学课程的重要组成部分，在概念教学时，重视对学生从直观感性认识到抽象思维过程的指导，让学生亲身经历概念形成的全过程，感受数学概念形成的自然性与合理性.变式教学概念课的教学模式是采用变式设计思路，创设具有现实意义的实际问题导入新课，让学生从实例中通过顺应与同化抽象概括出具有本质属性的数学概念，进一步运用具有递进关系的变式题组巩固概念和深度理解概念，使学生经历概念的发生、发展、运用、理解、深化的教学过程，旨在培养学生的自主建构的能力，着眼于学生的长远发展.具体设计思路为：问
题情境→探究新知→形成概念→变式深化→总结升华五个环节.应当指出，上述五个环节可根据具体情况有所删减.下面以新人教版九年级上册“一元二次方程”为例，说明如何运用变式教学进行概念课设计.
教学设计
一、问题情境
新知来源于问题，所以创设问题情境应从概念的来源入手.根据概念的来源，概念大致可分为两类：一类是来源于生活、生产、科研等实际，也就是根据实际问题抽象出来的概念；一类是由已知概念得到的新概念.
问题导入 下图是小颖家购买的一套三居室的平面设计图，在装修过程中遇到了不少数学问题，今天让我们一起来思考这些问题吧！
根据题意列出方程.
问题1 小颖家的厨房、餐厅和客厅的面积和为40m2，若餐厅和客厅的面积和比厨房面积的3倍多2m2，设厨房面积xm2，则x满足的方程是： .
变式1 小颖家购买的格兰美的墙砖价格是36元/块，两年前的价格是48元/块，设这种墙砖价格的年平均下降率为x，则x满足的方程是： .
变式2 小颖家客厅的墙壁设计了一面漂亮的背景墙，长方形的背景墙面积为72m2，已知长比宽多06m，设宽为xm，则x满足的方程是： .
变式3 小颖家装修时，有甲、乙两个工程队想要承包，其中甲队单独装修需要x天，乙队单独装修比甲队多2天，若甲、乙两队合作完成需要20天，则x满足的方程是 .
设计说明 这里没有直接提供几个一元二次方程让学生通过观察、比较、分析从而快速切入一元二次方程的概念教学，而是设计了一组与生活紧密关联的变式题组，给学生充分感悟数学与生活的联系，让学生体验由生活实际到数学模型的抽象过程.
二、探究新知
这是根据教师创设的问题情境，学生自主创新学习的过程.它包括学生个体自主探究、小组相互讨论、集体相互讨论、师生相互释疑等自主创新的方式.
我们利用方程可以表示上述几个生活实例中的数量关系，请同学们观察这四个方程，然后思考下列问题.（引导学生对上述四个方程进行适当的化简）
化简后的方程：
观察思考
（1）你能将这四个方程分成几类？怎样分？
（2）观察整式方程，它们各含有几个未知数，未知数的指数、系数、项数各有什么特点？
（3）除一元一次方程外的另外两个整式方程，它们有什么共同特点？你能概括吗？
（4）一元一次方程的一般式怎样表示？
（5）你能用一个一般式表示这一类方程吗？
设计说明 方程是初中数学的核心概念之一，它的学习是一个不断螺旋上升的过程.问题串的设计步步为营，层层推进，逐步唤醒学生对已学方程的回忆，通过观察、比较、感知，让学生在原有知识的基础上进一步概括出新的概念模型，促使一元二次方程新概念的自然生成，起到了承上启下的作用.
三、形成概念
这是在学生充分探究、讨论的基础上，学生自主归纳、概括、抽象形成概念的过程.
设计说明 问题2是一道辨析题，其中设计了五个小问题，每一小问题都有意图：①缺一次项，②缺常数项，虽然与一元二次方程的一般式形式相异，但符合一元二次方程的概念，所以是一元二次方程；③形式与一般式完全相同，但缺少了二次项系数不为0的条件，强化“形式+条件”这一模型的深化理解；④需要化简后才能辨别，整理成一般式后容易判断是一元二次方程，强调先化简再判断的解题思路；⑤是分式方程，与一元二次方程的概念不符，同时与④在判断思路上进行比较，提醒学生若将⑤进行化简，则前后化简有本质区别.对新概念的学习需要从形式和本质上加以熟悉和理解，只有经历新旧知识的比较、辨析、甄别等一系列的思维过程，才能逐步内化成为已有知识的一部分.
变式1 问题2中是一元二次方程的，请将它们化为一般式，并指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
变式2 当满足______时，ax2+bx+c=0是一元二次方程.
变式3 当满足______时，ax2+bx+c=0是一元一次方程.
变式4 关于x的方程m+1x______m-1+mx-1=0是一元二次方程，则m=______.
变式5 关于x的方程m+1x______m-1+mx-1=0是一元一次方程，则m=______.
设计说明 问题2的设计为变式1、变式2、变式3、变式4、变式5的设计埋下了伏笔，起到问题功能更大化的作用，这组变式题设计的巧妙之处在于，既相互关联，又有新的发展与突破，既不牵强又自然流畅，起点低，落点高，既巩固了一元一次方程、一元二次方程的概念，又渗透了分类思想，从特殊到一般、由具体到抽象的数学思想.
五、总结升华
1.本节课有哪些收获？对同学们有哪些温馨提示？还有什么困惑？
2.今天我们主要学习了一元二次方程的概念，对于方程概念的学习我们是按怎样的思
路展开的？而对于方程整章内容的学习我们又是按照怎样的模式进行的？
设计说明 课堂小结是不可或缺的，它能帮助学生把所学内容共同的、本质的特征总结归纳出来，使学生形成规律性的认识，梳理出所学知识的逻辑结构，并有机地纳入到已有的认知系统中，形成可迁移的知识和能力.通过本节课的学习，教师可引导学生归纳出方程学习的基本经验，即方程概念学习的基本思路：生活实例——探究新知——形成概念——变式巩固——变式拓展——总结升华；方程研究的基本模式：概念——解法——应用.这些学习经验的获得，可以防止学生学习的狭隘性和盲目性，增强学习的自信心和前瞻性，让学生感觉我们的学习不是瞎子摸象，而是“会当凌绝顶，一览众山小”.
教学反思
“变式教学”就是指以培养学生灵活转换、独立思考能力为目的，在教学过程中教师精心设计一些不断变更问题情景或改变思维角度，由简到繁，由易到难的数学问题，使事物的非本质属性时隐时现，而事物的本质属性却始终保持不变的教学形式.它实际上是教师有目的地通过变式为学生组织了一个引导思维的活动，其精髓是多角度思考，分层次推进.它的核心是利用一系列的问题变式，来展示知识的发生、发展和形成过程，揭示数学问题的结构和演变过程，暴露解决问题的思维过程.在教学设计过程中，我们将变式教学的思想渗透到概念课教学的五个环节中.
在“问题情境”环节中，以“房屋装修”为背景，创设了以测量房屋面积—购买装修材料—规划背景墙—计算装修时间为素材的变式题，问题既贴近学生生活，又合情合理、流畅自然，为学生创设生动形象的教学情境，激发学生自主学习的内驱力；也体现了数学来源于生活又服务于生活.在“探究新知”和“形成概念”环节中，通过问题串，引导学生观察思考，对比整式方程与分式方程，进行方程分类，再对整式方程的未知数的指数、系数和项数进行类比，从而形成一元二次方程的概念.在“变式深化”环节中，在问题2辨析题的基础上设计了一组变式题，问题设计由数字到字母，由特殊到一般，让学生对一元二次方程的概念进行了深层次的理解.问题由浅入深，层层推进，质朴无痕.在“总结升华”环节中，对课堂教学内容及方法作适当的总结，使学生对所学概念、方法的认识得以升华.一是建立新知识的内在联系，并纳入原有知识系统，形成知识结构，实现内化过程中的再建构；二是对研究问题的方法进行回顾、反思，使学生逐步掌握自主创新学习的方式方法，培养科学、严谨的研究态度，从而全面完成教学目标，逐步形成创新能力.
数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在人脑中的反映，数学概念教学是数学课程的重要组成部分，在概念教学时，重视对学生从直观感性认识到抽象思维过程的指导，让学生亲身经历概念形成的全过程，感受数学概念形成的自然性与合理性.变式教学概念课的教学模式是采用变式设计思路，创设具有现实意义的实际问题导入新课，让学生从实例中通过顺应与同化抽象概括出具有本质属性的数学概念，进一步运用具有递进关系的变式题组巩固概念和深度理解概念，使学生经历概念的发生、发展、运用、理解、深化的教学过程，旨在培养学生的自主建构的能力，着眼于学生的长远发展.具体设计思路为：问
题情境→探究新知→形成概念→变式深化→总结升华五个环节.应当指出，上述五个环节可根据具体情况有所删减.下面以新人教版九年级上册“一元二次方程”为例，说明如何运用变式教学进行概念课设计.
教学设计
一、问题情境
新知来源于问题，所以创设问题情境应从概念的来源入手.根据概念的来源，概念大致可分为两类：一类是来源于生活、生产、科研等实际，也就是根据实际问题抽象出来的概念；一类是由已知概念得到的新概念.
问题导入 下图是小颖家购买的一套三居室的平面设计图，在装修过程中遇到了不少数学问题，今天让我们一起来思考这些问题吧！
根据题意列出方程.
问题1 小颖家的厨房、餐厅和客厅的面积和为40m2，若餐厅和客厅的面积和比厨房面积的3倍多2m2，设厨房面积xm2，则x满足的方程是： .
变式1 小颖家购买的格兰美的墙砖价格是36元/块，两年前的价格是48元/块，设这种墙砖价格的年平均下降率为x，则x满足的方程是： .
变式2 小颖家客厅的墙壁设计了一面漂亮的背景墙，长方形的背景墙面积为72m2，已知长比宽多06m，设宽为xm，则x满足的方程是： .
变式3 小颖家装修时，有甲、乙两个工程队想要承包，其中甲队单独装修需要x天，乙队单独装修比甲队多2天，若甲、乙两队合作完成需要20天，则x满足的方程是 .
设计说明 这里没有直接提供几个一元二次方程让学生通过观察、比较、分析从而快速切入一元二次方程的概念教学，而是设计了一组与生活紧密关联的变式题组，给学生充分感悟数学与生活的联系，让学生体验由生活实际到数学模型的抽象过程.
二、探究新知
这是根据教师创设的问题情境，学生自主创新学习的过程.它包括学生个体自主探究、小组相互讨论、集体相互讨论、师生相互释疑等自主创新的方式.
我们利用方程可以表示上述几个生活实例中的数量关系，请同学们观察这四个方程，然后思考下列问题.（引导学生对上述四个方程进行适当的化简）
化简后的方程：
观察思考
（1）你能将这四个方程分成几类？怎样分？
（2）观察整式方程，它们各含有几个未知数，未知数的指数、系数、项数各有什么特点？
（3）除一元一次方程外的另外两个整式方程，它们有什么共同特点？你能概括吗？
（4）一元一次方程的一般式怎样表示？
（5）你能用一个一般式表示这一类方程吗？
设计说明 方程是初中数学的核心概念之一，它的学习是一个不断螺旋上升的过程.问题串的设计步步为营，层层推进，逐步唤醒学生对已学方程的回忆，通过观察、比较、感知，让学生在原有知识的基础上进一步概括出新的概念模型，促使一元二次方程新概念的自然生成，起到了承上启下的作用.
三、形成概念
这是在学生充分探究、讨论的基础上，学生自主归纳、概括、抽象形成概念的过程.
设计说明 问题2是一道辨析题，其中设计了五个小问题，每一小问题都有意图：①缺一次项，②缺常数项，虽然与一元二次方程的一般式形式相异，但符合一元二次方程的概念，所以是一元二次方程；③形式与一般式完全相同，但缺少了二次项系数不为0的条件，强化“形式+条件”这一模型的深化理解；④需要化简后才能辨别，整理成一般式后容易判断是一元二次方程，强调先化简再判断的解题思路；⑤是分式方程，与一元二次方程的概念不符，同时与④在判断思路上进行比较，提醒学生若将⑤进行化简，则前后化简有本质区别.对新概念的学习需要从形式和本质上加以熟悉和理解，只有经历新旧知识的比较、辨析、甄别等一系列的思维过程，才能逐步内化成为已有知识的一部分.
变式1 问题2中是一元二次方程的，请将它们化为一般式，并指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
变式2 当满足______时，ax2+bx+c=0是一元二次方程.
变式3 当满足______时，ax2+bx+c=0是一元一次方程.
变式4 关于x的方程m+1x______m-1+mx-1=0是一元二次方程，则m=______.
变式5 关于x的方程m+1x______m-1+mx-1=0是一元一次方程，则m=______.
设计说明 问题2的设计为变式1、变式2、变式3、变式4、变式5的设计埋下了伏笔，起到问题功能更大化的作用，这组变式题设计的巧妙之处在于，既相互关联，又有新的发展与突破，既不牵强又自然流畅，起点低，落点高，既巩固了一元一次方程、一元二次方程的概念，又渗透了分类思想，从特殊到一般、由具体到抽象的数学思想.
五、总结升华
1.本节课有哪些收获？对同学们有哪些温馨提示？还有什么困惑？
2.今天我们主要学习了一元二次方程的概念，对于方程概念的学习我们是按怎样的思
路展开的？而对于方程整章内容的学习我们又是按照怎样的模式进行的？
设计说明 课堂小结是不可或缺的，它能帮助学生把所学内容共同的、本质的特征总结归纳出来，使学生形成规律性的认识，梳理出所学知识的逻辑结构，并有机地纳入到已有的认知系统中，形成可迁移的知识和能力.通过本节课的学习，教师可引导学生归纳出方程学习的基本经验，即方程概念学习的基本思路：生活实例——探究新知——形成概念——变式巩固——变式拓展——总结升华；方程研究的基本模式：概念——解法——应用.这些学习经验的获得，可以防止学生学习的狭隘性和盲目性，增强学习的自信心和前瞻性，让学生感觉我们的学习不是瞎子摸象，而是“会当凌绝顶，一览众山小”.
教学反思
“变式教学”就是指以培养学生灵活转换、独立思考能力为目的，在教学过程中教师精心设计一些不断变更问题情景或改变思维角度，由简到繁，由易到难的数学问题，使事物的非本质属性时隐时现，而事物的本质属性却始终保持不变的教学形式.它实际上是教师有目的地通过变式为学生组织了一个引导思维的活动，其精髓是多角度思考，分层次推进.它的核心是利用一系列的问题变式，来展示知识的发生、发展和形成过程，揭示数学问题的结构和演变过程，暴露解决问题的思维过程.在教学设计过程中，我们将变式教学的思想渗透到概念课教学的五个环节中.
在“问题情境”环节中，以“房屋装修”为背景，创设了以测量房屋面积—购买装修材料—规划背景墙—计算装修时间为素材的变式题，问题既贴近学生生活，又合情合理、流畅自然，为学生创设生动形象的教学情境，激发学生自主学习的内驱力；也体现了数学来源于生活又服务于生活.在“探究新知”和“形成概念”环节中，通过问题串，引导学生观察思考，对比整式方程与分式方程，进行方程分类，再对整式方程的未知数的指数、系数和项数进行类比，从而形成一元二次方程的概念.在“变式深化”环节中，在问题2辨析题的基础上设计了一组变式题，问题设计由数字到字母，由特殊到一般，让学生对一元二次方程的概念进行了深层次的理解.问题由浅入深，层层推进，质朴无痕.在“总结升华”环节中，对课堂教学内容及方法作适当的总结，使学生对所学概念、方法的认识得以升华.一是建立新知识的内在联系，并纳入原有知识系统，形成知识结构，实现内化过程中的再建构；二是对研究问题的方法进行回顾、反思，使学生逐步掌握自主创新学习的方式方法，培养科学、严谨的研究态度，从而全面完成教学目标，逐步形成创新能力.
