极坐标与参数方程问题中直线方程的作用分析
李刚
摘要：极坐标与参数方程是高考选考内容，注重考查学生对本领域知识的理解和应用。本文以2020年高考极坐标与参数方程命题为出发点，结合以往的典型例题，以直线方程的三种形式为指导，以数形结合为核心，完成知识的应用与迁移，提升学生数学核心素养。
关键词：极坐标与参数方程 直线方程 一题多解
一、極坐标与参数方程的背景分析
在新课程标准改革的推动下，极坐标与参数方程被纳入新课程选修模块中，在高考中以选做题形式考查，总分10分，总体难度不是很大，但是学生的总体得分率不高。在某些统计中发现，大约有三分之二的学生会选择“极坐标与参数方程”，但是这其中有50%的得分不足4分，70%的得分不足7分，满分率不足7.5%，甚至超过15%的考生不得分。为什么会出现这种情况？以下几方面原因可供我们思考：1.学生对极坐标和参数方程的理解不够，很多学生只局限在转化为直角坐标普通方程，思想方法没有提升;2.直角坐标普通方程的转化实质牵涉到知识的迁移和知识点的转化，是多知识的交汇，思维品质和运算能力比很多同学理解的要求要高;3.高考的命题很多考查是对极坐标与参数方程本身领域知识的理解和应用，考查考生对新方法、新知识的思维能力和学习品质，体现数学学科的核心素养，所以单纯使用直角坐标普通方程解题，高考题会感觉越来越难、计算量愈来愈复杂，有的时候甚至出现算不下去的情况。
在2020年高考中，全国卷三套试卷的落脚点都放在极坐标与参数方程和直角坐标的互化中，直线方程的三种形式在题目中依然明显体现。卷Ⅰ是直线极坐标方程化为直角方程的普通方程，卷Ⅱ是直线的参数方程化为普通方程，卷Ⅲ是普通方程化为极坐标方程。那么，直线方程的三种形式在解题中的作用是什么？对解题方法的分析有什么样的指导作用？在解题中如何选择？这些问题在历年的高考题型和模拟题型中都有充分的体现。仔细分析，我们会发现，直线方程既是命题的基础，更是我们解题的指南针。教学中，我们在进行这类题型的分析过程中，抓住直线的特征和三种形式去指导学生审题，往往可以很容易突破和贯穿极坐标与参数方程的解题过程。
二、直线方程三种形式以及在解题中的作用分析
直线的极坐标方程，体现的是长度ρ和角度θ的关系，本身就是两个几何量的关系。这里面通常有两种情况：1.直线经过极点。这时候ρ和θ几何意义明确，在处理综合题型时，提示选择直线极坐标知识，利用数形结合直接处理;2.直线不经过极点。这时候直线的极坐标方程几何意义对高中学生来说不明显，处理时更多考虑与直角坐标方程的互化。
直线的直角坐标方程常见的两种形式是普通方程和参数方程。
直线普通方程是解析几何基础知识，学生理解掌握相对较好，利用公式计算或是数形结合处理。在题型考查中，体现在圆或圆锥曲线以参数方程形式出现，求其上点的参数形式到直线普通方程的距离公式求解一些范围和最值问题。
直线的参数方程，特别是对于t几何意义的理解比较灵活。直线的参数方程标准形式为x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t为参数），过定点M0（x0，y0）、倾斜角α体现着数形结合。其中t表示直线l上以定点M0为起点，任一点M（x，y）为终点的有向线段M0M的数量。
三、数形结合，利用直线方程形式来解决典型例题中的审题和解题
合肥市2020年高三第三次教学质量检测中，坐标系与参数方程的选做题如下：在平面直角坐标系中，直线m的参数方程为x=tcosαy=tsinα（t为参数，0≤α<π）。以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系。曲线E的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0，直线m与曲线E交于A、C两点。
（1）求曲线E的直角坐标方程和直线m的极坐标方程;
（2）过原点且与直线m垂直的直线n交曲线E于两点B，D，求四边形ABCD面积的最大值。
在审题和解题中，方法选择的多样性和不确定性让不少学生难于取舍，或是犹豫不决。如何快速找到解题的突破口，找到这类题型的常用分析方法？直线方程的指导作用非常明显。
策略1 审题中发现，直线m过极点，根据前面的分析，选择直线的极坐标方程，极坐标方程中的ρ和θ几何意义明确，|AC|=|ρA-ρC|，同理处理|BD|。
由第（1）问可得直线m的极坐标方程，带入代入E的极坐标方程，并结合韦达定理可得|AC|=|ρ1-ρ2|=（ρ1+ρ2）2-4ρ1ρ2=2cos2α-3，用同样方法求得|BD|=2sin2α-3，再利用SABCD=12|AC||BD|并极值判断，便可得到SABCD的最大值为7。
策略2 根据题意，面积计算只牵涉到AC和BD的长度，我们选择直线的参数方程。根据直线参数方程和数形结合，定点选择为坐标原点。如图，根据直线参数方程的几何意义，A对应参数为t1，B对应参数为t2，则|OA|=t1，|OC|=-t2|AC|=|t1-t2|，只需将将直线的参数方程带入E的直角坐标方程，化简并结合韦达定理便可得到AC和BD的长度。
策略3 由于本题考查的是直线和圆，所以也可利用数形结合的方式，利用垂径定理结合图形求解。
从命题意图看，本题考察的是极坐标与参数方程的综合应用，对极坐标与参数方程本身的知识理解是解题的关键，直线方程的三种形式是很明显的突破口。教师要强调数形结合的重要作用，采用一题多解的方式培养和锻炼学生的数学核心素养。
四、综合考虑已知条件，不同角度的审题策略对直线方程形式选择的影响
（一）牵涉到二次曲线上点到直线距离问题，优先考虑直线的一般方程
例1在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为ρ=4cosθ。设点A的极坐标为2，π3，点B在曲线C上，求△OAB面积的最大值。
分析：审题时，OA长度一定，考虑面积公式S=12|OA|·h，h为曲线C上点B到OA的距离，根据教材中典型例题的方法，优先考虑到直线OA的一般方程y=3x，而且曲线C的参数方程为x=2+2cosθy=2sinθ（θ为参数），把B用参数表示，根据点到直线距离公式表示出h，代入面积公式后，便可判断出最大值。
当然，数形结合的思想方法同样适用。根据已知条件，s=12|OA||OB|sin∠AOB，|OA|=2，设点B的极坐标为（ρB，θ）（ρB>0）.由题设知|OA|=2，ρB=4cosθ，于是△OAB面积S=12|OA|·ρB·sin∠AOB=4cosθ·sinθ-π3=2sin2a-π3-32≤2+3。当θ=-π12时，S取得最大值2+3。
（二）对于直线参数方程的非标准形式，引导学生抓住本质，从几何与代数方面做好转化
例2 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：x=-6-2ty=26+2t（t为参数）。以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的方程为ρ=46cosθ，
（1）求圆C的直角坐标方程;
（2）设圆C与直线l交于点A，B，求|AB|的大小。
分析：一般题目中直线的参数方程提供为标准形式，但是本题题干为直线的非标准参数方程，转化为标准形式是我们首先的思路，是我们利用直线参数方程几何意义解题的关键，如何转化，我们可以从两个方面来考虑，一是几何意义，二是代数形式。
解：（1）由ρ=46cosθ，得圆C的直角坐标方程为（x-26）2+y2=24。
（2）方法一：题干所提供的是直线参数方程的非标准形式，根据直线的几何意义，重新选择定点，构造新的直线的标准参数方程，化非标准参数方程为标准参数方程，利用标准方程中t的几何意义求解。
根據图形，取定点为（6，0），直线倾斜角为3π4，
所以，直线的标准参数方程为x=6-22ty=22t（t为参数），
方法二：根据直线参数方程标准形式的代数结构，应用换元的方法处理非标准形式参数方程。
直线的参数方程为x=-6-2ty=26+2tx=-6-22（2t）y=26+22（2t）（t为参数），
令s=2t，则x=-6-22sy=26+22s（s为参数）
直线参数方程化为标准形式之后，代入圆的方程，整理后根据韦达定理即可求解。
当然，对于掌握程度比较好的同学，可以提示抓住直线方程的本质特征，直接使用直线的非标准形式来处理。直线l非标准参数方程x=x0+aty=y0+bt（t为参数），设两点M1、M2为l上任意两点，M1、M2对应t的值分别为t1、t2，由两点间距离公式可得|M1M2|=a2+b2|t1-t2|。当a2+b2=1时，非标准形式即为标准形式。
四、小结
运用极坐标与参数方程可使代数与几何完美相结合，使许多繁杂的运算变的巧妙简洁。处理这类题型，直线方程的三种形式指标意义明显，对我们审题和解题都有指导作用。2019年全国Ⅰ卷中第二问考查圆锥曲线参数到直线的距离，考虑选择直线方程的一般形式;全国Ⅱ卷中第一问直线过极点，第二问也是过极点，考虑选择极坐标方程或是互化，利用数形结合解决;2018年全国Ⅱ卷参数方程几何意义，考虑选择直线参数方程……通过对直线形式的选择，并以此为出发点，可以让学生可以迅速找到的解题方法。
数学核心素养要求我们要将学生的数学能力构建纳入他们今后的学习和思维能力上来。高中数学学科核心素养是在学生数学学习过程中逐渐形成的，满足学生终身学习和社会发展需求的综合能力与品质，是高中数学学科课程目标的集中体现。直线方程三种形式在审题和解题中的不同体现，既是分析方法更是解题指导，贯穿了思考和解题的过程，培养了学生的创造性思维和知识迁移能力，使得学科核心素养的培养有依托、有根基，水到渠成。
参考文献：
[1]马祥.极坐标与参数方程为什么不拿分[J].招生考试通讯（高考版），2016（03）：21-22.
[2]石鹏，刘卓.极坐标与参数方程的题型与解法[J].中学数学教学参考，2018（24）：57-58+61.
[3]曹志栋.《选修4-4极坐标与参数方程》教学中的几个问题[J].知音励志，2016（16）：97.
