数学复习教学自然生长的“DNA”密码解读
孙朝仁
当下，就数学复习教学而言，已经进入准高原期，诸多课堂在困顿中进入理性的反思阶段.站在再认知规律的前沿，在数据观指导下探讨“自然生长式”复习有着积极意义[1].
按照杜威“教育就是不断生长”的观念来看，自然生长式复习带有明显的“现代迁移论”特征，它是以“大生命观”为前提，以“生长农业”思想为指导，发展学生的自觉元认知意识、求证逆问题意识、能动再思维意识以及自然拟方法意识，使得既成“知识体系现实”在重构和解构中得以变革并更新，实现由“事实性水平”到达最近发展区水平.这里的四种“意识”即是自然生长式数学复习教学的“DNA”密码.下面结合课堂观察解读自然生长式数学复习教学的“密码”，期待能给数学复习课教学引出一个新的方向.1 自觉元认知意识——重构自然生长式复习课的理论基础
开发元认知意识是评课的一项重要指标（见表1），尤其是数学复习课本身就带有元认知意识倾向，需要经历元认知的高级形态组合与重构，方能打破已有概念图的心向体系，实现再认知的顺应以及迁移.“数学课程标准”提出，“不同的人在数学上得到不同发展”的理念，就关键词而言，“不同的人”与“不同发展”存在函数映射关系，而映射中的DNA（本质）带有自然属性，即关键人和关键事.数学复习系统中的主要因素有两个，一个是“关键人”——认识本身具有自然生长性；一个是“关键事”——复习课形态具有自然重构性.因此，基于系统要素的自然特征，设计自然生长式“问题组块”，在“反问”思维监控下，让学生的自觉反思行为成为复习教学的主流形式，进行自觉元认知意识开发，反映自然教育数学观（见表2）.
课堂观察显示，数学复习课现状不容乐观，大部分课堂依然是“知识点+盲目练”的模式，缺乏对元认知意识的开发.由表2可知，大数据“80%”说明过8成数学复习课仅停留于新授课水平，“概念”与“问题”两张皮，使得再复习依然不能触及问题本质.事实上，其中的数据“5%”才是数学复习课应有的制高点，是开发学生创造潜能的“关键点”.构造示例的过程就是开发高级形态元认知的行为，反思示例的行为就是基于学生自然生长式特征的自觉监控的行为，无论哪一级元认知评价指标，都是系统知识得以系统化的理论基础.因此，好课需要开发元认知的意识，好的复习课更需要师生双主体自觉提升元认知意识，方能体现数学复习课的本体价值.2 求证逆问题意识——建构自然生长式复习课的思想基础
求证意识是数学科学精神的外在表现，是好课的核心指标（见表3）.就思维形态学而言，它是一种从验证验算走向逻辑推演的思维中间地带，能让概念建构有根有据，是数学逻辑判断的好帮手.数学复习课的关键是建立概念群之间的内部关系，不是知识的“再兜售”.事实上，复习意味着“审核”“复议”，也意味着知识的“重构”，它是以问题块为思维载体，以逆向思维为突出特征，以自觉生长“大概念图”为目的，终归于自然生长思想的本体回归.“数学课程标准”强调课程内容的组织要重视过程，而“重视过程”就意味着组织与求证.因此，数学复习课的教学中，要组织包含逆问题组块，让学生在逆向求证的过程中，形成自然生长的群概念意识，反映自然数学教育系统观（见表4）.
数学复习教学是对既定知识体系的重组与加工，“重组”的过程是以逆向求证为思维抓手，“加工”的过程就是逆向排列概念的过程.课堂观察显示，99%的复习课就是“演算与证明”的再现，很少有求证意识行为的加入.在“分数为命根”的复习时代，“求证意识”被误认为缺乏节约意识，被误解为偏离复习跑道.由表4可知，问题组块的建立，包含逆求证意识，学生可以在操作中得到猜想，并施加验证与作出合情性推断.而直观猜想、验证判断、合情追问本身又包含丰富的逆求证意识，所以建构自然生长式复习的思想基础是逆求证意识的渗透.观察百分比数据“5%”，说明教师求证观念淡漠，不重视逆求证意识培养，而数学的“工具性作用”恰恰要通过逆求证能力来释放数学教育力量.因此，数据观指导下的现代数学教育直指求证意识力的发展，实现教育数学的终极目标——增值5%.3 能动再思维意识——架构自然生长式复习课的方法基础
能动再思维意识是心理官能释放心理能力的内部思维表征，是认知结构得以系统迁移的标志性指标（见表5）.有效数学复习教学需要注意、知觉、记忆、思维、想象等心理官能的整体支持，方能让“个”概念经历具体的、有条件的迁移而自动形成单元概念、系统概念，终归于大概念群的稳定形成[2].桑代克等人研究表明，刺激相似而且反应也相似时，两情境的迁移才能发生，相同联结越多，迁移越大.这就在一定层面说明，刻画情境复习是心理官能发挥作用的先行组织行为，而心理官能能动思维的载体是构造相同情境要素，因此，数学复习课的优劣关键是“刺激物”的匹配选择，只有匹配得当，方能形成自然生长式系统.同时，也使得“教学应以学生的认知发展水平和已有的经验为基础”“注重启发式和因材施教”等课程实施指导意见“落地生根”，反映自然迁移的方法意义（见表6）.
布鲁纳认为，学习的实质是学习者把同类事物联系起来，并把它们组织成赋予它们意义的结构.对于初中段数学复习而言，本质上是个体认知结构的变式迁移，突破原有概念的事实性水平，进而迁移连贯性概念群.由表6可知，数据80%表明常态复习课堂仍然以“基本图形意识+变式求解推演”为基本模式，无法实现由“生产”意识形态向“自然生长”的认识形态转变，这种年复一年的“山重水复式”复习教学模式，其效果可想而知.而观察百分比中的数据“15%”“5%”则是好的复习课堂的关键所在，问题（2）的提出与运演是学生产生“概念性”理解的思维基石，问题（5）的提出与研究是学生形成“关系性”理解的思维支架，而思维理解关键词行为概念性、关系性均是数学复习迁移的标志性思维事件，数学复习的过程就是思维能动再运动的心理过程.因此，好的复习课应该立足于在不足“半成”“1成半”上下功夫，方能让个体认知结构的概括性和可辨性趋于良好，落实能动思维迁移观.4 自然拟方法意识——结构自然生长式复习课的关系基础
自然拟方法意识是学习心理的动力准备状态，是结构自然生长经验图式的重要指标（见表7）.从数学的研究过程来看，数学具有似真性、拟经验性和证伪性等特征，数学复习的过程本质上就是证伪过程，数学方法的定向形成离不开对错法的辨析，唯有在盘根错节的纠错中才能生长出敞亮的本无定法的通法、本无定式的通式.正如“数学课程标准”中所指出的，重视“使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程”，这里的“抽象”“构建”“寻求”“解决”均反映拟方法意识.无论似真性、拟经验性还是证伪性等非封闭演绎系统，都遵循始于经验而终于方法的认知原则.因此，这就要求数学复习教学应重视方法体系形成的自然性，让经验为方法决策，方法为经验服务，落实DNA复习教育观（见表8）.
皮连生的学习观认为，学习是机体通过与其环境相互作用导致能力或倾向相对稳定的变化过程[3].数学复习是学习的一种较高级思维形态，更多倾向于方法体系的革新与完善，进而触及人的能力系统，终归于人的全息生长.因此，复习教学应遵循从“直接经验→经验的映像性表象→经验的符号性表象”的生长过程，方能夯实方法论体系的发展带.就复习方法观而言，众多课堂仍然是“讲题+做题”的二元格局，结果当然是形成方法断裂带，复习效果无从可考.由表8可知，不到15%的数据显化一种不可否认的事实，那就是数学课堂不重视方法体系的建构现象比比皆是，这势必导致方法体系间的联结线、联结点“不明”，进而影响问题解决产生式系统多向形成.事实上，中考考的是方法学，不是解题学，尤其是常见的分类、化归、辩证、数形结合以及建模等思想方法，与人的行事能力呈正相关.因此，数学复习教学要自然顺应拟方法意识，方能突破迁移定势，建设正向数学课堂复习观.
参考文献
[1] 葛敏辉.生长式教学的探究与实施[J].上海教育科研，2015（4）：60-64.
[2] 曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学社出版，2006.
[3] 王光明，刁颖.高效数学学习的心理特征研究[J].数学教育学报，2009，18（5）：51-56.
当下，就数学复习教学而言，已经进入准高原期，诸多课堂在困顿中进入理性的反思阶段.站在再认知规律的前沿，在数据观指导下探讨“自然生长式”复习有着积极意义[1].
按照杜威“教育就是不断生长”的观念来看，自然生长式复习带有明显的“现代迁移论”特征，它是以“大生命观”为前提，以“生长农业”思想为指导，发展学生的自觉元认知意识、求证逆问题意识、能动再思维意识以及自然拟方法意识，使得既成“知识体系现实”在重构和解构中得以变革并更新，实现由“事实性水平”到达最近发展区水平.这里的四种“意识”即是自然生长式数学复习教学的“DNA”密码.下面结合课堂观察解读自然生长式数学复习教学的“密码”，期待能给数学复习课教学引出一个新的方向.1 自觉元认知意识——重构自然生长式复习课的理论基础
开发元认知意识是评课的一项重要指标（见表1），尤其是数学复习课本身就带有元认知意识倾向，需要经历元认知的高级形态组合与重构，方能打破已有概念图的心向体系，实现再认知的顺应以及迁移.“数学课程标准”提出，“不同的人在数学上得到不同发展”的理念，就关键词而言，“不同的人”与“不同发展”存在函数映射关系，而映射中的DNA（本质）带有自然属性，即关键人和关键事.数学复习系统中的主要因素有两个，一个是“关键人”——认识本身具有自然生长性；一个是“关键事”——复习课形态具有自然重构性.因此，基于系统要素的自然特征，设计自然生长式“问题组块”，在“反问”思维监控下，让学生的自觉反思行为成为复习教学的主流形式，进行自觉元认知意识开发，反映自然教育数学观（见表2）.
课堂观察显示，数学复习课现状不容乐观，大部分课堂依然是“知识点+盲目练”的模式，缺乏对元认知意识的开发.由表2可知，大数据“80%”说明过8成数学复习课仅停留于新授课水平，“概念”与“问题”两张皮，使得再复习依然不能触及问题本质.事实上，其中的数据“5%”才是数学复习课应有的制高点，是开发学生创造潜能的“关键点”.构造示例的过程就是开发高级形态元认知的行为，反思示例的行为就是基于学生自然生长式特征的自觉监控的行为，无论哪一级元认知评价指标，都是系统知识得以系统化的理论基础.因此，好课需要开发元认知的意识，好的复习课更需要师生双主体自觉提升元认知意识，方能体现数学复习课的本体价值.2 求证逆问题意识——建构自然生长式复习课的思想基础
求证意识是数学科学精神的外在表现，是好课的核心指标（见表3）.就思维形态学而言，它是一种从验证验算走向逻辑推演的思维中间地带，能让概念建构有根有据，是数学逻辑判断的好帮手.数学复习课的关键是建立概念群之间的内部关系，不是知识的“再兜售”.事实上，复习意味着“审核”“复议”，也意味着知识的“重构”，它是以问题块为思维载体，以逆向思维为突出特征，以自觉生长“大概念图”为目的，终归于自然生长思想的本体回归.“数学课程标准”强调课程内容的组织要重视过程，而“重视过程”就意味着组织与求证.因此，数学复习课的教学中，要组织包含逆问题组块，让学生在逆向求证的过程中，形成自然生长的群概念意识，反映自然数学教育系统观（见表4）.
数学复习教学是对既定知识体系的重组与加工，“重组”的过程是以逆向求证为思维抓手，“加工”的过程就是逆向排列概念的过程.课堂观察显示，99%的复习课就是“演算与证明”的再现，很少有求证意识行为的加入.在“分数为命根”的复习时代，“求证意识”被误认为缺乏节约意识，被误解为偏离复习跑道.由表4可知，问题组块的建立，包含逆求证意识，学生可以在操作中得到猜想，并施加验证与作出合情性推断.而直观猜想、验证判断、合情追问本身又包含丰富的逆求证意识，所以建构自然生长式复习的思想基础是逆求证意识的渗透.观察百分比数据“5%”，说明教师求证观念淡漠，不重视逆求证意识培养，而数学的“工具性作用”恰恰要通过逆求证能力来释放数学教育力量.因此，数据观指导下的现代数学教育直指求证意识力的发展，实现教育数学的终极目标——增值5%.3 能动再思维意识——架构自然生长式复习课的方法基础
能动再思维意识是心理官能释放心理能力的内部思维表征，是认知结构得以系统迁移的标志性指标（见表5）.有效数学复习教学需要注意、知觉、记忆、思维、想象等心理官能的整体支持，方能让“个”概念经历具体的、有条件的迁移而自动形成单元概念、系统概念，终归于大概念群的稳定形成[2].桑代克等人研究表明，刺激相似而且反应也相似时，两情境的迁移才能发生，相同联结越多，迁移越大.这就在一定层面说明，刻画情境复习是心理官能发挥作用的先行组织行为，而心理官能能动思维的载体是构造相同情境要素，因此，数学复习课的优劣关键是“刺激物”的匹配选择，只有匹配得当，方能形成自然生长式系统.同时，也使得“教学应以学生的认知发展水平和已有的经验为基础”“注重启发式和因材施教”等课程实施指导意见“落地生根”，反映自然迁移的方法意义（见表6）.
布鲁纳认为，学习的实质是学习者把同类事物联系起来，并把它们组织成赋予它们意义的结构.对于初中段数学复习而言，本质上是个体认知结构的变式迁移，突破原有概念的事实性水平，进而迁移连贯性概念群.由表6可知，数据80%表明常态复习课堂仍然以“基本图形意识+变式求解推演”为基本模式，无法实现由“生产”意识形态向“自然生长”的认识形态转变，这种年复一年的“山重水复式”复习教学模式，其效果可想而知.而观察百分比中的数据“15%”“5%”则是好的复习课堂的关键所在，问题（2）的提出与运演是学生产生“概念性”理解的思维基石，问题（5）的提出与研究是学生形成“关系性”理解的思维支架，而思维理解关键词行为概念性、关系性均是数学复习迁移的标志性思维事件，数学复习的过程就是思维能动再运动的心理过程.因此，好的复习课应该立足于在不足“半成”“1成半”上下功夫，方能让个体认知结构的概括性和可辨性趋于良好，落实能动思维迁移观.4 自然拟方法意识——结构自然生长式复习课的关系基础
自然拟方法意识是学习心理的动力准备状态，是结构自然生长经验图式的重要指标（见表7）.从数学的研究过程来看，数学具有似真性、拟经验性和证伪性等特征，数学复习的过程本质上就是证伪过程，数学方法的定向形成离不开对错法的辨析，唯有在盘根错节的纠错中才能生长出敞亮的本无定法的通法、本无定式的通式.正如“数学课程标准”中所指出的，重视“使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程”，这里的“抽象”“构建”“寻求”“解决”均反映拟方法意识.无论似真性、拟经验性还是证伪性等非封闭演绎系统，都遵循始于经验而终于方法的认知原则.因此，这就要求数学复习教学应重视方法体系形成的自然性，让经验为方法决策，方法为经验服务，落实DNA复习教育观（见表8）.
皮连生的学习观认为，学习是机体通过与其环境相互作用导致能力或倾向相对稳定的变化过程[3].数学复习是学习的一种较高级思维形态，更多倾向于方法体系的革新与完善，进而触及人的能力系统，终归于人的全息生长.因此，复习教学应遵循从“直接经验→经验的映像性表象→经验的符号性表象”的生长过程，方能夯实方法论体系的发展带.就复习方法观而言，众多课堂仍然是“讲题+做题”的二元格局，结果当然是形成方法断裂带，复习效果无从可考.由表8可知，不到15%的数据显化一种不可否认的事实，那就是数学课堂不重视方法体系的建构现象比比皆是，这势必导致方法体系间的联结线、联结点“不明”，进而影响问题解决产生式系统多向形成.事实上，中考考的是方法学，不是解题学，尤其是常见的分类、化归、辩证、数形结合以及建模等思想方法，与人的行事能力呈正相关.因此，数学复习教学要自然顺应拟方法意识，方能突破迁移定势，建设正向数学课堂复习观.
参考文献
[1] 葛敏辉.生长式教学的探究与实施[J].上海教育科研，2015（4）：60-64.
[2] 曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学社出版，2006.
[3] 王光明，刁颖.高效数学学习的心理特征研究[J].数学教育学报，2009，18（5）：51-56.
