让学生在“玩”的过程中“再创造”数学

    李红霞

    

    

    

    [摘? ?要]有效的数学活动不能单纯地依赖模仿与记忆，应是在教师的引导下由学生本人把要学的东西去发现或创造出来.让学生在“玩”中理解并获得数学知识，不仅可以培养学生的学习兴趣，也是培养学生“再创造”能力的有效途径.

    [关键词]再创造;玩;旋转;三角板;复习课

    [中图分类号]? ? G633.6? ? ? ? [文献标识码]? ? A? ? ? ? [文章编号]? ? 1674-6058（2019）29-0012-04

    一、问题的提出

    在一节《认识三角形》的复习课中，授课教师先在大屏幕上出示一个三角形，并说道：“我们已经学习了三角形的有关知识.”接着告诉学生：“今天我们要学习的内容有：对于任意一个三角形，按角分，可得到哪些性质？按边分，又可以得到哪些性质？在特殊三角形中，又可以进行怎样的分类？”纵观整节课，教师对教材内容、难易度的把握都很到位，并且知识分类也很明确;期间，学生的回答也比较热烈，也能很认真地完成练习.应该说是一堂很不错的复习课，但是笔者总感觉少了点什么.

    荷兰数学家、教育家弗赖登塔尔认为，学习数学的唯一正确的方法是实现再创造，也就是由学生把本人要学习的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生.本节复习课，始终是教师在讲，学生在听，所有的知识归纳、条理分析均是教师组织的，学生一切听从教师的指挥，根本没有“权利”去再发现、再创造，其主观能动性得不到彰显.这样的课，教师“教”得再好，学生得到的知识也是“死”的，学生是凭记忆而“学会”了，而不是“会学”了，更谈不上“再创造”.

    那么，怎样的数学活动才是有效的？

    笔者认为，有效的数学活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流应成为学生学习数学的重要方式.教师的任务是引导和帮助学生在“玩数学”的过程中去进行再创造.

    二、“再创造”理论的具体应用

    荷兰数学家、教育家弗赖登塔尔的数学教育思想主要有：强调数学教育面向社会现实，必须联系生活实际，注重培养和发展学生从客观现象发现数学问题的能力;用再创造的方法去进行教学，反对灌输式和死记硬背;提倡讨论式、指导式的教学形式，反对传统的讲演式的教学形式.他提出的这一“再创造”理论不是“教育学+数学例子”式的论述，而是要求教师抓住数学知识的规律、特征，给学生创建一个“再创造”的通道，引导学生通过操作、推理、猜想、归纳、类比等方式，紧扣数学教育的特殊过程来获取知识.

    下面是教师借助平时常用的一副三角板，在一堂数学复习课中演绎出许多“旋转”中的数学问题，并促使学生沉浸在严谨、美妙的数学问题的解决过程中实施探究、再创造.

    （一）依据“数学现实”创设情境，发现问题

    对于弗赖登塔尔所提出的“数学现实”，笔者认为应该包括以下三类客观现实：第一，包含教材当中需要学习的知识体系这一现实;第二，包含学生对所学知识的前后关联及掌握程度与学生对知识的理解能力这一现实;第三，包含数学课程标准提出的教学目标、要求等这一现实.教师在课堂上创设情境，就是把这些客观现实与知识体系融为一体，在以问题为导向的教学情境中搭建数学“再创造”的平台，着眼于学生“再创造”能力的培养.

    1.依据“数学现实”创设教学情境

    教師课前准备教具：一副三角板、与三角板大小一样的三角形纸片、投影机.

    师：这节《认识三角形》的复习课，我们离开书本一起来玩一下三角板.谈起三角板，大家会觉得特别熟悉和亲切，因为它是我们学习数学的好帮手.它可以画线段，量长度，画平行线，甚至可以画特殊角，但很少有同学把一副三角板组合在一起用，其实它里面蕴含了大量的数学知识，今天就让我们一起去揭开它神秘的面纱，探索它的奥秘.

    课始，教师创设新颖别致的情境，让学生“玩”三角板，给学生营造了轻松愉快、生动活泼的学习氛围，激起了学生的学习兴趣，同时又指出“三角板里面蕴含了大量的数学知识，要探索它的奥秘”，这在激发学生求知欲的同时提醒他们要自己进行知识探究.

    2.结合“数学现实”引发数学问题

    接着，教师依据学生的现实水平，在激发学生学习兴趣的前提下提出问题.

    师（拿出含45°角的直角三角板并举起来）：仔细观察，这块三角板有什么样的特点？

    生1：它是等腰直角三角形，有一个直角，两个锐角，且都是45°.

    师：很好！你讲出了角的本质特点，那这块三角板的角又有何特点呢？（举起含30°角的直角三角板）

    生2：它是直角三角形，有一个直角，两个锐角，一个是30°，另一个是60°.

    师（旋转一下，变化位置）：此时的角度呢？边的长度呢？

    生3：角度还是没变，分别是30°、60°、90°.对应边的长度也没变.

    师：把一个图形进行旋转，图形的位置改变，但其角度的大小并没有变化.

    数学复习课中，教师结合学生的现实思维、知识的掌握程度，由学生熟悉的三角板出发低起点导入.由于是复习课，知识的涉及面比较多，所以很有必要让学生轻松下来，活泼起来，营造和谐的教学氛围.在引入时强调“图形旋转时，对应角的度数不变，对应边的长度也不变”，为学生自主“认识三角形”和探究构建和再创造“旋转中的三角形”知识体系埋下伏笔.

    （二）进入“旋转”操作，将具体图形数学化

    从数学知识发展的必要依托来看，学生的“再创造”思维的焕发，既需要学生已有的知识基础，更需要教师的有效引导，以充满“数学原味”的数学思想来呈现知识，拓展知识，生成新知识，所以教师的主导作用十分重要.

    1.依据导引动手操作，寻求“问题解决”方法

    本节课开始，教师结合学生的学习现状，由一副三角板引出教学内容，引导学生亲历“三角板中的数学”——旋转图形的不变性.

    教师设计如下操作活动，引导学生思考探究.

    操作1：将一副三角板叠放在一起（图1），使两块三角板的直角顶点重合，两直角边也分别重合，你可以知道哪些角的度数？

    学生动手操作，标上字母，逐一回答.这一环节，学生有效复习了三角形内角和性质、三角形内外角的关系等旧知识.

    依据“一副三角板”中的数学现实，引导学生动手操作，并创设开放性的问题，能有效启发学生的数学思维，使学生灵动地、“数学化”地构建知识体系，这比教师直接将三角形的知识归类呈现给学生显然要有效得多.

    操作2：固定含30°角的Rt△COD，将含45°角的Rt△AOB绕O点按顺时针方向旋转，使AO⊥CD，则∠BOD= ? ? ?°，∠AOC=°.（难度系数是0.92）

    此题是前一题知识的具体应用，根据“三角形内角和等于180°”和“图形旋转的不变性”即可得到∠BOD=120°，∠AOC=60°.

    操作3：将含45°角的Rt△AOB绕O点按顺时针方向继续旋转，使AO经过斜边CD的中点，则∠BOD=? ? ? ? °，∠AOC=°.（难度系数是0.78）

    这一题主要用到“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理，一般的学生会忘记这个定理.多数学生会结合前几题的解题经验，根据本题的已知条件，得出∠BOD=150°，∠AOC=30°.

    操作4：观察第2、3题的答案（图2），猜测在旋转过程中∠BOD与∠AOC可能有何数量关系？并证明你的猜想.（难度系数是0.73）

    《义务教育数学课程标准》指出：“教师应给学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法.”操作4中的题目变式非常巧妙，是在上面几题的基础上进一步深化得到的，是一个只有已知而没有结论的半开放题，目的是让学生有充分进行动手操作的机会.对学生而言，具有一定的挑战性.这就需要学生启动头脑中的元认知，自己去思考、探究，构建有目标指向的“数学化”平台.

    正是鉴于上述课程标准这样的指导思想，教师留有时间给学生自主思考：根据图形旋转的不变性，可以设∠AOD=α，那么可以得到∠BOD =90°+ α，∠AOC=90°- α，相加可得：∠BOD+∠AOC=180°.

    2.深入操作进行探究，将“旋转图形”数学化

    前几个操作题，步步紧扣，围绕着“绕直角顶点O旋转”一气呵成.尽管难度逐渐增加，但是几乎都是在學生的认知显然“可以接受”的范围内，学生问题解决的思路顺畅.

    操作5：让学生自己进行变式，有学生提出：将含45°角的Rt△AOB绕O点任意旋转，经测得∠BOD=105°， 则∠AOC=°.

    尽管学生的变式还是围绕直角顶点O旋转，但是已经说明学生对前几个操作题有了比较深刻的理解，能将教师讲解的内容进行“再创造”.

    《义务教育数学课程标准》提出了学生动手操作在数学几何教学中起着重要作用.学生亲历将数学的实际状态演变为理论形式，在动手中获得“再创造”的成就感.

    师（将学习内容继续深化）：交换含45°角的直角三角板与含30°角的直角三角板的位置，引导学生看大屏幕.

    实验操作1：在一副直角三角板中，把含30°角的Rt△DMN的直角顶点与含45°角的Rt△ABC的斜边中点D叠放在一起.

    实验操作2：如图3，固定含45°角的Rt△ABC，将含30°角的Rt△DMN绕BC的中点D按顺时针方向任意旋转，使直角边交AB与AC分别为E、F.（1）观察旋转过程，哪些线段的长度发生了变化？如何变化？

    （2）试猜想线段AE与CF有何数量关系？并证明你的猜想. 求证：AE=CF.

    （3）通过观察实验你有何猜想？请写出你的猜想结论，并与小组内学生合作发现，交流理由.

    在初中数学中，“图形旋转”向来是学生感到比较难理解也难以掌握的内容之一，其主要原因是对旋转后生成的图形的形状难以把握;思维不够缜密，经常遗漏题中的隐含条件.本节课中，教师让学生自己动手操作，使学生在动手操作的过程中领悟了“图形旋转”中的数学化思想.这样的教学程序是完全有效的.

    本课题的拓展，真正体现了这样的教学理念：通过学生的动手实践、自主探索与合作交流，实现学生数学学习的“再创造”.对于（3），通过学生的操作、猜想、交流，得出的结论很多，如：BE=AF、AE=CF、BE+AE=AE+AF=AB=AC（不变）、∠BDE+∠CDF=90°、∠AFD=∠BED、四边形AEDF的面积等于Rt△ABC面积的一半、DE=DF等.其关键是添加辅助线，连接AD，证明△ADE≌△CDF后就可以得出上述结论.

    学生通过动手操作和合作探究能得到“旋转三角板”中“变”与“不变”的辩证关系，通过“图形的旋转”整理成“等”与“不等”的数学关系.

    3.在“互动协作”中领悟，培养“再创造”思维

    猜测、探索是学生“再创造”的前提.正因为本节课的教学中，教师为学生提供了充分的动手操作的空间，所以学生在体验“自主、合作、探究”的学习方式的同时，也获得了生动活泼的、主动而富有个性的发展，奠定了“再创造”学习的基础.

    学生提问，操作变式：若含30°角的Rt△NDM继续绕△ABC斜边的中点D按顺时针方向旋转（如图4），使它的两条直角边分别与BA、AC的延长线交于E、F，则AE=CF还成立吗？

    师：试试看，AE=CF是不是还成立.

    鉴于前几题的解题经验，有学生提出：连接AD，利用三角形全等的ASA定理证△ADE≌△CDF，得出AE=CF仍成立.

    （三）深入导引反思，实现“再创造”

    弗赖登塔尔所论述的“再创造”形式，其核心要义就是“教学过程”的再现;它并不是简单地要求学生自己去把所学的东西发现或创造出来，而是要求教师引导和帮助学生去进行这种再创造的工作.也就是说，学生的“再创造”必须在教师导引的基础上去实现.

    1.导引学生回顾、反思，创建“再创造”通道

    在经过前面的动手操作、演练后，教师要求学生反思本节课的整个学习过程及“三角板旋转”中的数学知识：

    ① 通过一副三角板，回顾了三角形中边、角之间的等量关系.

    ② 通过三角板的旋转，明确了从中蕴含的等量、不等量关系，及其关键是找两个三角形全等.

    ③ 通过动手操作、合作探究，学会了根据条件如何编题，提升了“再创造”的思维和能力.

    实践证明，在初中数学几何教学中给学生以充分的动手操作机会，其作用是举足轻重的.教师要善于导引，使学生从动手操作中理解并获得数学知识.通过教师的及时指导引发学生的反思，更为学生指明了操作过程中的重点、难点与关键点，使学生在“做数学”的过程中打通“再创造”的通道.

    2.依据“数学化”现实，实施“再创造”

    上述操作及练习的设计比较贴近学生的数学现实，由复现到变式，由模仿到创新，整个教学程序有利于训练学生的发散性思维，培养学生的“再创造”能力.接着，教师又针对性地提出了“再创造”要求.

    师：你还有另外的旋转方法吗？例如改变一下旋转中心.

    学生：（实验操作）把两块三角板的位置交换一下（如图5），将含45°角的Rt△MDN的直角顶点D点与含30°角的Rt△ABC斜邊BC上的高AD（垂足为D点）重合，并将含45°角的Rt△MDN绕点D按顺时针方向任意旋转，使直角边与AB、AC交于E、F.①试问∠AED与∠CFD有何数量关系？请说明理由;②已知DE与DF存在比例关系，试求[DEDF]的值.

    本题是在前一题“绕斜边中点旋转”的基础上变式而来的，但是它对于学生而言是一个不小的“创造”.前几个操作题是利用“三角形全等”将实际问题“数学化”，而本“数学化”操作题的研究已经用到了“三角形相似”.

    三、小结反思

    （一）课堂教学架构体现了弗氏“再创造”理论

    在本节课中，教师充分把握学生动手操作的时机，主要体现在：一是依据学生的数学现实创设教学情境，设疑加鼓励，引导学生操作实践，激发他们的学习兴趣;二是抓住教学机会，引导学生随时动手操作.在解决问题的同时使学生对操作中得到的规律形成“数学化”思想;三是创设现实情境，提供给学生自主探究的空间，让学生在“玩数学”的过程中培养“再创造”的能力.

    具体架构是：

    

    教师抓住数学知识的教育特征，给学生创建一个“再创造”的通道，引导学生通过操作、推理、猜想、归纳、类比等，紧扣数学教育的特殊过程来获取知识.课堂教学架构体现了弗氏“再创造”理论的实践.

    （二）操作题呈现方式有利于学生“再创造”能力培养

    本节课的教学过程呈现了三种形式的操作练习：

    （1）复现操作练习，即单纯的模仿性练习，训练学生思维的流畅性.

    （2）变式操作练习，即改变某一知识的非本质属性，而不改变其本质属性的练习，锻炼学生思维的灵活性，为学生的“再创造”奠定基础，提供通道.

    （3）延伸操作练习，即进一步将问题向纵深发展的练习，是给学生通过“做数学”而学会数学的“再创造”.

    其设计遵循了“复现——变式——延伸”的原则，符合学生的认知规律.

    操作题的呈现，有目的地循序渐进，从观察到动手操作实践，符合学生已有的经验、心理发展规律以及所学内容的特点，有利于培养和发展学生的“再创造”思维和能力.

    通过“图形的旋转”操作来帮助学生改变思维方式.通过一副三角板的旋转观察及学生自身对旋转后的图形的实践探索，及与同学的合作交流，让学生经历知识获得的全过程，有助于学生自己对几何知识的理解;通过一副三角板的旋转观察，给了学生从不同角度全面认识图形的变化规律的时空，使学生学会举一反三，实现“再创造”学习.

    （三）体现了“人人有所得”的教学理念

    数学实践操作活动要同学生的“数学现实”紧密结合，需要调动学生参与的积极性.本节课中，教师引导学生在“三角板的旋转”操作中步步深入，便于学生联系自身的“最近发展区”，既获得数学学习的经验，又了解三角形旋转过程中的变化规律.在“三角板的旋转”的教学中，每次三角板的旋转变化都能安排不同量的图形展示与问题呈现，且有重点、有选择地运用旋转出现问题，这对于促进学生掌握解决数学问题的思想与方法，培养学生“举一反三”的“再创造”能力大有裨益 .

    在本节课的教学中，教师不断渗透相关的数学思想方法，加强数学思想方法的训练，让学生不仅能听懂，还能领悟，能触类旁通，深刻理解其中的数学本质和思想;教师还善待学生的想法，精心地“把脉诊治”，使“人人有所得”，使学生能自我实现对数学知识的“再创造”.

    [? 参? ?考? ?文? ?献? ]

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    （责任编辑 黄春香）