“平均数”教学实录及评析
孙朝仁+茅雅琳
近读人教社中数室主任章建跃博士的文章《中学数学课改的十个论题》，收获颇丰，甚有同感，特别是他提出的“理解数学、理解学生、理解教学是课改的三大基石”，受益匪浅.“理解数学”是解决“教什么”的问题，“理解学生”是解决“怎么教”的问题，而“理解教学”则是解决“为什么这样教”的问题，三者兼顾，则是初中数学课堂教学应有的题中之意，这也与第十届江苏省“杏坛杯”苏派青年教师课堂教学展评活动的主题“发现学科价值，发展学生学力”高度一致.
本文结合第十届江苏省“杏坛杯”苏派青年教师课堂教学无锡分赛区初中数学展评课《平均数》第二课时一课的教学实录，从“理解数学、理解学生、理解教学”的视角进行粗浅评析.
1 理解数学——解决“教什么”的问题
作为教师，只有清晰地知道“教什么”，理解所教内容“是什么”，充分发掘隐藏于数学知识背后的思想方法和自身的学科价值，才有可能在课堂教学中得以体现.《平均数》第二课时的内容主要让学生掌握加权平均数的概念，会求一组数据的加权平均数，通过对数据的处理，发展学生初步的统计意识和数据处理能力，进一步体会数学与生活的联系.
教学实录 新知探究
问题1 某校要招聘1名数学教师，甲乙二人应聘参加了3项素质测试，成绩如下表：
应该录取谁？（小组交流）
生1：我准备录取甲，因为他有两项比乙好.
生2：我准备录取乙，因为他的命题成绩非常突出.
生3：我准备录取甲，因为作为教师，上课能力应该最重要，甲上课成绩比乙高.
师：能否找到一种方法，即兼顾各项成绩，又能突出上课的重要性呢？
上述教学过程中，设置了两个层次明显的问题，引导学生自悟“加权平均数”的概念.第一个问题，旨在承接学生已有的知识基础，在复习平均数的基础上，学生通过计算发现甲、乙两人的平均成绩不等，只要比较两人的平均成绩即可.而第二个问题，学生通过计算平均成绩后发现其平均成绩相同，此时，对于“录取谁”的问题就有了不同的声音，较好地激发了学生的发散思维，在“仁者见仁，智者见智”的情境下，教师适时抛出“能否找到一种方法，即兼顾各项成绩，又能突出上课的重要性呢？”这一问题，其意图是引导学生思考“加权平均数”的问题，渗透隐藏于知识背后的“统计意识”和培养“数据处理能力”，这是执教者在充分理解数学内容的基础上提出的有针对性的问题，为后续“加权平均数”的学习奠定了良好的问题基础.
2 理解学生——解决“怎么教”的问题
在课堂教学中，学生是主体，这已是共识.只有“理解学生”，才能解决“怎么教”的问题.课堂教学中，要基于学生已有的知识、经验等基础，即要明确学生“已经知道了什么”，在将要学习的内容中，可能遇到的思维障碍是什么，以及对于将要学习的内容是如何展开“思考”的.
教学实录 自学质疑
请拿出教材，阅读第100至101页，阅读教材时，请在不理解的部分打上问号，在认为重要的内容划上波浪线.（请同学写在黑板上）
师：哪里有疑问？
生1：“5∶2∶3”是什么意思？
生2：表示各数据的重要程度，这里表示采访最重要.
师：怎样表示创意最重要？
生3：提高创意的比例.
师：刚才那组同学把他们认为的重要内容写在了黑板上，你们也这样认为的吗？怎样理解权的意义？
生4：权反映数据的重要程度，哪个数据重要，可以让他的权变大一点.
生5：用比值可以表示权.这里的十分之五，就反映写作成绩的权.
师：请按照你的理解解决问题2.（学生展示解法并讲解.）
师：这样算得的叫加权平均数，请解释一下.
生6：增加了权的平均数.
师：如果想录取乙，该怎么做？
生7：提高命题的权，因为乙唯有这项分数高，提高它的权，才可能被录取.
师：利用加权平均数，可以兼顾各项成绩，又能体现数据的重要程度，可以帮助我们更客观地作出选择.
对于《平均数》的内容，学生小学中已经学习过算术平均数的概念及其计算方法，在此基础上，执教者采取指导学生阅读课本的方法，让学生自觅“加权平均数”的相关知识，方法得当.上述教学过程也显示，教师“教”的作用主要体现在如何让学生产生“自明性”，即在师生的平等对话中，不断追问，逐步逼近知识的本质——对“权”的理解.常识告诉我们，教学的本质是“去倾听学习者，并让我们的学习者告诉我们他们的思想.”基于这种理念，应不再把教学理解为教师讲解、学生倾听的过程，恰恰相反，教学应是学生讲解、教师倾听的过程.换言之，教学的根本不在于教师向学生讲了多少，而在于教师对学生理解了多少.倘若教学指向于理解，教师的任何讲授都必须建立在对学生的倾听之上.“只有创造机会让学生去言说和表现，教师才可能理解学生，学生也才可能相互理解，教师的讲授和其他教学行为也才有了可靠的基础.”本节课的执教者深知这一道理，教的过程就是“学生讲解，教师倾听”的过程.
3 理解教学——解决“为什么这样教”的问题
所谓教学，就是引起、维持、促进学习的所有行为.雅斯贝尔斯所著的《什么是教育》一书中，关于“教学”有以下观点：教学的本质在于唤醒；教学的本体在于对话；教学的本然在于追求“自明性”；教学的本真是需要自由的；教学的本源是要回归生活的……因此，数学教学的过程应该是唤醒学习欲望的过程，是师生平等对话的过程，是使得学生产生“自明性”的过程，是让学生体会数学与生活联系的过程，是自由活泼的过程，也是以数学知识发生发展过程为载体的学生的认知过程.
教学实录 课堂练习
小明所在的小组同学的身高如下（单位：cm）：168，168，170，160，168，160，170，160，168，170.求这组同学的平均身高.
要求：完成后，组长汇总小组的方法.同时交流归纳，何时用何种方法比较恰当？
生1：有三种方法.
方法1：按照平均数计算公式；
当出现重复数据较多时，用这种方法.
师：这样计算时，4，3，3分别是168，160，170的权.
生2：方法3将各个数据同时减去160，得到一组新的数据8，8，10，0，8，0，10，0，8，10.求得它们的平均数，再加上160.当一组数据都接近于某个数据时，采用这种方法比较恰当.
师：当一组数据较大，且接近于某个数据时，比较恰当.
师：如果小明组的平均身高比小丽组的平均身高高，是否说明小明就比小丽高呢？
生3：不是.
师：平均数反映的是数据的集中趋势，体现数据的平均水平，并不能反映单个数据的大小.
教学实录 课堂小结
师：我们小学就学过平均数，今天的学习你有哪些新的体会呢？加权平均数与算术平均数有什么区别与联系呢？
请各小组交流.
生：小学学的是算术平均数，现在学的是加权平均数，权是衡量数据重要程度的数值.
生：算术平均数容易受极端值影响，加权平均数则可以调整各数据的影响程度.
师：算术平均数其实可以看成各数据的权是多少？
生：都是1.
师：在统计学中，平均数有六类.同学们在今后高层次的学习中会接触到.
从本节课中的上述教学实录（包括前文中的教学实录）中也可以“看到”前述的过程，问题1和问题2的教学流程设置，让学生在情境对比中产生认知冲突，进而唤醒学生探究“加权平均数”的欲望；整节课的教学，教师仅仅充当“助产婆”的角色，在师生的平等对话中，让学生逐步“自明”加权平均数，形成自己的认知结构；所设置的问题情境都来源于真实的生活实际，让学生有种莫名的“亲切感”；教师所提的问题具有一定的开放性，让学生在课堂教学中“有声有色的阅读、有情有义的交流、有滋有味的探究”，教学过程是民主的、开放的、自由的；课堂小结也不落俗套，在充分理解的基础上完成学生“认知结构的再组织”；布置的作业“把今天上课的感受写成一篇数学小文章.”也别具一格，没有约定俗成的“计算”式作为，而是让学生写出感悟，可谓匠心独具.
可以说，正是基于教师对课堂教学中的载体“数学知识”的理解，对教学对象“认知基础”的理解，才有了对课堂教学的“本质要义”的把握.只有对课堂教学三要素“数学、学生、教学”的理解到位，课堂教学的效益才能得以凸显.
参考文献
[1] [德]卡尔·雅斯贝尔斯.什么是教育[M].邹进译.北京：生活·读书·新知，1991.
[2] 张华.对话教学：涵义与价值[J].全球教育展望，2008（6）.
[3] 章建跃.中学数学课改的十个论题[J].中学数学教学参考，2010（1-5）.
近读人教社中数室主任章建跃博士的文章《中学数学课改的十个论题》，收获颇丰，甚有同感，特别是他提出的“理解数学、理解学生、理解教学是课改的三大基石”，受益匪浅.“理解数学”是解决“教什么”的问题，“理解学生”是解决“怎么教”的问题，而“理解教学”则是解决“为什么这样教”的问题，三者兼顾，则是初中数学课堂教学应有的题中之意，这也与第十届江苏省“杏坛杯”苏派青年教师课堂教学展评活动的主题“发现学科价值，发展学生学力”高度一致.
本文结合第十届江苏省“杏坛杯”苏派青年教师课堂教学无锡分赛区初中数学展评课《平均数》第二课时一课的教学实录，从“理解数学、理解学生、理解教学”的视角进行粗浅评析.
1 理解数学——解决“教什么”的问题
作为教师，只有清晰地知道“教什么”，理解所教内容“是什么”，充分发掘隐藏于数学知识背后的思想方法和自身的学科价值，才有可能在课堂教学中得以体现.《平均数》第二课时的内容主要让学生掌握加权平均数的概念，会求一组数据的加权平均数，通过对数据的处理，发展学生初步的统计意识和数据处理能力，进一步体会数学与生活的联系.
教学实录 新知探究
问题1 某校要招聘1名数学教师，甲乙二人应聘参加了3项素质测试，成绩如下表：
应该录取谁？（小组交流）
生1：我准备录取甲，因为他有两项比乙好.
生2：我准备录取乙，因为他的命题成绩非常突出.
生3：我准备录取甲，因为作为教师，上课能力应该最重要，甲上课成绩比乙高.
师：能否找到一种方法，即兼顾各项成绩，又能突出上课的重要性呢？
上述教学过程中，设置了两个层次明显的问题，引导学生自悟“加权平均数”的概念.第一个问题，旨在承接学生已有的知识基础，在复习平均数的基础上，学生通过计算发现甲、乙两人的平均成绩不等，只要比较两人的平均成绩即可.而第二个问题，学生通过计算平均成绩后发现其平均成绩相同，此时，对于“录取谁”的问题就有了不同的声音，较好地激发了学生的发散思维，在“仁者见仁，智者见智”的情境下，教师适时抛出“能否找到一种方法，即兼顾各项成绩，又能突出上课的重要性呢？”这一问题，其意图是引导学生思考“加权平均数”的问题，渗透隐藏于知识背后的“统计意识”和培养“数据处理能力”，这是执教者在充分理解数学内容的基础上提出的有针对性的问题，为后续“加权平均数”的学习奠定了良好的问题基础.
2 理解学生——解决“怎么教”的问题
在课堂教学中，学生是主体，这已是共识.只有“理解学生”，才能解决“怎么教”的问题.课堂教学中，要基于学生已有的知识、经验等基础，即要明确学生“已经知道了什么”，在将要学习的内容中，可能遇到的思维障碍是什么，以及对于将要学习的内容是如何展开“思考”的.
教学实录 自学质疑
请拿出教材，阅读第100至101页，阅读教材时，请在不理解的部分打上问号，在认为重要的内容划上波浪线.（请同学写在黑板上）
师：哪里有疑问？
生1：“5∶2∶3”是什么意思？
生2：表示各数据的重要程度，这里表示采访最重要.
师：怎样表示创意最重要？
生3：提高创意的比例.
师：刚才那组同学把他们认为的重要内容写在了黑板上，你们也这样认为的吗？怎样理解权的意义？
生4：权反映数据的重要程度，哪个数据重要，可以让他的权变大一点.
生5：用比值可以表示权.这里的十分之五，就反映写作成绩的权.
师：请按照你的理解解决问题2.（学生展示解法并讲解.）
师：这样算得的叫加权平均数，请解释一下.
生6：增加了权的平均数.
师：如果想录取乙，该怎么做？
生7：提高命题的权，因为乙唯有这项分数高，提高它的权，才可能被录取.
师：利用加权平均数，可以兼顾各项成绩，又能体现数据的重要程度，可以帮助我们更客观地作出选择.
对于《平均数》的内容，学生小学中已经学习过算术平均数的概念及其计算方法，在此基础上，执教者采取指导学生阅读课本的方法，让学生自觅“加权平均数”的相关知识，方法得当.上述教学过程也显示，教师“教”的作用主要体现在如何让学生产生“自明性”，即在师生的平等对话中，不断追问，逐步逼近知识的本质——对“权”的理解.常识告诉我们，教学的本质是“去倾听学习者，并让我们的学习者告诉我们他们的思想.”基于这种理念，应不再把教学理解为教师讲解、学生倾听的过程，恰恰相反，教学应是学生讲解、教师倾听的过程.换言之，教学的根本不在于教师向学生讲了多少，而在于教师对学生理解了多少.倘若教学指向于理解，教师的任何讲授都必须建立在对学生的倾听之上.“只有创造机会让学生去言说和表现，教师才可能理解学生，学生也才可能相互理解，教师的讲授和其他教学行为也才有了可靠的基础.”本节课的执教者深知这一道理，教的过程就是“学生讲解，教师倾听”的过程.
3 理解教学——解决“为什么这样教”的问题
所谓教学，就是引起、维持、促进学习的所有行为.雅斯贝尔斯所著的《什么是教育》一书中，关于“教学”有以下观点：教学的本质在于唤醒；教学的本体在于对话；教学的本然在于追求“自明性”；教学的本真是需要自由的；教学的本源是要回归生活的……因此，数学教学的过程应该是唤醒学习欲望的过程，是师生平等对话的过程，是使得学生产生“自明性”的过程，是让学生体会数学与生活联系的过程，是自由活泼的过程，也是以数学知识发生发展过程为载体的学生的认知过程.
教学实录 课堂练习
小明所在的小组同学的身高如下（单位：cm）：168，168，170，160，168，160，170，160，168，170.求这组同学的平均身高.
要求：完成后，组长汇总小组的方法.同时交流归纳，何时用何种方法比较恰当？
生1：有三种方法.
方法1：按照平均数计算公式；
当出现重复数据较多时，用这种方法.
师：这样计算时，4，3，3分别是168，160，170的权.
生2：方法3将各个数据同时减去160，得到一组新的数据8，8，10，0，8，0，10，0，8，10.求得它们的平均数，再加上160.当一组数据都接近于某个数据时，采用这种方法比较恰当.
师：当一组数据较大，且接近于某个数据时，比较恰当.
师：如果小明组的平均身高比小丽组的平均身高高，是否说明小明就比小丽高呢？
生3：不是.
师：平均数反映的是数据的集中趋势，体现数据的平均水平，并不能反映单个数据的大小.
教学实录 课堂小结
师：我们小学就学过平均数，今天的学习你有哪些新的体会呢？加权平均数与算术平均数有什么区别与联系呢？
请各小组交流.
生：小学学的是算术平均数，现在学的是加权平均数，权是衡量数据重要程度的数值.
生：算术平均数容易受极端值影响，加权平均数则可以调整各数据的影响程度.
师：算术平均数其实可以看成各数据的权是多少？
生：都是1.
师：在统计学中，平均数有六类.同学们在今后高层次的学习中会接触到.
从本节课中的上述教学实录（包括前文中的教学实录）中也可以“看到”前述的过程，问题1和问题2的教学流程设置，让学生在情境对比中产生认知冲突，进而唤醒学生探究“加权平均数”的欲望；整节课的教学，教师仅仅充当“助产婆”的角色，在师生的平等对话中，让学生逐步“自明”加权平均数，形成自己的认知结构；所设置的问题情境都来源于真实的生活实际，让学生有种莫名的“亲切感”；教师所提的问题具有一定的开放性，让学生在课堂教学中“有声有色的阅读、有情有义的交流、有滋有味的探究”，教学过程是民主的、开放的、自由的；课堂小结也不落俗套，在充分理解的基础上完成学生“认知结构的再组织”；布置的作业“把今天上课的感受写成一篇数学小文章.”也别具一格，没有约定俗成的“计算”式作为，而是让学生写出感悟，可谓匠心独具.
可以说，正是基于教师对课堂教学中的载体“数学知识”的理解，对教学对象“认知基础”的理解，才有了对课堂教学的“本质要义”的把握.只有对课堂教学三要素“数学、学生、教学”的理解到位，课堂教学的效益才能得以凸显.
参考文献
[1] [德]卡尔·雅斯贝尔斯.什么是教育[M].邹进译.北京：生活·读书·新知，1991.
[2] 张华.对话教学：涵义与价值[J].全球教育展望，2008（6）.
[3] 章建跃.中学数学课改的十个论题[J].中学数学教学参考，2010（1-5）.
