深入研究课程标准，加强数学能力培养
李树臣
【摘要】数学教育教学的根本目的是提高学生的数学素养，数学能力是数学素养的核心构成要素，加强数学能力的培养至关重要.为了更加有效地培养学生的数学能力，必须认真研读《义务教育数学课程标准（2011年版）》，全方位的认识数学能力.数学能力由数学基本能力与一般能力构成，数学基本能力主要指运算能力、数学思维能力和几何直观能力.学生数学能力是在数学知识的学习、应用过程中形成、发展和提高的，培养学生的数学能力必须让学生经历“过程”，这些过程主要指数学化的过程、问题解决的过程和综合实践活动的过程.
【关键词】数学能力；数学化；问题解决；综合实践活动
我们所处的信息时代决定了数学教育教学不能仅仅满足于让学生获得基本的数学基础知识，更重要的是让学生获得在这个充满疑问、有时连问题和答案都不确定的世界里生存的本领.这就从根本上决定了数学教育教学必须致力于提高学生的整体数学素养.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（本文中以下简称《课标（2011年版）》）指出“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养[1].”在数学素养的构成结构中，数学能力是一个核心要素.著名的数学家乔治·波利亚指出“任何学问都包括知识和能力两个方面，能力比起知识来要重要的多，因此学校的目的应该是发展学生本身的内涵能力，而不是仅仅传授知识[2].”
关于数学能力的培养问题，广大的数学教育研究人员和一线教师历来都很重视，并且在努力探讨更加有效地教学途径.为帮助教师更好的培养学生的数学能力，笔者在本文首先谈谈对数学能力的认识，然后结合自己的研究提出培养学生数学能力的三条宏观途径.1全面认识数学能力
《课标（2011年版）》关于数学课程的“总目标”提出了三条，其中第二条是学生能：“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力[1].”这便是《课标（2011年版）》对学生数学能力目标的宏观要求.
所谓能力，通俗一点说，就是一个人的本领、本事.人的能力是有层次之分的，大体可分为本能、技能和智能.本能是指人生下来就存在的那些能力，既非来自气力，又非来自脑力；技能指通过机械式的学习、模仿而获得的，主要以气力为后盾的那些能力；智能则是靠脑力或智慧来显示其作用的那些能力.人的能力素质应该沿着“本能→技能→智能”这个发展方向来逐步培养和提高[3].
数学能力是一种特殊的能力，它是与数学活动相适应，保证数学活动顺利完成所必须具备的心理条件.由于数学活动通常分为数学学习和数学学术研究两种类型，所以数学能力相应的呈现出不同的水平.一种是数学学习能力，即能迅速、容易并且透彻地掌握数学知识、技能的那些独特的心理特征，另一种是数学研究能力，它是创造具有社会价值的新成果的创造性的能力.在数学教学中，我们通常指的是前一种能力[4].
根据以上观点，我们可以通俗的认为，数学能力是指在学习数学知识，掌握数学方法，运用数学技能解决数学问题时的本领，它是一个人数学素养的重要表现形式，也是一个人数学素养的核心成分.
《课标（2011年版）》在提出“总目标”后，从“知识技能、数学思考、问题解决、情感态度”四个方面进行了具体的阐述.关于数学能力的目标主要体现在前三个方面的要求之中.仔细研读这三个方面的具体要求，可以发现在《课标（2011年版）》提出的课程目标中，至少包含如下的数学能力：
（1）运算能力；（2）几何直观能力；（3）数据分析能力；（4）感受随机现象的能力；（5）合情推理能力；（6）演绎推理能力；（7）观察能力；（8）数学建模能力；（9）合作交流能力；（10）数学思考能力与表达能力等.
这些数学能力是由基本能力与一般能力构成的，数学基本能力主要指运算能力、数学思维能力和几何直观能力；一般能力包括观察能力、推理能力、处理数据的能力、发现问题和提出问题的能力等.
1.1运算能力
数学运算能力主要是指能够根据运算法则和运算律正确地进行运算的能力[1].运算能力是在不断地运用数学概念、法则、公式，经过一定数量的练习而逐步形成和发展的.教学中培养学生的运算能力有助于学生理解运算的算理，从而寻求合理简洁的运算途径解决问题.
1.2数学思维能力
数学思维能力泛指用数学的观点去思考问题和解决问题的能力，它在一个人的所有数学能力中处于核心地位.数学思维能力最基本的成分是逻辑思维能力和非逻辑思维能力.所谓逻辑思维能力，就是按照逻辑思维的规律，运用逻辑思维的方法进行思考、推理和论证的能力.非逻辑思维能力主要指归纳、类比及直觉思维的能力.归纳、类比和直觉思维都属于创造性思维的范畴.M·克莱因指出，“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直觉上.[5]”
1.3几何直观（或几何直观能力）
几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象.它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力.几何直观与“逻辑”、“推理”密不可分，常常靠逻辑来支撑.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用[1].
在上面诸能力中，逻辑思维能力为其核心.2培养学生数学能力的宏观途径
中学数学教育关于能力的培养主要是在“技能→智能”[3]间进行，究竟如何才能更加有效地培养和提高学生的数学能力呢？
我们在认真学习《课标（2011年版）》及有关研究成果的基础上，结合自己的思考与探索，认为下列措施是非常有效的：
2.1引导学生经历数学化的过程
著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔（Freudenthal）认为，“数学化”是指人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织以发现其规律的过程.简单地说，数学的组织现实世界的过程就是数学化[6].数学化可分为横向数学化（水平的）和纵向数学化（垂直的）两个层次[7]，即：
数学化横向——生活与数学的联系从现实世界到数学知识
从数学知识到实际问题
纵向——数学知识内部的迁移与调整（从数学到数学）
横向数学化是从现实世界到数学知识或从数学知识到实际问题的过程，其结果是形成了数学概念、运算法则、规律、定理，以及为解决实际问题而构造的数学模型等，它注重的是数学与现实生活的联系.纵向数学化是从数学到数学，以已有知识为基础进行综合、演绎、整理的过程，其结果必然形成了不同层次的公理体系和形式体系，注重的是数学知识内部的迁移和调整，达到深化数学知识，或者使数学知识系统化的目的.如公式推导、证明等.
从数学化的角度看，我们应把培养学生的数学能力贯穿于整个数学学习过程之中，这是培养学生运算能力的根本途径，“贯穿于整个数学学习过程”的含义如下[8]：
（1）把培养学生运算能力贯穿于整个数学课程的各个学习内容中，即应包括数与代数、图形与几何、统计与概率以及综合与实践等所有课程领域.
（2）把培养学生的数学能力贯穿于数学课堂教学的各种活动过程中.如在有些概念的教学中，要引导学生通过运算经历从特定对象的本质属性入手，抽象、概括形成概念的过程，并引导学生通过解答有关问题加深对概念的理解；在命题教学中，引导学生分清条件、结论，正确把握条件和结论之间的逻辑关系，选择恰当的运算方法解答；在证明题的教学中，要让学生在运用有关知识的基础上（定理、公理、法则），先用合情推理探索得到有关结论，再用演绎推理加以证明.
（3）把培养学生的数学能力贯穿于整个数学学习的环节之中，如预习、复习、课堂教学、反馈练习等，在所有的这些学习环节中，都要设计相应的问题，让学生在经历观察、思考、计算、推理、论证、交流等活动的过程中完成对问题的解答，从而不断提高学生的数学能力.
案例1n边形的内角和定理的探究发现过程.
对于多边形的内角和定理的学习过程，教师应把重点放在引导学生经历探索定理的过程上，而不是让学生简单地看看课本并记住n边形的内角和定理和应用这一定理上.笔者认为可引导学生经历下述过程：
（1）已知四边形ABCD（如图1），你能计算出它的内角和来吗？相互交流自己的计算方法.
设计意图学生通过计算、相互交流发现四边形的内角和可以通过添加辅助线，将它分割成三角形，利用三角形内角和性质得到.这个过程主要体现了转化的思想，具体的转化过程有以下三种：
观察表中的结果，你发现了什么规律？与同学交流.
（3）你能根据前面的方法计算出如图3所示的n边形的内角和来吗？
设计意图目的是引导学生借助求四边形、五边形、六边形、七边形的内角和的经验，通过添加辅助线，将n边形分割成三角形，其转化的过程可归纳为图4所示的三种情形.
这样，学生在解答上述问题的过程中，通过计算、交流、归纳、将会得到一个重要结论：
n边形的内角和为（n-2）·180°.
这个结论是学生在“数学化”的过程中自己探究得到的，而不是教师直接“塞给”他们的.学生在探究的过程中，其数学观察能力、运算能力、几何直观能力、交流能力、归纳发现能力等都将得到培养和提高.最重要的是学生在探究这一定理的过程中，不仅掌握了n边形的内角和定理，还掌握了转化的方法，积累了数学活动经验，这对于学生的自主发展具有重要的价值，所以说这种导学设计符合《课标（2011年版）》提出的“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展[1]”的核心理念.
2.2重视问题解决活动
问题解决是由一定的情景引起的，按照一定的目标，应用各种认知活动、技能等，经过一系列的思维操作，使问题得以解决的过程.《课标（2011年版）》针对“问题解决”提出了四条要求[1]：
（1）初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力.
（2）获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识.
（3）学会与他人合作交流.
（4）初步形成评价与反思的意识.
事实上，问题解决既是数学课程的目标，也是呈现课程内容的一种方式；既是一种教学方式，也是一种学习形式，还是一种数学能力.
问题解决包括从数学的角度发现问题、提出问题、分析问题和解决问题四个层面，学生通过问题解决活动能实现“再创造”的目的.因此，数学教学应结合课程内容，创设各种有价值的问题情境，以此引导学生去观察、思考，从而使他们面对各种复杂的情境、现象时都能有机会“从数学的角度发现问题和提出问题[1]”.这里的“问题一般指对人类具有智力挑战特征的，没有现成方法、程序或算法可以直接套用的那类问题.[9]”这些问题一般来讲，具有较高的思维含量，并带有一定的普遍性、典型性和规律性，同时又往往和生活、生产实际相联系[8].要解决这样的问题，要求学生能够从给出的问题情境中通过分析，获取有关的信息，利用这些信息建立起数学模型，并能够灵活运用有关知识加以解决.问题解决能力就是在解决这样的数学问题的过程中逐渐形成和发展的.
案例2打乒乓球中的学问（2015年浙江丽水中考题）.
如图5，某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：
（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？
（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a（x-3）2+k.
【摘要】数学教育教学的根本目的是提高学生的数学素养，数学能力是数学素养的核心构成要素，加强数学能力的培养至关重要.为了更加有效地培养学生的数学能力，必须认真研读《义务教育数学课程标准（2011年版）》，全方位的认识数学能力.数学能力由数学基本能力与一般能力构成，数学基本能力主要指运算能力、数学思维能力和几何直观能力.学生数学能力是在数学知识的学习、应用过程中形成、发展和提高的，培养学生的数学能力必须让学生经历“过程”，这些过程主要指数学化的过程、问题解决的过程和综合实践活动的过程.
【关键词】数学能力；数学化；问题解决；综合实践活动
我们所处的信息时代决定了数学教育教学不能仅仅满足于让学生获得基本的数学基础知识，更重要的是让学生获得在这个充满疑问、有时连问题和答案都不确定的世界里生存的本领.这就从根本上决定了数学教育教学必须致力于提高学生的整体数学素养.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（本文中以下简称《课标（2011年版）》）指出“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养[1].”在数学素养的构成结构中，数学能力是一个核心要素.著名的数学家乔治·波利亚指出“任何学问都包括知识和能力两个方面，能力比起知识来要重要的多，因此学校的目的应该是发展学生本身的内涵能力，而不是仅仅传授知识[2].”
关于数学能力的培养问题，广大的数学教育研究人员和一线教师历来都很重视，并且在努力探讨更加有效地教学途径.为帮助教师更好的培养学生的数学能力，笔者在本文首先谈谈对数学能力的认识，然后结合自己的研究提出培养学生数学能力的三条宏观途径.1全面认识数学能力
《课标（2011年版）》关于数学课程的“总目标”提出了三条，其中第二条是学生能：“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力[1].”这便是《课标（2011年版）》对学生数学能力目标的宏观要求.
所谓能力，通俗一点说，就是一个人的本领、本事.人的能力是有层次之分的，大体可分为本能、技能和智能.本能是指人生下来就存在的那些能力，既非来自气力，又非来自脑力；技能指通过机械式的学习、模仿而获得的，主要以气力为后盾的那些能力；智能则是靠脑力或智慧来显示其作用的那些能力.人的能力素质应该沿着“本能→技能→智能”这个发展方向来逐步培养和提高[3].
数学能力是一种特殊的能力，它是与数学活动相适应，保证数学活动顺利完成所必须具备的心理条件.由于数学活动通常分为数学学习和数学学术研究两种类型，所以数学能力相应的呈现出不同的水平.一种是数学学习能力，即能迅速、容易并且透彻地掌握数学知识、技能的那些独特的心理特征，另一种是数学研究能力，它是创造具有社会价值的新成果的创造性的能力.在数学教学中，我们通常指的是前一种能力[4].
根据以上观点，我们可以通俗的认为，数学能力是指在学习数学知识，掌握数学方法，运用数学技能解决数学问题时的本领，它是一个人数学素养的重要表现形式，也是一个人数学素养的核心成分.
《课标（2011年版）》在提出“总目标”后，从“知识技能、数学思考、问题解决、情感态度”四个方面进行了具体的阐述.关于数学能力的目标主要体现在前三个方面的要求之中.仔细研读这三个方面的具体要求，可以发现在《课标（2011年版）》提出的课程目标中，至少包含如下的数学能力：
（1）运算能力；（2）几何直观能力；（3）数据分析能力；（4）感受随机现象的能力；（5）合情推理能力；（6）演绎推理能力；（7）观察能力；（8）数学建模能力；（9）合作交流能力；（10）数学思考能力与表达能力等.
这些数学能力是由基本能力与一般能力构成的，数学基本能力主要指运算能力、数学思维能力和几何直观能力；一般能力包括观察能力、推理能力、处理数据的能力、发现问题和提出问题的能力等.
1.1运算能力
数学运算能力主要是指能够根据运算法则和运算律正确地进行运算的能力[1].运算能力是在不断地运用数学概念、法则、公式，经过一定数量的练习而逐步形成和发展的.教学中培养学生的运算能力有助于学生理解运算的算理，从而寻求合理简洁的运算途径解决问题.
1.2数学思维能力
数学思维能力泛指用数学的观点去思考问题和解决问题的能力，它在一个人的所有数学能力中处于核心地位.数学思维能力最基本的成分是逻辑思维能力和非逻辑思维能力.所谓逻辑思维能力，就是按照逻辑思维的规律，运用逻辑思维的方法进行思考、推理和论证的能力.非逻辑思维能力主要指归纳、类比及直觉思维的能力.归纳、类比和直觉思维都属于创造性思维的范畴.M·克莱因指出，“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直觉上.[5]”
1.3几何直观（或几何直观能力）
几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象.它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力.几何直观与“逻辑”、“推理”密不可分，常常靠逻辑来支撑.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用[1].
在上面诸能力中，逻辑思维能力为其核心.2培养学生数学能力的宏观途径
中学数学教育关于能力的培养主要是在“技能→智能”[3]间进行，究竟如何才能更加有效地培养和提高学生的数学能力呢？
我们在认真学习《课标（2011年版）》及有关研究成果的基础上，结合自己的思考与探索，认为下列措施是非常有效的：
2.1引导学生经历数学化的过程
著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔（Freudenthal）认为，“数学化”是指人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织以发现其规律的过程.简单地说，数学的组织现实世界的过程就是数学化[6].数学化可分为横向数学化（水平的）和纵向数学化（垂直的）两个层次[7]，即：
数学化横向——生活与数学的联系从现实世界到数学知识
从数学知识到实际问题
纵向——数学知识内部的迁移与调整（从数学到数学）
横向数学化是从现实世界到数学知识或从数学知识到实际问题的过程，其结果是形成了数学概念、运算法则、规律、定理，以及为解决实际问题而构造的数学模型等，它注重的是数学与现实生活的联系.纵向数学化是从数学到数学，以已有知识为基础进行综合、演绎、整理的过程，其结果必然形成了不同层次的公理体系和形式体系，注重的是数学知识内部的迁移和调整，达到深化数学知识，或者使数学知识系统化的目的.如公式推导、证明等.
从数学化的角度看，我们应把培养学生的数学能力贯穿于整个数学学习过程之中，这是培养学生运算能力的根本途径，“贯穿于整个数学学习过程”的含义如下[8]：
（1）把培养学生运算能力贯穿于整个数学课程的各个学习内容中，即应包括数与代数、图形与几何、统计与概率以及综合与实践等所有课程领域.
（2）把培养学生的数学能力贯穿于数学课堂教学的各种活动过程中.如在有些概念的教学中，要引导学生通过运算经历从特定对象的本质属性入手，抽象、概括形成概念的过程，并引导学生通过解答有关问题加深对概念的理解；在命题教学中，引导学生分清条件、结论，正确把握条件和结论之间的逻辑关系，选择恰当的运算方法解答；在证明题的教学中，要让学生在运用有关知识的基础上（定理、公理、法则），先用合情推理探索得到有关结论，再用演绎推理加以证明.
（3）把培养学生的数学能力贯穿于整个数学学习的环节之中，如预习、复习、课堂教学、反馈练习等，在所有的这些学习环节中，都要设计相应的问题，让学生在经历观察、思考、计算、推理、论证、交流等活动的过程中完成对问题的解答，从而不断提高学生的数学能力.
案例1n边形的内角和定理的探究发现过程.
对于多边形的内角和定理的学习过程，教师应把重点放在引导学生经历探索定理的过程上，而不是让学生简单地看看课本并记住n边形的内角和定理和应用这一定理上.笔者认为可引导学生经历下述过程：
（1）已知四边形ABCD（如图1），你能计算出它的内角和来吗？相互交流自己的计算方法.
设计意图学生通过计算、相互交流发现四边形的内角和可以通过添加辅助线，将它分割成三角形，利用三角形内角和性质得到.这个过程主要体现了转化的思想，具体的转化过程有以下三种：
观察表中的结果，你发现了什么规律？与同学交流.
（3）你能根据前面的方法计算出如图3所示的n边形的内角和来吗？
设计意图目的是引导学生借助求四边形、五边形、六边形、七边形的内角和的经验，通过添加辅助线，将n边形分割成三角形，其转化的过程可归纳为图4所示的三种情形.
这样，学生在解答上述问题的过程中，通过计算、交流、归纳、将会得到一个重要结论：
n边形的内角和为（n-2）·180°.
这个结论是学生在“数学化”的过程中自己探究得到的，而不是教师直接“塞给”他们的.学生在探究的过程中，其数学观察能力、运算能力、几何直观能力、交流能力、归纳发现能力等都将得到培养和提高.最重要的是学生在探究这一定理的过程中，不仅掌握了n边形的内角和定理，还掌握了转化的方法，积累了数学活动经验，这对于学生的自主发展具有重要的价值，所以说这种导学设计符合《课标（2011年版）》提出的“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展[1]”的核心理念.
2.2重视问题解决活动
问题解决是由一定的情景引起的，按照一定的目标，应用各种认知活动、技能等，经过一系列的思维操作，使问题得以解决的过程.《课标（2011年版）》针对“问题解决”提出了四条要求[1]：
（1）初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力.
（2）获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识.
（3）学会与他人合作交流.
（4）初步形成评价与反思的意识.
事实上，问题解决既是数学课程的目标，也是呈现课程内容的一种方式；既是一种教学方式，也是一种学习形式，还是一种数学能力.
问题解决包括从数学的角度发现问题、提出问题、分析问题和解决问题四个层面，学生通过问题解决活动能实现“再创造”的目的.因此，数学教学应结合课程内容，创设各种有价值的问题情境，以此引导学生去观察、思考，从而使他们面对各种复杂的情境、现象时都能有机会“从数学的角度发现问题和提出问题[1]”.这里的“问题一般指对人类具有智力挑战特征的，没有现成方法、程序或算法可以直接套用的那类问题.[9]”这些问题一般来讲，具有较高的思维含量，并带有一定的普遍性、典型性和规律性，同时又往往和生活、生产实际相联系[8].要解决这样的问题，要求学生能够从给出的问题情境中通过分析，获取有关的信息，利用这些信息建立起数学模型，并能够灵活运用有关知识加以解决.问题解决能力就是在解决这样的数学问题的过程中逐渐形成和发展的.
案例2打乒乓球中的学问（2015年浙江丽水中考题）.
如图5，某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：
（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？
（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a（x-3）2+k.
