运用”变式“进行复习课的教学设计与反思
梁艳云 涂爱玲
【摘要】复习课的教学设计，既要考虑知识方法的系统性，又要考虑问题的可拓展性，通过问题变式，让学生发现知识间的相互联系，通过问题解决，积累解题经验，总结解题规律，形成解题技能，上升到通解通法，从而达到会一题，通一片的教学效果.
【关键词】复习课；解法探究；问题变式；解题规律
数学复习课是指一个教学单元或一章结束或期中、期末以及学段的知识回顾与概括.它的作用是系统归纳整理所学的基础知识、基本技能，沟通知识、方法间的联系，深化提炼数学思想方法，提高实践应用能力，帮助学生形成合乎逻辑的知识结构.然而复习课没有固定的教材蓝本，教师面临庞杂、众多的知识点，变化多端的题型，纵横交错的解题方法和技巧，何处入手？将基础知识一一罗列，将例题一一呈现，将解题方法一一展示？知识的简单罗列容易让学生产生厌倦感；例题接连不断的呈现也容易造成神经麻木；解题方法的层出不穷又易让学生无所适从.怎么办？如何避免以上的弊端，达成有效的、高效的复习课堂？首先要明确目标，削支强干，突出主题，不能要求知识全面覆盖，只有目标清晰，才能突出重点.其次知识呈现问题化，将知识蕴含于问题之中，通过问题的解决再提炼概括主要的知识内容，设计开放性问题，能有效地激发学生的探究欲望，温故而知新.最后问题呈现层次化，注重夯实基础，注重落实技能，注重培养学生的思维能力.变式教学复习课的教学模式是采用变式设计思路，具体操作程序为：“问题情境→知识再现→范例精选→解法探究→变式应用→总结升华”.应当指出，上述六个环节可根据具体情况所有删减.下面以全等三角形复习课为例，说明如何运用变式教学进行复习课设计.
教学设计
一、问题情境
全等三角形复习课前，班级以小组为单位举行了一次以全等三角形拼图为主题的图形设计大赛，下面是从学生设计的图形中挑选出来的几幅作品.（如图1）
作品展示：
引问请你根据图形特点，说说下列每幅作品的设计思路.（如图2）
作品揭秘：
设计说明为了让学生经历全等三角形图形的创作过程，教师为每个学习小组提供了若干对全等三角形，让学生运用图形的平移、旋转、翻折及其组合变换，通过亲自动手操作，获得对本章常见的几类图形全面的感性认识，同时教师还为学生准备了不全等的等边三角形、正方形，进行顶点重合的旋转拼图，为后面的拓展应用埋下伏笔，整节课由此展开.作品揭秘让学生深层次的了解图形发展、演变，并形成具体的理性认识.图形提炼让学生从活动经验中提取基本图形，自然进入问题的探究.
二、知识再现
复习课不是知识的简单重复与再现，而是可以通过精心设置一些或开放或变式的问题串，使学生在具体的问题解决中对所学知识进行回顾与概括，从而宏观把握本章知识体系，其问题特点是起点低，入口宽.
问题1如图4，B，C（D），E四点在同一条直线上，∠B=∠E=90°，AB=CE，请添加一个适当的条件，使得△ABC≌△DEF.
问题2如图5，△ABC≌△AEF，则图中还有对全等的三角形.
设计说明问题1条件开放，问题2结论开放，其目的是从不同的角度唤醒学生对全等三角形性质与判定的回忆与灵活应用.首先，开放式的提问能使不同层次的学生都有思考的余地，基础弱的学生思维较窄，能够联系的知识较少，而基础好的学生思维开阔，可以不断发掘问题中新的知识增长点，不断完善答案，从中获得成就感.所有学生在问题解决过程中，知识方法互为补充，不断完善，能力不断提升.其次，知识呈现问题化，通过问题的解决获取知识，改变了传统复习中，单调的简单重复与罗列，更具思考性和开阔性.
归纳与总结
问题3（自主编题）如图6，B，C（D），E四点在同一条直线上∠B=∠E=90°，请从以下图形中，任选一个，添加适当的条件，并提出一个问题.
设计说明为进一步巩固全等三角形的性质与判定，类比问题1的图形，引导学生提出问题，从更高的层次俯视知识之间的联系，同时，运用学生自己创作的图形设计问题，既有亲切感，又能消除老师出题的神秘感，增强学生面对问题时的自信心，从而从容淡定的面对问题.
在知识再现环节中，教师的主导作用体现在：（1）设计针对性、启发强的问题，唤醒学生对旧知识的回顾.（2）引导学生归纳概括建立知识结构.学生的主体作用体现在：主动参与，积极回顾、探究所学知识的内在本质联系，建立明晰的知识体系，使所学知识在回顾与反思中得到进一步升华.
三、范例精选
复习课所选的范例应具有四性：针对性——针对复习专题的内容和学生的实际情况；典型性——根据某一重要的知识点或某种重要的思想方法选取有代表性的，能起到以点带面的典例；综合性——体现在所复习专题的知识、方法在本章及本学科中的应用广泛；层次性——即范例的选排、变式题的探索要有层次性，如由基础到技巧、由简单到复杂、由单一到综合等.
问题4如图7，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外做等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD.请你完成图形，①证明：BE=CD；②求∠BOD=.
设计说明问题4是全等三角形应用中具有代表性的一类问题.问题4①、②的解题方法是一法多用的经典之作（在接下来的“变式拓展”环节中可见一斑），它综合了等边三角形的性质，运用SAS就能顺利证明线段相等，进一步利用全等三角形及对顶三角形的性质就能迎刃而解，求出BE、CD相交的夹角度数.两个小问都具有可拓展性，解题思路和方法承上启下，结论呈现规律性，是一个不可多得的典例.
在精选范例环节中，教师的主导作用体现在：选择符合针对性、典型性、综合性、层次性的题目，为学生创设广阔的探索空间.学生的主体作用体现在：自主审题，为实施解法变式、题目变式作好情感准备.
四、解法探究
通过对范例实施解法探究，追求一题多解，多题一解、一法多用、解法优化，培养学生思维的广阔性、灵活性和深刻性.
解法剖析如图8.
设计说明对问题4的解法探究，为“变式拓展”环节问题的解决提供了清晰的分析思路和解题策略.在解法探究环节中，教师的主导作用体现在：引导学生剖析图形，理清思路，形成策略，为学生探究解法指明方向.学生的主体作用体现在：自主探究，小组合作，实施解法变式，最终对比解法，完成解法探究的最优化.
五、变式应用
通过师生对问题的共同探索（包括变化条件、探求讨论、等价变化、逆向探索、图形变化、推广拓广等），获得题目的变式，从而培养、锻炼学生的探索创新能力.
变式1如图9，已知△ABC，以AB、AC为边向外做正方形ABFD和正方形ACGE.连接BE，CD.BE与CD有什么关系？简单说明理由；
变式2如图10，已知△ABC，以AB、AC为边向外做正五边形ABGFD和正五形ACHIE.连接BE，CD.BE与CD是否相等？你知道BE与CD所形成的∠DOB的度数吗？图9图10图11
变式3如图11，已知△ABC，若以AB、AC为边向外做正n边形ABGF…D和正n形ACHI…E.连接BE，CD.BE与CD是否相等？你知道BE与CD所形成的∠BOD的度数吗？
变式4如图12，若将△ACE绕点A逆时针至图13，连接BE，CD.
①BE=CD是否成立？
②延长BE交CD于点O，则∠BOD=.
变式5如图14，若将变式4中的“△ABD和△ACE”改为“正方形ABFD和正方形ACGE”，其他条件不变；①BE=CD是否成立？
②延长BE交CD于点O，则∠BOD=.
变式6如图15，若将变式5中的“正方形ABFD和正方形ACGE”改为“正n方形ABGF…D和正方形AEI…HC”，其他条件不变；①BE=CD是否成立？
②延长BE交CD于点O，则∠BOD=.
设计说明这组变式题是对问题4的变式拓展.图形变式由外旋→内旋；由等边三角形→正方形→…→正n方形；解题方法类比问题4，前后关联，一脉相承.通过问题4的变式让学生发现知识相互关联、问题可以拓展、图形可以变式、解法可以相通，达到会一题，通一片的教学效果.问题呈现的规律性，展示着数学的无限魅力！
在变式拓展环节中，教师的主导作用体现在：①诱导启发，创设情境，激发学生的探索、发现的欲望.②适时引导、点拨，指引学生的探索方向.③及时评价，鼓励学生发扬探索的精神.学生的主体作用体现在：通过独立探索、小组讨论、集体交流等方式，全员参与、积极思维，最大限度地探索问题的各种变式.
六、总结升华
在课堂总结环节，一是对解题方法、规律的总结升华，对课堂上所用知识、方法加以梳理、概括，纳入知识方法体系；二是对研究问题的方法加以总结，使学生掌握探究学习的方式方法，并逐步使之成为学生的自觉行为.
问题5通过本节课的学习，你学到了哪些知识，解决了哪些问题，让你印象最深的又是什么？你获得了哪些经验？
设计说明用一个开放性问题引导学生回顾本节课所学的内容，指导学生梳理知识、提炼方法、概括问题、拓展思维，帮助学生构建知识网络，掌握研究问题的一般方式，宏观把握整章的知识脉络，富于关联，指向多方.
在总结升华环节中，教师的主导作用体现在：（1）引领点拨，引导学生梳理、概括、归纳、发现.（2）适时评价，激励学生自主构建知识方法思想体系.学生的主体作用体现在：积极思考、自主整合、小组交流，完善对整节课的理解，进一步完成知识方法的内化.
课后反思
复习课不是简单的重复，而是学生知识的升华和能力的提高，更是方法的提炼和总结、以及思维能力的培养与训练.复习课例题的选择很重要，问题的选择要准、要少、要精、要有很强的针对性；选择的依据是学生学习的重点、难点、疑点，即考试时的失分点；讲解时要立足于“思”、“悟”、“透”.一个题一旦决定要讲，就必须做好：一要讲透（分析、铺垫）；二要展开（变式、开放），切忌面面俱到，蜻蜓点水，否则就会造成以题论题的低效课堂.
复习课的问题导入讲究开局谋篇统领全局，既要考虑知识方法的系统性，又要考虑问题情境的可拓展性，几何复习课可构思一些如做图、拼图、折纸等动手操作的实践活动，让学生从新的视角开启对已学知识内容的再认识.在复习课教学时，由于问题有一定的难度，为了大面面积提高教学质量，所以需要铺设台阶问题才能顺利解决，因此要做好铺垫工作；问题解决是为了积累解题经验，总结解题规律，形成解题技能，上升到通解通法，所以，问题解决后要及时进行方法归纳，实现知识正迁移，从而提高数学能力.
【摘要】复习课的教学设计，既要考虑知识方法的系统性，又要考虑问题的可拓展性，通过问题变式，让学生发现知识间的相互联系，通过问题解决，积累解题经验，总结解题规律，形成解题技能，上升到通解通法，从而达到会一题，通一片的教学效果.
【关键词】复习课；解法探究；问题变式；解题规律
数学复习课是指一个教学单元或一章结束或期中、期末以及学段的知识回顾与概括.它的作用是系统归纳整理所学的基础知识、基本技能，沟通知识、方法间的联系，深化提炼数学思想方法，提高实践应用能力，帮助学生形成合乎逻辑的知识结构.然而复习课没有固定的教材蓝本，教师面临庞杂、众多的知识点，变化多端的题型，纵横交错的解题方法和技巧，何处入手？将基础知识一一罗列，将例题一一呈现，将解题方法一一展示？知识的简单罗列容易让学生产生厌倦感；例题接连不断的呈现也容易造成神经麻木；解题方法的层出不穷又易让学生无所适从.怎么办？如何避免以上的弊端，达成有效的、高效的复习课堂？首先要明确目标，削支强干，突出主题，不能要求知识全面覆盖，只有目标清晰，才能突出重点.其次知识呈现问题化，将知识蕴含于问题之中，通过问题的解决再提炼概括主要的知识内容，设计开放性问题，能有效地激发学生的探究欲望，温故而知新.最后问题呈现层次化，注重夯实基础，注重落实技能，注重培养学生的思维能力.变式教学复习课的教学模式是采用变式设计思路，具体操作程序为：“问题情境→知识再现→范例精选→解法探究→变式应用→总结升华”.应当指出，上述六个环节可根据具体情况所有删减.下面以全等三角形复习课为例，说明如何运用变式教学进行复习课设计.
教学设计
一、问题情境
全等三角形复习课前，班级以小组为单位举行了一次以全等三角形拼图为主题的图形设计大赛，下面是从学生设计的图形中挑选出来的几幅作品.（如图1）
作品展示：
引问请你根据图形特点，说说下列每幅作品的设计思路.（如图2）
作品揭秘：
设计说明为了让学生经历全等三角形图形的创作过程，教师为每个学习小组提供了若干对全等三角形，让学生运用图形的平移、旋转、翻折及其组合变换，通过亲自动手操作，获得对本章常见的几类图形全面的感性认识，同时教师还为学生准备了不全等的等边三角形、正方形，进行顶点重合的旋转拼图，为后面的拓展应用埋下伏笔，整节课由此展开.作品揭秘让学生深层次的了解图形发展、演变，并形成具体的理性认识.图形提炼让学生从活动经验中提取基本图形，自然进入问题的探究.
二、知识再现
复习课不是知识的简单重复与再现，而是可以通过精心设置一些或开放或变式的问题串，使学生在具体的问题解决中对所学知识进行回顾与概括，从而宏观把握本章知识体系，其问题特点是起点低，入口宽.
问题1如图4，B，C（D），E四点在同一条直线上，∠B=∠E=90°，AB=CE，请添加一个适当的条件，使得△ABC≌△DEF.
问题2如图5，△ABC≌△AEF，则图中还有对全等的三角形.
设计说明问题1条件开放，问题2结论开放，其目的是从不同的角度唤醒学生对全等三角形性质与判定的回忆与灵活应用.首先，开放式的提问能使不同层次的学生都有思考的余地，基础弱的学生思维较窄，能够联系的知识较少，而基础好的学生思维开阔，可以不断发掘问题中新的知识增长点，不断完善答案，从中获得成就感.所有学生在问题解决过程中，知识方法互为补充，不断完善，能力不断提升.其次，知识呈现问题化，通过问题的解决获取知识，改变了传统复习中，单调的简单重复与罗列，更具思考性和开阔性.
归纳与总结
问题3（自主编题）如图6，B，C（D），E四点在同一条直线上∠B=∠E=90°，请从以下图形中，任选一个，添加适当的条件，并提出一个问题.
设计说明为进一步巩固全等三角形的性质与判定，类比问题1的图形，引导学生提出问题，从更高的层次俯视知识之间的联系，同时，运用学生自己创作的图形设计问题，既有亲切感，又能消除老师出题的神秘感，增强学生面对问题时的自信心，从而从容淡定的面对问题.
在知识再现环节中，教师的主导作用体现在：（1）设计针对性、启发强的问题，唤醒学生对旧知识的回顾.（2）引导学生归纳概括建立知识结构.学生的主体作用体现在：主动参与，积极回顾、探究所学知识的内在本质联系，建立明晰的知识体系，使所学知识在回顾与反思中得到进一步升华.
三、范例精选
复习课所选的范例应具有四性：针对性——针对复习专题的内容和学生的实际情况；典型性——根据某一重要的知识点或某种重要的思想方法选取有代表性的，能起到以点带面的典例；综合性——体现在所复习专题的知识、方法在本章及本学科中的应用广泛；层次性——即范例的选排、变式题的探索要有层次性，如由基础到技巧、由简单到复杂、由单一到综合等.
问题4如图7，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外做等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD.请你完成图形，①证明：BE=CD；②求∠BOD=.
设计说明问题4是全等三角形应用中具有代表性的一类问题.问题4①、②的解题方法是一法多用的经典之作（在接下来的“变式拓展”环节中可见一斑），它综合了等边三角形的性质，运用SAS就能顺利证明线段相等，进一步利用全等三角形及对顶三角形的性质就能迎刃而解，求出BE、CD相交的夹角度数.两个小问都具有可拓展性，解题思路和方法承上启下，结论呈现规律性，是一个不可多得的典例.
在精选范例环节中，教师的主导作用体现在：选择符合针对性、典型性、综合性、层次性的题目，为学生创设广阔的探索空间.学生的主体作用体现在：自主审题，为实施解法变式、题目变式作好情感准备.
四、解法探究
通过对范例实施解法探究，追求一题多解，多题一解、一法多用、解法优化，培养学生思维的广阔性、灵活性和深刻性.
解法剖析如图8.
设计说明对问题4的解法探究，为“变式拓展”环节问题的解决提供了清晰的分析思路和解题策略.在解法探究环节中，教师的主导作用体现在：引导学生剖析图形，理清思路，形成策略，为学生探究解法指明方向.学生的主体作用体现在：自主探究，小组合作，实施解法变式，最终对比解法，完成解法探究的最优化.
五、变式应用
通过师生对问题的共同探索（包括变化条件、探求讨论、等价变化、逆向探索、图形变化、推广拓广等），获得题目的变式，从而培养、锻炼学生的探索创新能力.
变式1如图9，已知△ABC，以AB、AC为边向外做正方形ABFD和正方形ACGE.连接BE，CD.BE与CD有什么关系？简单说明理由；
变式2如图10，已知△ABC，以AB、AC为边向外做正五边形ABGFD和正五形ACHIE.连接BE，CD.BE与CD是否相等？你知道BE与CD所形成的∠DOB的度数吗？图9图10图11
变式3如图11，已知△ABC，若以AB、AC为边向外做正n边形ABGF…D和正n形ACHI…E.连接BE，CD.BE与CD是否相等？你知道BE与CD所形成的∠BOD的度数吗？
变式4如图12，若将△ACE绕点A逆时针至图13，连接BE，CD.
①BE=CD是否成立？
②延长BE交CD于点O，则∠BOD=.
变式5如图14，若将变式4中的“△ABD和△ACE”改为“正方形ABFD和正方形ACGE”，其他条件不变；①BE=CD是否成立？
②延长BE交CD于点O，则∠BOD=.
变式6如图15，若将变式5中的“正方形ABFD和正方形ACGE”改为“正n方形ABGF…D和正方形AEI…HC”，其他条件不变；①BE=CD是否成立？
②延长BE交CD于点O，则∠BOD=.
设计说明这组变式题是对问题4的变式拓展.图形变式由外旋→内旋；由等边三角形→正方形→…→正n方形；解题方法类比问题4，前后关联，一脉相承.通过问题4的变式让学生发现知识相互关联、问题可以拓展、图形可以变式、解法可以相通，达到会一题，通一片的教学效果.问题呈现的规律性，展示着数学的无限魅力！
在变式拓展环节中，教师的主导作用体现在：①诱导启发，创设情境，激发学生的探索、发现的欲望.②适时引导、点拨，指引学生的探索方向.③及时评价，鼓励学生发扬探索的精神.学生的主体作用体现在：通过独立探索、小组讨论、集体交流等方式，全员参与、积极思维，最大限度地探索问题的各种变式.
六、总结升华
在课堂总结环节，一是对解题方法、规律的总结升华，对课堂上所用知识、方法加以梳理、概括，纳入知识方法体系；二是对研究问题的方法加以总结，使学生掌握探究学习的方式方法，并逐步使之成为学生的自觉行为.
问题5通过本节课的学习，你学到了哪些知识，解决了哪些问题，让你印象最深的又是什么？你获得了哪些经验？
设计说明用一个开放性问题引导学生回顾本节课所学的内容，指导学生梳理知识、提炼方法、概括问题、拓展思维，帮助学生构建知识网络，掌握研究问题的一般方式，宏观把握整章的知识脉络，富于关联，指向多方.
在总结升华环节中，教师的主导作用体现在：（1）引领点拨，引导学生梳理、概括、归纳、发现.（2）适时评价，激励学生自主构建知识方法思想体系.学生的主体作用体现在：积极思考、自主整合、小组交流，完善对整节课的理解，进一步完成知识方法的内化.
课后反思
复习课不是简单的重复，而是学生知识的升华和能力的提高，更是方法的提炼和总结、以及思维能力的培养与训练.复习课例题的选择很重要，问题的选择要准、要少、要精、要有很强的针对性；选择的依据是学生学习的重点、难点、疑点，即考试时的失分点；讲解时要立足于“思”、“悟”、“透”.一个题一旦决定要讲，就必须做好：一要讲透（分析、铺垫）；二要展开（变式、开放），切忌面面俱到，蜻蜓点水，否则就会造成以题论题的低效课堂.
复习课的问题导入讲究开局谋篇统领全局，既要考虑知识方法的系统性，又要考虑问题情境的可拓展性，几何复习课可构思一些如做图、拼图、折纸等动手操作的实践活动，让学生从新的视角开启对已学知识内容的再认识.在复习课教学时，由于问题有一定的难度，为了大面面积提高教学质量，所以需要铺设台阶问题才能顺利解决，因此要做好铺垫工作；问题解决是为了积累解题经验，总结解题规律，形成解题技能，上升到通解通法，所以，问题解决后要及时进行方法归纳，实现知识正迁移，从而提高数学能力.
