探究失误原因反思教学问题
【摘要】符号意识是《义务教育数学课程标准》（2011年版）提出的10个核心概念之一.建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式，但符号意识的形成与发展仍常被忽视.通过对学生中考失误原因的探究分析，说明发展符号意识的重要性；结合教材课时内容的分析解读，说明理解教材对教学的现实意义.
【关键词】符号意识；角色缺位；角色错位；理解教材
安徽省2015年中考数学试卷第22题是一道题意较明了，也无须经过复杂推理与计算的试题，但从笔者所在市三区联合网上阅卷的中考成绩统计来看，本题平均得分约为409分（满分12分），得0分的比例为428%.一道看似平淡无奇的试题，如此低的得分率，其原因值得我们探究.笔者曾在文献[1]中，对学生的失分原因作过分析，但总觉得还没有揭示出真正原因，本文将作进一步探究.为方便阅读先将试题呈现如下：图1
试题为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m围网在水库中围成了如图所示的①、②、③三块矩形区域，而且这三块矩形区域面积相等.设BC长度为xm，矩形区域ABCD面积为ym2.
（1）求y与x之间函数关系式，并注明自变量x取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？1失误原因再探究
1.1分析学生解决本题存在的障碍
学生正确解决本题存在的障碍主要有三处：（1）能找到线段DF与FC，FG与GE的关系.如果学生将“三块矩形区域面积相等”这一用文字表达的意思，能用几何语言（数学符号）表述，即DF·FG=HG·GE=FC·BC，便不难得到FG=GE=12BC=12x，DF=2FC.
（2）能用字母（如设FC=a）将（1）中找到的线段数量关系进行刻画，得到DF=HG=AE=2a.（3）能以“总长为80m”作为相等关系构建方程，列出以a，x为未知数的二元一次方程，并用含x的代数式表示a，至此便能列出y与x之间的函数关系式.
按当时制定的评分细则，本题的得分点有很多，如能推理出DF与FC、DC（或AE与EB、AB），FG与GE、FE的数量关系便可得分等.
学生本题得0分，说明障碍（1）不能跨越；从阅卷过程来看，虽然也有学生得出了DF与FC，FG与GE的关系，但因不能借助字母（如字母a）将其进行刻画，仍然不能将问题正确解决，这说明他们不能跨越障碍（2）；能跨越障碍（1）、（2）的学生，绝大部分都能正确列出y与x之间的函数关系式.因此，跨越障碍（1）、（2）是正确解决本题的前提，也是关键所在.
1.2探究造成障碍难以逾越的深层次原因
“会把实际问题或现实情境中的数量关系用符号表示出来，这个过程叫做符号化”[2].符号化的过程，是解决数学问题比较重要的环节.障碍（1）难以逾越说明学生还缺乏“符号化”的能力；《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：“符号意识主要是指能够理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理”.障碍（2）的难以逾越说明学生的符号意识还没有很好地形成.障碍（3）难以逾越的原因虽然涉及到方程思想，但如果不能逾越障碍（1）、（2），逾越障碍（3）更无从谈起.因此，笔者认为符号意识的缺失是造成本题学生失误的主要原因.
1.3探寻造成学生符号意识缺失的主要原因
首先，思考符号意识形成与发展的主要途径.
《心理学》告诉我们：通过实践，使客观存在作用于人脑，便形成意识.数学的符号意识，必然通过数学活动的实践来形成.因此笔者认为：
（1）符号意识，在新知识的学习探究过程中形成.例如在“用字母表示数”、“观察·归纳·猜想”、“方程、不等式的应用”及“函数”等相关内容的学习中，要让学生在数学活动中，较充分体验能用数学符号表示数、数量关系和变化规律，且使得到的结论更具一般性；在几何图形的概念、性质等有关内容的学习中，让学生在数学活动中，明白可以使用符号进行运算和推理，并感悟运用符号进行运算和推理的必要性，从而有助于学生符号意识的形成.
（2）符号意识，在知识的应用及问题的解决过程中进一步发展.例如在代数式、方程、不等式、函数等有关问题解决过程中，多让学生通过自主实践与探究，逐步掌握能借用字母对有关量之间的数量关系进行刻画并感受其便捷性；在几何计算与证明的有关问题解决过程中，多让学生在实践与探究中，进一步体会用数学符号进行计算与推理的优越性，从而提高学生主动运用符号解决问题的意识，在此基础上进一步发展学生的符号意识.
其次，反思在学生的符号意识形成过程中，我们存在的问题.
符号意识，在从无到有、从有到发展的过程中，教师应充担引导者的角色.但在实际工作中，我们还存在着一些问题，主要表现在：
（1）角色缺位
角色缺位主要表现在：在相关内容学习过程中，我们错失许多对学生进行引导并让其感悟的机会.如沪科版教材在代数式前安排了一节“用字母表示数”的内容，该节以三个问题，5个填空的方式呈现，文末有说明用字母表示数意义的一段话，从文本内容看较为浅显.无论是在平时的听课，还是出版的教学案例集以及从网上搜索到的教学设计，我们看到许多教师都是在处理完三个问题后，便是让学生做“用字母表示数”（其实是列代数式）的习题，在分析与讲解的过程中，强调了代数式书写的注意事项.从而教学重心在不知不觉中转移到了“如何列代数式”、“代数式规范书写的要求”等方面.本是一个有助于学生符号意识形成的很好契机，却因教师对课程标准的不明确，导致教师角色的缺位而错失良机.
（2）角色错位
角色错位表现在：在新知识的学习及问题的解决过程中，我们常常通过“告诉”的方式，帮助学生形成.例如在代数有关问题中，当需要用字母对问题中的有关量之间关系进行刻画时，却常被我们简单地描述成“设未知数”，随后通过分析，便用所设未知数将相关量表示出来.而学生对于为什么要设未知数，应该设哪个量，为什么设这个量缺乏必要的思考，从而感受不到符号运用的必要性，不利于学生符号意识的形成；在几何教学中，在得出概念及性质后，教师便紧接着介绍其几何语言表示，形成了“一个定义，几项说明”的模式.结果“围绕概念的一切东西都有了，唯独没有学生，没有学生的感受，没有学生思考的机会，甚至阻塞了学生理解的可能”[3]，因而学生的符号意识难以得到很好地发展.“数学符号不能简单地作为一种人为的习惯而直接灌输给学生，这样做的后果就是强化其抽象性，并妨碍学生感悟它”[4].2教学启示
2.1全面把握并深刻理解课程标准
在学生符号意识的形成与发展过程中，因为缺乏对课程标准的把握与理解，造成教师角色的缺位与错位.《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（2001年版）便提出了“课程内容的学习要发展学生的符号感”.2011版又将“符号感”提升为“符号意识”，并将之与运算能力，推理能力、模型思想、应用意识、创新意识等一起作为学生发展的十大核心概念之一，但教学实践中，学生符号意识发展并没有像运算能力、推理能力等那样得到教师的足够重视.只有全面把握课程标准，才能避免教学过程中教师角色缺位情况的发生.
“学生是数学学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不断得到发展”，“学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考，合作交流，逐步感悟数学思想”[5].只有深刻理解课程标准，在教学过程中我们才不会错位，从而能落实学生在学习过程中的主体地位.只有减少“告诉”的时间，学生才有更多地参与机会，在参与的过程中会获得多一份感悟.也只有通过感悟获得的，才能理解更深刻，记忆更持久，运用更灵活.
2.2充分理解教材
如果教师眼中只有文本所呈现的表象内容，那么教学目标必然单一，教学视野也必狭窄.理解教材就是通过研读并审视教材，理解教材文本显性内容背后隐藏的道理，从而明确每节课的教学价值，以此确定合适的教学目标与方法.在此基础上，可以根据需要重组与创新教材.例如对于“用字母表示数”这课时，如果我们能对教材所设三个问题：“神舟五号”飞船绕地球一周、n周需要的时间；用整数K表示奇数、偶数；月历表同一列三个数a、b、c之间的关系等素材进行研读，就该理解其目的是让学生经历从特殊到一般的过程，初步体会“运用符号表示数、数量关系和变化规律，并使结论更具一般性”的意义，以此形成符号意识.
其实，学生在小学阶段已接触过用字母表示数.那么本节课如此浅显的内容却独立成节，其教学价值是什么？笔者认为，其不仅仅是在内容上实现小学与初中的衔接与过渡，更是通过对现实情境中问题的解决，让学生进一步感知用字母表示数的必要性及其意义，并初步领会代数语言的简洁性，在此基础上，进一步形成符号意识.同时，让学生在经历从具体到抽象、从特殊到一般的过程中，实现认知上的一次飞跃.有了对本节教材这样的理解，我们就能明确本节课应该做什么，怎么做.
我们可以从“过去”、“现在”、“未来”三个角度来理解教材.“过去”即分析学生在过去学段学习中，已了解或掌握了与本课时相关的哪些内容；“现在”是指了解学生在过去学段的学习及生活实践中，目前达到的认知水平与形成的已有经验；“未来”是指思考本课时教材文本内容背后隐藏的道理，从而通过本节课的学习，对学生的后续发展有何影响等等.
学生在学习过程中存在的问题，常能找到教师教学失误的影子.如果我们重视对学生每一次考试失误原因的分析，并以此不断调整与改进自己的教育教学方法，会有助于减少学生今后学习考试失误的产生，更利于学生的可持续发展.
参考文献
[1]张克玉.阅卷报告——解答题答题失误现象分析安徽第22题[J].中学数学教学参考（中旬），2015（11）：29-30
[2]李帮魁，吴行鹏.数学符号意识的形成途径[J].教育科学论坛，2012（2）：44-45
[3]裴光亚.数学教师的专业发展：在书房与教室间穿行的教研人生[M].西安，陕西师范大学出版总社有限公司，2013
[4]王晓峰.在数学实验中发展学生的符号意识[J].中国数学教育（初中版），2015（11）：7-10
[5]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2011
【关键词】符号意识；角色缺位；角色错位；理解教材
安徽省2015年中考数学试卷第22题是一道题意较明了，也无须经过复杂推理与计算的试题，但从笔者所在市三区联合网上阅卷的中考成绩统计来看，本题平均得分约为409分（满分12分），得0分的比例为428%.一道看似平淡无奇的试题，如此低的得分率，其原因值得我们探究.笔者曾在文献[1]中，对学生的失分原因作过分析，但总觉得还没有揭示出真正原因，本文将作进一步探究.为方便阅读先将试题呈现如下：图1
试题为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m围网在水库中围成了如图所示的①、②、③三块矩形区域，而且这三块矩形区域面积相等.设BC长度为xm，矩形区域ABCD面积为ym2.
（1）求y与x之间函数关系式，并注明自变量x取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？1失误原因再探究
1.1分析学生解决本题存在的障碍
学生正确解决本题存在的障碍主要有三处：（1）能找到线段DF与FC，FG与GE的关系.如果学生将“三块矩形区域面积相等”这一用文字表达的意思，能用几何语言（数学符号）表述，即DF·FG=HG·GE=FC·BC，便不难得到FG=GE=12BC=12x，DF=2FC.
（2）能用字母（如设FC=a）将（1）中找到的线段数量关系进行刻画，得到DF=HG=AE=2a.（3）能以“总长为80m”作为相等关系构建方程，列出以a，x为未知数的二元一次方程，并用含x的代数式表示a，至此便能列出y与x之间的函数关系式.
按当时制定的评分细则，本题的得分点有很多，如能推理出DF与FC、DC（或AE与EB、AB），FG与GE、FE的数量关系便可得分等.
学生本题得0分，说明障碍（1）不能跨越；从阅卷过程来看，虽然也有学生得出了DF与FC，FG与GE的关系，但因不能借助字母（如字母a）将其进行刻画，仍然不能将问题正确解决，这说明他们不能跨越障碍（2）；能跨越障碍（1）、（2）的学生，绝大部分都能正确列出y与x之间的函数关系式.因此，跨越障碍（1）、（2）是正确解决本题的前提，也是关键所在.
1.2探究造成障碍难以逾越的深层次原因
“会把实际问题或现实情境中的数量关系用符号表示出来，这个过程叫做符号化”[2].符号化的过程，是解决数学问题比较重要的环节.障碍（1）难以逾越说明学生还缺乏“符号化”的能力；《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：“符号意识主要是指能够理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理”.障碍（2）的难以逾越说明学生的符号意识还没有很好地形成.障碍（3）难以逾越的原因虽然涉及到方程思想，但如果不能逾越障碍（1）、（2），逾越障碍（3）更无从谈起.因此，笔者认为符号意识的缺失是造成本题学生失误的主要原因.
1.3探寻造成学生符号意识缺失的主要原因
首先，思考符号意识形成与发展的主要途径.
《心理学》告诉我们：通过实践，使客观存在作用于人脑，便形成意识.数学的符号意识，必然通过数学活动的实践来形成.因此笔者认为：
（1）符号意识，在新知识的学习探究过程中形成.例如在“用字母表示数”、“观察·归纳·猜想”、“方程、不等式的应用”及“函数”等相关内容的学习中，要让学生在数学活动中，较充分体验能用数学符号表示数、数量关系和变化规律，且使得到的结论更具一般性；在几何图形的概念、性质等有关内容的学习中，让学生在数学活动中，明白可以使用符号进行运算和推理，并感悟运用符号进行运算和推理的必要性，从而有助于学生符号意识的形成.
（2）符号意识，在知识的应用及问题的解决过程中进一步发展.例如在代数式、方程、不等式、函数等有关问题解决过程中，多让学生通过自主实践与探究，逐步掌握能借用字母对有关量之间的数量关系进行刻画并感受其便捷性；在几何计算与证明的有关问题解决过程中，多让学生在实践与探究中，进一步体会用数学符号进行计算与推理的优越性，从而提高学生主动运用符号解决问题的意识，在此基础上进一步发展学生的符号意识.
其次，反思在学生的符号意识形成过程中，我们存在的问题.
符号意识，在从无到有、从有到发展的过程中，教师应充担引导者的角色.但在实际工作中，我们还存在着一些问题，主要表现在：
（1）角色缺位
角色缺位主要表现在：在相关内容学习过程中，我们错失许多对学生进行引导并让其感悟的机会.如沪科版教材在代数式前安排了一节“用字母表示数”的内容，该节以三个问题，5个填空的方式呈现，文末有说明用字母表示数意义的一段话，从文本内容看较为浅显.无论是在平时的听课，还是出版的教学案例集以及从网上搜索到的教学设计，我们看到许多教师都是在处理完三个问题后，便是让学生做“用字母表示数”（其实是列代数式）的习题，在分析与讲解的过程中，强调了代数式书写的注意事项.从而教学重心在不知不觉中转移到了“如何列代数式”、“代数式规范书写的要求”等方面.本是一个有助于学生符号意识形成的很好契机，却因教师对课程标准的不明确，导致教师角色的缺位而错失良机.
（2）角色错位
角色错位表现在：在新知识的学习及问题的解决过程中，我们常常通过“告诉”的方式，帮助学生形成.例如在代数有关问题中，当需要用字母对问题中的有关量之间关系进行刻画时，却常被我们简单地描述成“设未知数”，随后通过分析，便用所设未知数将相关量表示出来.而学生对于为什么要设未知数，应该设哪个量，为什么设这个量缺乏必要的思考，从而感受不到符号运用的必要性，不利于学生符号意识的形成；在几何教学中，在得出概念及性质后，教师便紧接着介绍其几何语言表示，形成了“一个定义，几项说明”的模式.结果“围绕概念的一切东西都有了，唯独没有学生，没有学生的感受，没有学生思考的机会，甚至阻塞了学生理解的可能”[3]，因而学生的符号意识难以得到很好地发展.“数学符号不能简单地作为一种人为的习惯而直接灌输给学生，这样做的后果就是强化其抽象性，并妨碍学生感悟它”[4].2教学启示
2.1全面把握并深刻理解课程标准
在学生符号意识的形成与发展过程中，因为缺乏对课程标准的把握与理解，造成教师角色的缺位与错位.《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（2001年版）便提出了“课程内容的学习要发展学生的符号感”.2011版又将“符号感”提升为“符号意识”，并将之与运算能力，推理能力、模型思想、应用意识、创新意识等一起作为学生发展的十大核心概念之一，但教学实践中，学生符号意识发展并没有像运算能力、推理能力等那样得到教师的足够重视.只有全面把握课程标准，才能避免教学过程中教师角色缺位情况的发生.
“学生是数学学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不断得到发展”，“学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考，合作交流，逐步感悟数学思想”[5].只有深刻理解课程标准，在教学过程中我们才不会错位，从而能落实学生在学习过程中的主体地位.只有减少“告诉”的时间，学生才有更多地参与机会，在参与的过程中会获得多一份感悟.也只有通过感悟获得的，才能理解更深刻，记忆更持久，运用更灵活.
2.2充分理解教材
如果教师眼中只有文本所呈现的表象内容，那么教学目标必然单一，教学视野也必狭窄.理解教材就是通过研读并审视教材，理解教材文本显性内容背后隐藏的道理，从而明确每节课的教学价值，以此确定合适的教学目标与方法.在此基础上，可以根据需要重组与创新教材.例如对于“用字母表示数”这课时，如果我们能对教材所设三个问题：“神舟五号”飞船绕地球一周、n周需要的时间；用整数K表示奇数、偶数；月历表同一列三个数a、b、c之间的关系等素材进行研读，就该理解其目的是让学生经历从特殊到一般的过程，初步体会“运用符号表示数、数量关系和变化规律，并使结论更具一般性”的意义，以此形成符号意识.
其实，学生在小学阶段已接触过用字母表示数.那么本节课如此浅显的内容却独立成节，其教学价值是什么？笔者认为，其不仅仅是在内容上实现小学与初中的衔接与过渡，更是通过对现实情境中问题的解决，让学生进一步感知用字母表示数的必要性及其意义，并初步领会代数语言的简洁性，在此基础上，进一步形成符号意识.同时，让学生在经历从具体到抽象、从特殊到一般的过程中，实现认知上的一次飞跃.有了对本节教材这样的理解，我们就能明确本节课应该做什么，怎么做.
我们可以从“过去”、“现在”、“未来”三个角度来理解教材.“过去”即分析学生在过去学段学习中，已了解或掌握了与本课时相关的哪些内容；“现在”是指了解学生在过去学段的学习及生活实践中，目前达到的认知水平与形成的已有经验；“未来”是指思考本课时教材文本内容背后隐藏的道理，从而通过本节课的学习，对学生的后续发展有何影响等等.
学生在学习过程中存在的问题，常能找到教师教学失误的影子.如果我们重视对学生每一次考试失误原因的分析，并以此不断调整与改进自己的教育教学方法，会有助于减少学生今后学习考试失误的产生，更利于学生的可持续发展.
参考文献
[1]张克玉.阅卷报告——解答题答题失误现象分析安徽第22题[J].中学数学教学参考（中旬），2015（11）：29-30
[2]李帮魁，吴行鹏.数学符号意识的形成途径[J].教育科学论坛，2012（2）：44-45
[3]裴光亚.数学教师的专业发展：在书房与教室间穿行的教研人生[M].西安，陕西师范大学出版总社有限公司，2013
[4]王晓峰.在数学实验中发展学生的符号意识[J].中国数学教育（初中版），2015（11）：7-10
[5]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2011
