等腰三角形辅助线怎么作？

    刘海运

    

    

    一、作顶角的平分线（或底边上的中线，底边上的高线）

    例1， 如图1，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D.求证：∠BAC=2 ∠DBC.

    证明：作∠BAC的平分线AE，交BC于E，如图2，则∠1=∠2=1/2∠BAC，AE⊥BC.

    ∵∠2=∠DBC（均与∠C互余），

    ∴ ∠BA C=2∠ DBC.

    二、有底边中点时，常作底边上的中线

    例2 如图3，△ABC中，AB=AC.D为BC的中点，DE ⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：DE=DF

    证明：如图4.连接AD.

    ∵ D为BC的中点，AB=AC，

    ∴AD平分∠ABC

    ∵ DE⊥AB，DF⊥AC，

    ∴DE=DF.

    三、将腰延长一倍，构造直角三角形

    例3 如图5，△ABC中，AB=Ac.在BA的延长线和AC上各取一点E，F，使AE=AF求证：EF⊥BC.

    证明：如图6，延长BE到N，使AN=AB.连接CN，则AB=AN=AC.

    ∴ ∠B=∠A CB， ∠ACN=∠N.

    ∵ ∠B+ ∠A CB+ ∠A CN+ ∠N=180°.

    ∴ 2∥ACB+2∠A CN=180°.

    ∴ ∠ACB+ ∠ACN=90°.即∠BCN=90°.

    ∴NC⊥BC.

    ∵AE=AF。

    ∴∠A EF= ∠A FE.

    又∵ ∠BA C= ∠A EF+ ∠A FE.

    ∠BA C= ∠A CN+ ∠N，

    ∴ ∠BA C=2 ∠AEF=2 ∠N.

    ∴∠AEF= ∠N，EF//NC.

    ∴ EF⊥ BC.

    四、過一腰上的某已知点作另一腰的乎行线

    例4 如图7，在△ABC中，AB=A C.D在AB上.E在AC的延长线上，且BD=CE.连接DE交BC于F，求证：DF=EF

    证明：过D点作DN//AE，交BC于Ⅳ，则∠DNB=∠ACB、∠NDE=∠E.

    ∵ AB=AC.

    ∴ ∠B= ∠ACB.

    ∴ ∠B= ∠DNB ，BD=DN.

    又∵BD=CE.

    ∴DN=CE.

    从而易证△DNF≌△ECF（角角边），DF=EF.

    点评：也可过E点作EM //AB交BC的延长线于M.如图9.

    五、过一腰上的某已知点作底的平行线

    例5 同例3. 证明：过点E作ED∥BC交CA的延长线于D，如图10.

    ∵AB=AC.

    ∴ ∠B=∠C.

    ∴ ∠A ED= ∠A DE.

    ∵AE=AF.

    ∴ ∠A EF= ∠A FE.

    又 ∵ ∠ADE+ ∠AED+ ∠A EF+ ∠A FE=180°.

    ∴ 2 ∠AED+2 ∠AEF=180°.

    ∴∠DEF=90° ，DE⊥EF

    又∵ED//BC，

    ∴ EF⊥ BC.

    六、以角平分线所在直线为对称轴构造等腰三角形

    例6 如图11，在△ABC中，∠A=2∠BCD平分∠A CB，AD=2.2，AC=3.6.求BC的长.

    分析：因为∠A=2∠B.所以可以尝试转化∠A.以便出现一个等腰三角形.因为CD平分∠A CB，所以可在CB边上取一点E，使EC=AC，连接DE（如图12）.这样，很容易得到△DEC≌△DAC，△BED是等腰三角形.再经过推理就能使问题得到解决.

    解：在CB边上取一点E，使EC=AC，连接DE.

    ∴ △DEC≌△DA C（边角边）.

    ∴

    EC=AC=3.6， DE=AD=2.2， ∠A=LDEC.

    ∴ ∠DEC=2∠B.从而有∠BDE= ∠B.

    ∴ BE=DE=2.2，BC=BE+EC=5.8.

    点评：当题目中有角平分线以及内角间关系时，可设法以角平分线所在直线为对称轴，构造等腰三角形与全等三角形，从而实现线段间的转化.本题还可以构造等腰△ADE与全等三角形来解，如图13.