遇等腰 思讨论
王秋月 刘现超
等腰三角形是特殊的三角形.它既具有一般三角形的性质,又具有自己的特殊性质,若题目中没有明确边、角的关系,解题时要进行分類讨论.
一 边产生的分类讨论
例1,若等腰三角形的一边长为4 cm.另一边长为9 cm,则它的周长为____.
解:当腰为4 cm时,4+4<9,不满足三角形三边关系定理,舍去.
当腰为9 cm时,9+9+4=22 (cm),所以三角形的周长为22 cm.
点拨:在涉及等腰三角形的腰和底时,要进行分类讨论,并依据三角形的三边关系定理对结果进行取舍.
例2 如果等腰三角形的三边长均为整数且其周长为10.那么它的三边长为
,
解:可采用凑数法进行分类(腰长依次取l,2,3,…):
(1)1,1,8;
(2)2,2,6;
(3)3,3,4;
(4)4,4,2.
但(1)(2)不符合三角形三边关系定理,舍去.故答案为3,3,4或4,4,2.
侧3 如图1.在平面直角坐标系中,点A在第一象限,点P在x轴上,若以P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P共有
个.
解:以A点为圆心,以AO为半径画弧,交x轴于点Pl(不与点0重合);以O点为圆心,以OA为半径画弧,交x轴于点P2和点P3;作OA的垂直平分线,交x轴于点P4.所以P点共有4个.
点拨:运用“两圆一线”的方法得出P点的个数.
二 角产生的分类讨查)
例4 有一个内角为140°的等腰三角形的另外两个内角的度数为
.
解:当顶角为140°时,两个底角分别为20°· 20°.
当底角为140°时,140°+140° >180°,不满足三角形内角和定理,舍去,
点拨:在涉及等腰三角形的顶角和底角时,要进行分类讨论,并依据三角形内角和定理对结果进行取舍.
三 周长中的分类讨论
例5 在△ABC中,AB =AC=12 cm,BC=6 cm.D为BC的中点,动点P从B点出发,以每秒1 cm的速度沿B→A →C的方向运动,设运动时间为ts,那么当t=____时,过D,P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分,其中一部分是另一部分的2倍.
解:分两种情况讨论:
(1)当P点在AB上时(图2),由题意知2 (BD+BP)=AP+A C+CD,
∴ 2(3+t)=12=t+12+3.
解得t=7.
(2)当P点在AC上时(图3),由题意知BD+A B+A P=2 (PC+CD),
∴ 3+12+t- 12=2(24-t+3).
解得t=17.
综上,当t=7或t=17时,过D,P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分,其中一部分是另一部分的2倍,
四 图形变化引起的分类讨论)
例6 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为____.
解:如图4所示,当一腰上的高在三角形的内部时,易得顶角为60°;当一腰上的高在三角形的外部时(图5),易得顶角为120°.可见顶角的度数为60°或120°.
点拨:解题时首先要确定腰上的高是在三角形内,还是在三角形外,这样就自然产生了两种分类.同学们容易忽视第二种情况而出现错误.解无图题时,一定要注意各种可能的情况.
五 对称轴个数引起的分类讨论
例7 等腰三角形有几条对称轴?
解:当等腰三角形仅有两边相等时,有1条对称轴:当等腰三角形三边都相等时,有3条对称轴,
六 画等腰三角形引起的分类亘至)
例8 如图6,△ABC中,∠C=90° ,AC=4 ,BC=3 ,AB=5.现以△ABC 一边为边,画等腰三角形,且使它的第三个顶点在△ABC的其他边上,
解:符合条件的等腰三角形有6个: